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摘要：复习应是把原来碎片式的、随意化的、思维暗线的学习变成整合式的、系统化的、思维明线的学习的重要过程。复习课不仅要关注学科章节知识的逻辑走向，更要关注核心概念（本源意义）、问题结构、数学思维的逻辑走向。
关键词：复习课;核心概念;问题结构;数学思维
在由师生共同构成的课堂场所里，创造什么样的条件和通过什么样的途径能让学习真正发生？我以为，答案就是我们一直在倡导的“以学习为中心”的课堂，是改变学生学习方式、从破解“想学”的层面到破解“会学”的更高层面的课堂。很多教师会在新授课中努力去实现这样的课堂，而复习课就容易进入考点化、材料化、训练化的状态。复习应是把原来碎片式的、隨意化的、思维暗线的学习变成整合式的、系统化的、思维明线的学习的重要过程。因此，复习课不仅要关注学科章节知识的逻辑走向，更要关注核心概念（本源意义）、问题结构、数学思维的逻辑走向。
一、核心概念的逻辑走向：重构模型
对核心概念的深度理解关乎学生对由这个核心概念生发出来的各个知识点的理解和运用。复习课中，教师应通过创设合适的情境，让学生重新构建核心概念的模型，通过自评、互评的多维阐释加以深度分析。下面，以“分数”复习课为例具体说明。
（一）“原型”搭桥，唤醒经验
教材图片使用得当，将具有多方面的积极作用。有学者将其归纳为：提高学习兴趣和阅读速度;调动多种感官参与学习;促进对知识的记忆和理解。从核心概念的角度看，教材图片更能让学生感受到真实情境，区分易混淆概念，凸显这一部分内容的关键。
“分数”复习课，教师首先呈现苏教版小学教材中两次认识分数的情境图（见下页图1、图2），引导学生借图感知“分数的意义”的产生和发展历程，搭建“分数”这一概念内涵和外延的发展框架，在此基础上进一步回顾各大主干以及分支内容中的具体概念。围绕教材图片展示出的核心概念，学生通过“设置问题—回顾‘原型’—联系经验—重构模型”这样的环节，唤醒最初的记忆和最本真的理解。
（二）多重表征，对接内涵
经验唤醒后，教师引导学生发挥想象：“通过之前的学习，如果让你来表示一个或几个分数，你会怎么表示？为什么这么表示？可以沿着这样的层次展开：画出分数（图解自己创造的分数）—解说分数（用这个分数写一段话或讲一个小故事）—联想分数（这个分数还能让你想到哪些知识）。”这个过程是学生独立思考结果的呈现，融入了他们对核心概念的理解。学生的表达方式不一定最正确，也不一定很完善，但每位学生的独特理解都是对“分数的意义”的不同表征。经过独立思考和描画的过程，不仅学生的自主学习能力得以提升，核心概念的内涵也得到进一步的深化。在此过程中，教师应及时评价学生构建的概念表征，及时诊断和调整学生对核心概念的理解，帮助学生更好地对接核心概念的本质意义。
（三）多点结构，厘清关系
复习课的核心任务之一是帮助学生梳理知识，把握知识的本质特征，找寻知识间的内在逻辑关系，形成完善的知识结构。在解读了核心概念之后，围绕“分数的意义”，提供时间给学生整体回顾教材，以理清“分数的基本性质”“相关概念”“分数的运算”“分数与小数的关系”这几个主干。在掌握了分数相关知识的分类层次后，再引导学生进行详细梳理，从更细的分支（如通分、约分、假分数与带分数之间的互化、分数与整数以及分数与小数之间的关联性等）入手构建知识网络图。最后，让学生整体回顾分数相关的知识，寻找各知识点与核心概念之间的联系，以加深对分数相关知识的记忆，读懂概念间的层级关系，拓展思维空间。知识网络图是依据学生的思维逻辑建构的图示，通过点与点的对接（连线）将知识之间的网络关系可视化。它能将学生脑海中的各知识点之间的逻辑关系通过连线的形式表现出来，从而帮助学生清晰地明确不同知识间的逻辑关系。
二、问题结构的逻辑走向：求同存异
数学家G.波利亚提出了解题过程中“检验回顾”的多个视角：你能拟订其他解题方案吗？你能利用它吗？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？你能找到什么方法检验你的结果吗？这些问题无疑都在强调：在复习回顾的过程中，要重新斟酌，审视结果及获得结果的过程，促进学生优化解决问题的经验结构，发现不同问题的核心要素、不同思路的本质意义，从而发展学生解决问题的能力。我们可以从方法与方法之间、问题与问题之间的关系入手，探寻数学知识内部的生态结构，整合出符合数学本质意义的模型。下面，以三年级“解决问题的策略”（从条件出发和从问题想起）复习课为例具体说明。
（一）不同的方法之间有什么联系？
“从条件出发”是从已知信息入手，逐步“综合”到“终极问题”处;“从问题想起”是从“终极问题”入手，一步步“分析”到已知信息处。在复习这两个策略时，可对典型例题进行情境变式处理，让学生累积“情境不同，方法相同”的经验，慢慢抽象出解题模型（两种策略的解题模型分别如下页图3、图4所示）。在两个解题模型的对比中体会异同，发现“中间问题”的核心价值，将“方法”真正上升为“策略”。
（二）不同的问题之间有什么联系？
完成上述总结之后，教师出示三道变式题，请学生尝试解答。
1.果园有苹果树100棵，梨树比苹果树少18棵，桃树又比梨树少20棵，桃树有多少棵？
2.时值中、高考刚刚结束，某书店推出针对考生的各种优惠政策。以《唐诗宋词鉴赏》一套书为例，正常售价为345元，该店会员持会员卡购买要便宜42元，应届中、高考考生凭准考证购买只需285元，应届中、高考考生购买这套《唐诗宋词鉴赏》比该店会员购买要少付多少钱？
3.为应对夏日高温，某城市公交系统全面启用空调。已知坐空调车成人刷卡比投币便宜8角，学生持学生卡刷卡又比成人刷卡便宜1元2角。这天张阿姨带儿子小明乘坐公交，小明刷了学生卡，扣费2元，张阿姨忘了带卡，只能选择投币，她应该投币几元？ 结果显示，学生普遍认为第3题较难，其次是第2题。事实上，这三道题是相似的类型和结构，不过是逐次增加了干扰性文字，以及对信息的排序做了些许变更，而这些变化确确实实就成为学生解题的“绊脚石”。事实上，任何一道习题呈现在学生面前时，学生都会把它与已有的经验进行对比，希望把新问题与原有模型建立联系，但套用模型的心理往往又会束缚学生的思路。教师需要通过这样的变式引导学生在瞬息万变中快速捕捉信息，分析包含稍复杂信息的问题中思路和结构上的关联，重新整合模型，把握“变”中的“不变”。
此外，可以抛出更为灵活的问题：“你能继续改变信息和问题，重新编几道题目吗？”“沿着这样的解题方法，你认为还有哪些问题可以拿来研究？”学生要回答这样的问题，必须深入思考，发掘已有经验与认知，还要多方向、多角度地对现有模型进行必要的改造。这里的例题可以不再需要学生列式解答，把学生从烦琐的运算中解放出来，重点分析问题的“同”与“异”，对看似不同的问题情境进行模型整合，营造一源多流的、生生不息的生态课堂。
三、数学思维的逻辑走向：鉴往知来
现代认知心理学认为，思维过程是一种信息加工的过程，思维品质是智力活动特别是思维活动中智力与能力在个体身上的表现，实质是人的思维的个性特征。在复习课教学中，既要关注怎么帮助学生理清知识上的深层次联系，更要关注如何帮助学生实现思维能力的发展和提升。我们可以引导学生在审查、反思旧知的过程中，提升抽象、概括、批判等数学思维;帮助学生在预判和升级知识的过程中，发展应用和创新等数学思维。下面，以“周长和面积”复习课为例具体说明。
（一）理繁就简，提升抽象概括能力
教学的一个最重要的起点就是学生已经知道了些什么，从这个起点出发，有的放矢地为学生提供思维发生的背景材料，展示庞杂知识体系的化归思想脉络，可以很好地提升学生的抽象概括能力以及思维的灵活性和深刻性。
“周长和面积”复习课，教师针对课程内容对学生做如下指导：首先，通读“导学案”中与图形相关的各章节内容，并依据“点—线—面”的发展流程画出基本框架;接着，将相关内容按一定的顺序实现信息的分类梳理，重点凸显“周长”与 “面积”这两个主题内容;然后，利用线条连接不同主体，采用箭头、图形、色彩等元素呈现长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形的周长与面积计算方法的由来或计算公式的推导过程;最后，抽象概括出长度测量和面积计算的本质，即用数学的方式（计算）简洁地得出图形含有多少个“1”（长度单位或面积单位）。
（二）反例论证，提升批判性思维能力
在前面提到的“解决问题的策略”复习课案例中，教师创设探讨情境，利用问题变式，通过互换条件与问题、改变关键词的呈现、从单个问题到问题串等方式，促使学生打破思维定式，寻求更广阔的解题思路。这其实已经是一种提升学生批判性思维能力的方式了。除此之外，我们还可以考虑在复习课教学中引入“反例论证”，进一步提升学生的批判性思维能力。
“周长和面积”复习课，可以提出如下反例供学生讨论。
1.正方形、长方形的面积都是邻边相乘，平行四边形的面积可不可以用邻边相乘来计算呢？
2.张爷爷用18 m长的篱笆围了一个最大的长方形鸡圈，小明很快用4×5=20（m2）算出了篱笆围出的面积，你认为正确吗？
要解决这样的问题，学生需要不断地完善和补充自己的认知，先要质疑“错误”观点存在的漏洞，这是“破”;接着要“立”，提出自己的“正确”观点。这样的正反例对立论证，能有效提升学生的批判性思维能力。
（三）集中后发散，提升应用与创新能力
良好的数学思维是既能集中也能发散的。在学习了不同的图形周长、面积之后，教师引导学生通过比较提炼出其中不变的本质内涵，这是集中;而根据提炼过程，尝试得出“全新”的图形面积计算方法，这是发散。从已发现的数学知识与数学方法中生成新的知识链、方法链、问题链、思维链，这样的学习是终点也是起点，学生的应用能力、创新能力与逻辑推理素养于其中也能得到较好的培养。
当学生已经会计算长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形的面积，并对各图形面积计算方法的推导过程十分了然时，教师提供一些图案（如图5），并提出问题：这些图形中还有哪些你不会计算面积的？你认为它们的面积是什么？你有什么办法获取它们的面积吗？
这样的研究性学习，让复习不止步于“过去”，更放眼于“未来”，促使学生把已有的知识和能力创造性地应用到小的课题研究中去，使得原有的思考路径、思维方法有可能实现“迭代升级”。
参考文献：
[1] 許璐.串联教材图片，聚焦核心概念[J].上海课程教学研究，2020（3）.
[2] 戚洪祥.目标导向的小学数学复习课教学[J].教学与管理，2019（35）.
[3] 谈雅琴.让思维贯通教学让学习真正发生——以“直线与圆的位置关系”高三复习课为例[J].数学通报，2017（9）.
关键词：复习课;核心概念;问题结构;数学思维
在由师生共同构成的课堂场所里，创造什么样的条件和通过什么样的途径能让学习真正发生？我以为，答案就是我们一直在倡导的“以学习为中心”的课堂，是改变学生学习方式、从破解“想学”的层面到破解“会学”的更高层面的课堂。很多教师会在新授课中努力去实现这样的课堂，而复习课就容易进入考点化、材料化、训练化的状态。复习应是把原来碎片式的、隨意化的、思维暗线的学习变成整合式的、系统化的、思维明线的学习的重要过程。因此，复习课不仅要关注学科章节知识的逻辑走向，更要关注核心概念（本源意义）、问题结构、数学思维的逻辑走向。
一、核心概念的逻辑走向：重构模型
对核心概念的深度理解关乎学生对由这个核心概念生发出来的各个知识点的理解和运用。复习课中，教师应通过创设合适的情境，让学生重新构建核心概念的模型，通过自评、互评的多维阐释加以深度分析。下面，以“分数”复习课为例具体说明。
（一）“原型”搭桥，唤醒经验
教材图片使用得当，将具有多方面的积极作用。有学者将其归纳为：提高学习兴趣和阅读速度;调动多种感官参与学习;促进对知识的记忆和理解。从核心概念的角度看，教材图片更能让学生感受到真实情境，区分易混淆概念，凸显这一部分内容的关键。
“分数”复习课，教师首先呈现苏教版小学教材中两次认识分数的情境图（见下页图1、图2），引导学生借图感知“分数的意义”的产生和发展历程，搭建“分数”这一概念内涵和外延的发展框架，在此基础上进一步回顾各大主干以及分支内容中的具体概念。围绕教材图片展示出的核心概念，学生通过“设置问题—回顾‘原型’—联系经验—重构模型”这样的环节，唤醒最初的记忆和最本真的理解。
（二）多重表征，对接内涵
经验唤醒后，教师引导学生发挥想象：“通过之前的学习，如果让你来表示一个或几个分数，你会怎么表示？为什么这么表示？可以沿着这样的层次展开：画出分数（图解自己创造的分数）—解说分数（用这个分数写一段话或讲一个小故事）—联想分数（这个分数还能让你想到哪些知识）。”这个过程是学生独立思考结果的呈现，融入了他们对核心概念的理解。学生的表达方式不一定最正确，也不一定很完善，但每位学生的独特理解都是对“分数的意义”的不同表征。经过独立思考和描画的过程，不仅学生的自主学习能力得以提升，核心概念的内涵也得到进一步的深化。在此过程中，教师应及时评价学生构建的概念表征，及时诊断和调整学生对核心概念的理解，帮助学生更好地对接核心概念的本质意义。
（三）多点结构，厘清关系
复习课的核心任务之一是帮助学生梳理知识，把握知识的本质特征，找寻知识间的内在逻辑关系，形成完善的知识结构。在解读了核心概念之后，围绕“分数的意义”，提供时间给学生整体回顾教材，以理清“分数的基本性质”“相关概念”“分数的运算”“分数与小数的关系”这几个主干。在掌握了分数相关知识的分类层次后，再引导学生进行详细梳理，从更细的分支（如通分、约分、假分数与带分数之间的互化、分数与整数以及分数与小数之间的关联性等）入手构建知识网络图。最后，让学生整体回顾分数相关的知识，寻找各知识点与核心概念之间的联系，以加深对分数相关知识的记忆，读懂概念间的层级关系，拓展思维空间。知识网络图是依据学生的思维逻辑建构的图示，通过点与点的对接（连线）将知识之间的网络关系可视化。它能将学生脑海中的各知识点之间的逻辑关系通过连线的形式表现出来，从而帮助学生清晰地明确不同知识间的逻辑关系。
二、问题结构的逻辑走向：求同存异
数学家G.波利亚提出了解题过程中“检验回顾”的多个视角：你能拟订其他解题方案吗？你能利用它吗？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？你能找到什么方法检验你的结果吗？这些问题无疑都在强调：在复习回顾的过程中，要重新斟酌，审视结果及获得结果的过程，促进学生优化解决问题的经验结构，发现不同问题的核心要素、不同思路的本质意义，从而发展学生解决问题的能力。我们可以从方法与方法之间、问题与问题之间的关系入手，探寻数学知识内部的生态结构，整合出符合数学本质意义的模型。下面，以三年级“解决问题的策略”（从条件出发和从问题想起）复习课为例具体说明。
（一）不同的方法之间有什么联系？
“从条件出发”是从已知信息入手，逐步“综合”到“终极问题”处;“从问题想起”是从“终极问题”入手，一步步“分析”到已知信息处。在复习这两个策略时，可对典型例题进行情境变式处理，让学生累积“情境不同，方法相同”的经验，慢慢抽象出解题模型（两种策略的解题模型分别如下页图3、图4所示）。在两个解题模型的对比中体会异同，发现“中间问题”的核心价值，将“方法”真正上升为“策略”。
（二）不同的问题之间有什么联系？
完成上述总结之后，教师出示三道变式题，请学生尝试解答。
1.果园有苹果树100棵，梨树比苹果树少18棵，桃树又比梨树少20棵，桃树有多少棵？
2.时值中、高考刚刚结束，某书店推出针对考生的各种优惠政策。以《唐诗宋词鉴赏》一套书为例，正常售价为345元，该店会员持会员卡购买要便宜42元，应届中、高考考生凭准考证购买只需285元，应届中、高考考生购买这套《唐诗宋词鉴赏》比该店会员购买要少付多少钱？
3.为应对夏日高温，某城市公交系统全面启用空调。已知坐空调车成人刷卡比投币便宜8角，学生持学生卡刷卡又比成人刷卡便宜1元2角。这天张阿姨带儿子小明乘坐公交，小明刷了学生卡，扣费2元，张阿姨忘了带卡，只能选择投币，她应该投币几元？ 结果显示，学生普遍认为第3题较难，其次是第2题。事实上，这三道题是相似的类型和结构，不过是逐次增加了干扰性文字，以及对信息的排序做了些许变更，而这些变化确确实实就成为学生解题的“绊脚石”。事实上，任何一道习题呈现在学生面前时，学生都会把它与已有的经验进行对比，希望把新问题与原有模型建立联系，但套用模型的心理往往又会束缚学生的思路。教师需要通过这样的变式引导学生在瞬息万变中快速捕捉信息，分析包含稍复杂信息的问题中思路和结构上的关联，重新整合模型，把握“变”中的“不变”。
此外，可以抛出更为灵活的问题：“你能继续改变信息和问题，重新编几道题目吗？”“沿着这样的解题方法，你认为还有哪些问题可以拿来研究？”学生要回答这样的问题，必须深入思考，发掘已有经验与认知，还要多方向、多角度地对现有模型进行必要的改造。这里的例题可以不再需要学生列式解答，把学生从烦琐的运算中解放出来，重点分析问题的“同”与“异”，对看似不同的问题情境进行模型整合，营造一源多流的、生生不息的生态课堂。
三、数学思维的逻辑走向：鉴往知来
现代认知心理学认为，思维过程是一种信息加工的过程，思维品质是智力活动特别是思维活动中智力与能力在个体身上的表现，实质是人的思维的个性特征。在复习课教学中，既要关注怎么帮助学生理清知识上的深层次联系，更要关注如何帮助学生实现思维能力的发展和提升。我们可以引导学生在审查、反思旧知的过程中，提升抽象、概括、批判等数学思维;帮助学生在预判和升级知识的过程中，发展应用和创新等数学思维。下面，以“周长和面积”复习课为例具体说明。
（一）理繁就简，提升抽象概括能力
教学的一个最重要的起点就是学生已经知道了些什么，从这个起点出发，有的放矢地为学生提供思维发生的背景材料，展示庞杂知识体系的化归思想脉络，可以很好地提升学生的抽象概括能力以及思维的灵活性和深刻性。
“周长和面积”复习课，教师针对课程内容对学生做如下指导：首先，通读“导学案”中与图形相关的各章节内容，并依据“点—线—面”的发展流程画出基本框架;接着，将相关内容按一定的顺序实现信息的分类梳理，重点凸显“周长”与 “面积”这两个主题内容;然后，利用线条连接不同主体，采用箭头、图形、色彩等元素呈现长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形的周长与面积计算方法的由来或计算公式的推导过程;最后，抽象概括出长度测量和面积计算的本质，即用数学的方式（计算）简洁地得出图形含有多少个“1”（长度单位或面积单位）。
（二）反例论证，提升批判性思维能力
在前面提到的“解决问题的策略”复习课案例中，教师创设探讨情境，利用问题变式，通过互换条件与问题、改变关键词的呈现、从单个问题到问题串等方式，促使学生打破思维定式，寻求更广阔的解题思路。这其实已经是一种提升学生批判性思维能力的方式了。除此之外，我们还可以考虑在复习课教学中引入“反例论证”，进一步提升学生的批判性思维能力。
“周长和面积”复习课，可以提出如下反例供学生讨论。
1.正方形、长方形的面积都是邻边相乘，平行四边形的面积可不可以用邻边相乘来计算呢？
2.张爷爷用18 m长的篱笆围了一个最大的长方形鸡圈，小明很快用4×5=20（m2）算出了篱笆围出的面积，你认为正确吗？
要解决这样的问题，学生需要不断地完善和补充自己的认知，先要质疑“错误”观点存在的漏洞，这是“破”;接着要“立”，提出自己的“正确”观点。这样的正反例对立论证，能有效提升学生的批判性思维能力。
（三）集中后发散，提升应用与创新能力
良好的数学思维是既能集中也能发散的。在学习了不同的图形周长、面积之后，教师引导学生通过比较提炼出其中不变的本质内涵，这是集中;而根据提炼过程，尝试得出“全新”的图形面积计算方法，这是发散。从已发现的数学知识与数学方法中生成新的知识链、方法链、问题链、思维链，这样的学习是终点也是起点，学生的应用能力、创新能力与逻辑推理素养于其中也能得到较好的培养。
当学生已经会计算长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形的面积，并对各图形面积计算方法的推导过程十分了然时，教师提供一些图案（如图5），并提出问题：这些图形中还有哪些你不会计算面积的？你认为它们的面积是什么？你有什么办法获取它们的面积吗？
这样的研究性学习，让复习不止步于“过去”，更放眼于“未来”，促使学生把已有的知识和能力创造性地应用到小的课题研究中去，使得原有的思考路径、思维方法有可能实现“迭代升级”。
参考文献：
[1] 許璐.串联教材图片，聚焦核心概念[J].上海课程教学研究，2020（3）.
[2] 戚洪祥.目标导向的小学数学复习课教学[J].教学与管理，2019（35）.
[3] 谈雅琴.让思维贯通教学让学习真正发生——以“直线与圆的位置关系”高三复习课为例[J].数学通报，2017（9）.