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一、颜值：教温暖的数学
【片段1】
生：两根一样长的磁条，把其中一根剪成两小段，有的小组拼出了三角形，有的小组拼不出三角形，问题出在哪里呢？
师：先出示两根一样长的线，再将上面一根分成两段，动画演示这两根线努力靠近的过程，如下图所示。
生：分成的两小段撑起之后无法相交，如果这两小段相交了，就和长的那条重合了。
教师出示昨天的作业：当三个点在同一条直线上，能画出三角形吗？当时大家争得不可开交，谁也说服不了谁，现在能统一意见吗？
生：如同老师刚才的演示，当三个点在同一条直线上，只能画出两个顶点，另一个点无法抬起，要么抬起了也不可能相交，也就是说无法围出一个面，自然画不出三角形。
【赏析】学生的疑问自是学生的认知障碍，而且学生通过自己的亲眼所见，竟然出现了相悖的答案，亟需老师点拨释疑。这下学生明白了，原来同学所谓的“能拼成三角形”，其实并未拼成，不是顶点没对准，就是两边未搭上，视觉上的错误是由于磁条的粗细带来的误会。毕竟线段是没有粗细的，可限于生活材料，能找到的细铁丝、细磁条等终究都是有粗细的，这样容易出现两边之和等于第三边的情况，学生“看见”了拼搭成功的三角形，如果此时教师任凭自己空讲道理，学生是无法信服的。而几何画板的动态演示，不但可以弥补真实材料的不足，而且催生了学生的想象空间，当两边之和等于第三边时，两条短线如学生所言要么撑不开，要么撑开了搭不上。
【片段2】
师：一根线段长3厘米，另一根线段长8厘米。要围出一个三角形，还需要一根几厘米的线段？
生：6厘米，6+3>8；7厘米，7+3>8；8厘米，8+3>8。其实，只要大于5厘米的都行，但5厘米不行，因为5+3=8。
师：那11厘米行么？
生：11+3>8，当然可以。
生：任意两边之和大于第三边，不仅是一组两边之和大于第三边，还包含着两边之差应小于第三边。
【赏析】学生虽然已经懂得了三角形的两边之和大于第三边，可是这时学生的思维还不缜密，不能通盘考虑任何一条边都可以看作第三边。其實判断能否组成三角形，有三组关系：a+b>c，a+c>b，b+c>a。正是几何画板的再度演示，学生认识到了当第三边为11厘米时，三个点又在同一条直线上，也就是学生所说的：“不仅是一组两边之和大于第三边，还包含着两边之差应小于第三边。”这样认知的不足才重新顺应到了原有的认知结构。从被动到主动，从木讷到灵动，学生竟被数学的深刻给打动了。当理性的学习有了心理上的需求，智力活动也就随之踊跃开展。这也证实了维果茨基的理论：“与儿童发展相适应的认知的、社会情感的、行为的支架明显地促进了认知的发展。”
二、价值：核心素养的诉求
【片段3】
教师贴出一根骨头和一幅小狗的相片：狗会怎么做？
生：以小狗和骨头为端点，画出一条线段。
师：小狗干吗不先到这一点再去拿骨头？
生：在三角形的画面中，走两条边的路程要大于走一条边的路程。
师：材料袋里有两根不一样长的磁条，能拼成一个三角形吗？
生：不能。
师：那该怎么办呢？
生：把长的一根剪成两段。
师：为什么剪短的一根不行？
生：剪短的，要么无法围成一个封闭的图形；要么围成了，顶点却无法重合。
师：那大家动手验证，是否真的如此。
师：这说明了什么？
生：三角形的两边之和大于第三边。
师：老师现在想将磁铁重新接回去，你看发现了什么秘密？
生：1号磁条+2号磁条>3号磁条，2号磁条+3号磁条>1号磁条，1号磁条+3号磁条>2号磁条。
师：这又说明了什么？
生：三角形的任意两边之和大于第三边。
师（拿出自己的作品）：为什么老师将长的剪成了两段，却拼不出三角形。
生：懂了，虽然剪了长的，但是剪出的一小段加上另一条没有大于剪出的一大段，也就是说没有满足任意两边之和大于第三边，所以拼不出。
【赏析】“三角形的三边关系”通常的教法是：归纳法发现规律，即教师先让学生去拼三角形，然后通过数据整理，发现拼成的三角形都有一个共同点：三角形的两边之和大于第三边。可是，因为数是无限的，要么学生总想找出一组反例，以证明老师的说法不尽然是对的；要么学生觉得没有海量数据的支撑，不愿相信结论。蔡鸿英老师在教学中从学生本能出发，用演绎的方法诠释本能，这样为几何素养而教，课堂精彩纷呈亮点频现。但是，不同的学生对于新知的内化，是有不同的速度与不同的感触渠道的。
再次梳理蔡老师“三角形的三边关系”的教学，其动画演示的“高颜值”，营造了一份安全学习心理的“场”。又在学生自鸣得意的满足之时，打破了学生认知表征的平衡，让学生学会严谨，学会缜密。例如，学生都懂得要剪两根磁条中长的那根，才可以拼出三角形，而且在这样的操作中明确了三角形的三边关系，教师偏偏出示一个不成功的作品，原来剪长的也要符合任意两边之和大于第三边。学生正是在这种不断失衡的状态中，将概念从表象走向思辨，丰盈了逻辑推理、直观想象等核心素养，从而实现了教学的“价值”所在。
【片段1】
生：两根一样长的磁条，把其中一根剪成两小段，有的小组拼出了三角形，有的小组拼不出三角形，问题出在哪里呢？
师：先出示两根一样长的线，再将上面一根分成两段，动画演示这两根线努力靠近的过程，如下图所示。
生：分成的两小段撑起之后无法相交，如果这两小段相交了，就和长的那条重合了。
教师出示昨天的作业：当三个点在同一条直线上，能画出三角形吗？当时大家争得不可开交，谁也说服不了谁，现在能统一意见吗？
生：如同老师刚才的演示，当三个点在同一条直线上，只能画出两个顶点，另一个点无法抬起，要么抬起了也不可能相交，也就是说无法围出一个面，自然画不出三角形。
【赏析】学生的疑问自是学生的认知障碍，而且学生通过自己的亲眼所见，竟然出现了相悖的答案，亟需老师点拨释疑。这下学生明白了，原来同学所谓的“能拼成三角形”，其实并未拼成，不是顶点没对准，就是两边未搭上，视觉上的错误是由于磁条的粗细带来的误会。毕竟线段是没有粗细的，可限于生活材料，能找到的细铁丝、细磁条等终究都是有粗细的，这样容易出现两边之和等于第三边的情况，学生“看见”了拼搭成功的三角形，如果此时教师任凭自己空讲道理，学生是无法信服的。而几何画板的动态演示，不但可以弥补真实材料的不足，而且催生了学生的想象空间，当两边之和等于第三边时，两条短线如学生所言要么撑不开，要么撑开了搭不上。
【片段2】
师：一根线段长3厘米，另一根线段长8厘米。要围出一个三角形，还需要一根几厘米的线段？
生：6厘米，6+3>8；7厘米，7+3>8；8厘米，8+3>8。其实，只要大于5厘米的都行，但5厘米不行，因为5+3=8。
师：那11厘米行么？
生：11+3>8，当然可以。
生：任意两边之和大于第三边，不仅是一组两边之和大于第三边，还包含着两边之差应小于第三边。
【赏析】学生虽然已经懂得了三角形的两边之和大于第三边，可是这时学生的思维还不缜密，不能通盘考虑任何一条边都可以看作第三边。其實判断能否组成三角形，有三组关系：a+b>c，a+c>b，b+c>a。正是几何画板的再度演示，学生认识到了当第三边为11厘米时，三个点又在同一条直线上，也就是学生所说的：“不仅是一组两边之和大于第三边，还包含着两边之差应小于第三边。”这样认知的不足才重新顺应到了原有的认知结构。从被动到主动，从木讷到灵动，学生竟被数学的深刻给打动了。当理性的学习有了心理上的需求，智力活动也就随之踊跃开展。这也证实了维果茨基的理论：“与儿童发展相适应的认知的、社会情感的、行为的支架明显地促进了认知的发展。”
二、价值：核心素养的诉求
【片段3】
教师贴出一根骨头和一幅小狗的相片：狗会怎么做？
生：以小狗和骨头为端点，画出一条线段。
师：小狗干吗不先到这一点再去拿骨头？
生：在三角形的画面中，走两条边的路程要大于走一条边的路程。
师：材料袋里有两根不一样长的磁条，能拼成一个三角形吗？
生：不能。
师：那该怎么办呢？
生：把长的一根剪成两段。
师：为什么剪短的一根不行？
生：剪短的，要么无法围成一个封闭的图形；要么围成了，顶点却无法重合。
师：那大家动手验证，是否真的如此。
师：这说明了什么？
生：三角形的两边之和大于第三边。
师：老师现在想将磁铁重新接回去，你看发现了什么秘密？
生：1号磁条+2号磁条>3号磁条，2号磁条+3号磁条>1号磁条，1号磁条+3号磁条>2号磁条。
师：这又说明了什么？
生：三角形的任意两边之和大于第三边。
师（拿出自己的作品）：为什么老师将长的剪成了两段，却拼不出三角形。
生：懂了，虽然剪了长的，但是剪出的一小段加上另一条没有大于剪出的一大段，也就是说没有满足任意两边之和大于第三边，所以拼不出。
【赏析】“三角形的三边关系”通常的教法是：归纳法发现规律，即教师先让学生去拼三角形，然后通过数据整理，发现拼成的三角形都有一个共同点：三角形的两边之和大于第三边。可是，因为数是无限的，要么学生总想找出一组反例，以证明老师的说法不尽然是对的；要么学生觉得没有海量数据的支撑，不愿相信结论。蔡鸿英老师在教学中从学生本能出发，用演绎的方法诠释本能，这样为几何素养而教，课堂精彩纷呈亮点频现。但是，不同的学生对于新知的内化，是有不同的速度与不同的感触渠道的。
再次梳理蔡老师“三角形的三边关系”的教学，其动画演示的“高颜值”，营造了一份安全学习心理的“场”。又在学生自鸣得意的满足之时，打破了学生认知表征的平衡，让学生学会严谨，学会缜密。例如，学生都懂得要剪两根磁条中长的那根，才可以拼出三角形，而且在这样的操作中明确了三角形的三边关系，教师偏偏出示一个不成功的作品，原来剪长的也要符合任意两边之和大于第三边。学生正是在这种不断失衡的状态中，将概念从表象走向思辨，丰盈了逻辑推理、直观想象等核心素养，从而实现了教学的“价值”所在。