本文首先研究了多面体网格上各向异性扩散问题的一个节点型有限体积（FV）格式及其相关的解耦保正离散对偶有限体积格式（DDFV）。我们在多面体网格上构造了一个节点型保线性有限体积格式,其核心是巧妙地利用三维网格的几何关系构造单元矩阵。以此为基础,我们设计了一个多面体网格上的解耦保正DDFV格式——同时包含节点未知量和单元中心未知量的格式。我们利用前述节点型格式求解节点未知量,并对节点未知量进行保正后处理,代入到主网格上基于非线性两点流思路构造的单元中心格式求解单元中心未知量。该保正DDFV格式能够保持主网格上的局部守恒性,并有条件地保持对偶网格上的局部守恒性。与经典的DDFV格式相比,对偶网格上的有限体积方程组可以独立求解,因此这两套方程组是相互解耦的;与传统非线性保正格式不同的是,该格式对于线性问题不需要非线性迭代,而对于非线性问题则扩大了迭代方法的选取范围。此外,我们在数值实验中,通过将牛顿迭代与不动点迭代及其加速算法做对比,验证了该保正DDFV格式在计算效率等方面的优势。其次,针对二维多边形网格上的线性扩散问题,我们给出了解耦保正DDFV格式的理论分析,包括格式的保正性,适定性,稳定性和H1误差估计。首先,我们在一些较弱的网格几何假设下,获得了节点型保线性格式的稳定性和H1误差估计。然后,通过一个关于单元中心量方程组的强制性假设,我们得到了单元中心未知量的最优H1误差估计。数值实验验证了前述强制性假设的合理性并验证了其他理论分析结果。再次,我们在四边形网格上构造了扩散问题的一个无条件稳定的节点型保线性九点格式。传统的中心型九点格式具有表达式简洁、易于编程等优点,然而它在计算精度,理论分析和辅助未知量插值算法的设计上有所局限。我们借鉴中心型九点格式的构造方法,在四边形网格的对偶网格上构造有限体积格式,并通过引入一个特殊的稳定化技巧,最终得到了四边形网格上的一簇无条件稳定的节点型保线性九点格式。该格式既适用于各向异性问题,也适用于间断问题,同时兼具中心型九点格式的优点,尤其重要的是,在线性情形可以严格证明它的稳定性并获得其最优H1误差估计。与第一部分中的节点型保线性格式不同,该格式导出的线性系统一般是非对称的。最后,我们在星型多边形网格上研究了扩散问题的节点型保线性有限体积格式（VLPS）和最低阶虚拟元法（VEM）之间的关系,并为它们设计了一个统一的保正、保主网格量守恒的后处理方法。作为有限元方法的推广,VEM近年来在各类问题的数值模拟中取得了显著成就,而VLPS目前仅应用于扩散问题的数值模拟。我们从代数的角度研究了星型多边形网格上扩散问题的VLPS和最低阶VEM之间的关系。具体来说,带有一类特殊稳定项的VLPS的整体刚度矩阵与最低阶VEM的刚度矩阵重合,然而它们的右端项通常不同;这两种方法的整体刚度矩阵可以分为相容性部分和稳定性部分,其中相容性部分总是相同的,而稳定性部分在某些假设下一致。同时,作为一个副产品,我们为VLPS找到了一个新的稳定项。最后,我们通过数值实验验证了理论分析结果。