1932年,Mazur和Ulam首先提出了等距理论,随后又提出了守恒距离的概念.研究从度量空间X到度量空间Y的某个映射f存在着守恒距离是否能推出f是等距映射的问题就是亚历山德罗夫问题.这个问题是亚历山德罗夫在1970年提出的.近年来,Hahng-Yun.Chu提出了线性2-赋范空间中的2-等距的概念,并证明了当X和Y都是线性2-赋范空间时,Mazur-Ulam定理是成立的.Misiak定义了性线n-赋范空间并给出了相应的性质.之后,Chu.et.al在2004年给出了线性n-赋范空间中的n-等距的概念,并解决了此空间中的亚历山德罗夫问题.2009年,高金梅又引入了线性(2,p)-赋范空间,并且解决了此空间上的亚历山德罗夫问题.　　 本文共分三章.　　 第一章我们介绍了线性n-赋范空间的n-等距的一些刻画及其相关的结论和定理.在[14]中刻画了2-等距并陈述了相关的结论和定理.本章中对n-等距的刻画就是在2-等距的基础上推广的.例如,由弱2-等距到弱n-等距的推广:　　 设X和Y是线性2-赋范空间,F:X→Y是一映射.若对任意的ε>0,存在δ>0使得当　　 |||x-y,y-z||-||z-z,y-z|||<δ时,有　　 |||f(x)-f(y),f(y)-f(z)||-||f(x)-f(z),f(y)-f(z)|||<ε成立,则我们称f是弱2-等距.　　 推广后的弱n-等距如下:　　 设X和Y是线性n-赋范空间,f:X→Y是一映射.若对任意的x0,x1,…,xn∈X,任意的ε>0,存在δ>0使得当|||x1-x0,…xn-x0||-||x1-x0,…xn-x0|||<δ时,有　　 |||f(x1)-f(x0),…,f(xn)-f(x0)||-||f(x1)-f(x0),…,f(xn)-f(x0)|||<ε成立,则我们称f是弱n-等距.　　 此外,我们还证明了在线性n-赋范空间中Riesz定理是成立的.　　 第二章我们考虑守恒映射的亚历山德罗夫问题.首先我们推广了原有的一些结果,然后在线性(2,p)-赋范空间的基础上我们引入了线性(n,p)-赋范空间的概念.概念如下:　　 设X是一个实线性空间,dimX≥n,　　 ||·,…,·||:Xn→R　　 是一个函数.设0