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高考命题的原则是“取材于课本，但又不拘泥于课本”，每一个高考题目都有它的背景，其中蕴含的知识、方法、思想，就在我们非常熟悉的教材中，教材是高考试题的源泉，许多高考试题就是教材典型例习题的变式题.因此，在高考复习中，必须重视教材，挖掘教材，注意教材知识的生长点，灵活运用教材，才能提高复习效率，达到事半功倍的效果.下面从苏教版教材中选取几则数列题，供同学们参考.
一、 有关通项问题
题型一 利用Sn与an关系求通项
原题（苏教版必修5第44页习题2.2（2）第8题）已知数列{an}的前项和Sn=5n2+3n，求出这个数列的通项公式.
变式（2011年第一学期期末北京市东城区示范学校高三数学考试理19）设数
列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2-4n+4．
（1） 求数列{an}的通项公式；（2） 设bn=an2n，数列{bn}的前项和为Tn，求证：14≤Tn＜1．
解：(1) 当n=1时，a1=S1=1．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-4n+4-［(n-1)2-4(n-1)+4］=2n-5．
∵a1=1不适合上式,∴an=1,n=1,2n-5,n≥2.
（2） (略)
题型二 利用递推关系式求通项
原题（苏教版选修12第41页习题2.1第2题）已知数列{an}满足,a1=1,an+1=an1+an(n∈N*),求数列{an}的通项公式.
变式（2011年第一学期期末北京市房山区期末考试理20）已知数列{an}中，a1=2，an+1=4an-23an-1(n∈N*),设bn=3an-2an-1．
（Ⅰ） 试写出数列{bn}的前三项；（Ⅱ） 求证：数列{bn}是等比数列，并求数列{an}的通项公式an；
解：（Ⅰ） 由a1=2，an+1=4an-23an-1(n∈N*),得a2=65，a3=1413.由bn=3an-2an-1，可得b1=4，b2=8，b3=16.
（Ⅱ） 证明：因an+1=4an-23an-1，故bn+1=3an+1-2an+1-1=12an-6-6an+24an-2-3an+1=2·3an-2an-1=2bn.
显然an≠23，因此数列{bn}是以3a1-2a1-1=4为首项，以2为公比的等比数列，即bn=3an-2an-1=4·2n-1=2n+1.解得an=2n+1-22n+1-3.
题型三 利用叠加法求通项
原题（苏教版必修5第36页）等差数列{an}通项公式an=a+(n-1)d的证明
变式（2011年北京市石景山区期末统测）已知数列{an}满足a1=22，an+1-an=2n，则数列{an}的通项公式为，ann的最小值为．答案：an=n2-n+22，425.
二、 有关等差、等比数列性质问题
题型一 足数和定理
原题（苏教版选修12第31页练习第3题）
（1） 证明：在等差数列{an}中，若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，则am+an=ap+aq；
（2） 通过类比，提出关于等比数列{an}的一个猜想.
变式（广东省揭阳市2011届高三上学期学业水平考试）如果等差数列{an}中，a3+a5+a7=12，那么a1+a2+…+a9的值为（）
A． 18 B 27
C． 36 D 54
解：等差数列{an}中，a3+a5+a7=12，得：a5=4，a1+a2+…+a9=a1+a92·9=9·a5=36，选C
题型二 数列前n项和的性质
原题（苏教版必修5P4411）如果等差数列{an}的前n项和为Sn，那么S10,S20-S10,S30-S20是否成等差数列？你能得到更一般的结论吗？
变式（2011年广东省广州市高三上学期期末调研测试）等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2=6，S4=30,则S6=解：由题意，S2·(S6-S4)=(S4-S2)2，得：S6=126
三、 有关数列的求和问题
题型一 拆项求和
原题（苏教版必修5P608(1)） 已知数列{an}的通项公式为an=1n(n+1)，求前n项的和.
变式（2010山东理数）已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ） 求an及Sn；（Ⅱ） 令bn=1a2n-1(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn．
解：（Ⅰ） 略an=3+2(n-1)=2n+1；Sn=3n+n(n-1)2×2=n2+2n.
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知an=2n+1，所以bn=1a2n-1=1(2n+1)2-1=14·1n(n+1)=14·1n-1n+1,
所以Tn=14·1-12+12-13+…+1n-1n+1=14·1-1n+1=n4(n+1)，即数列{bn}的前n项和Tn=n4(n+1)
题型二 分组求和
原题（苏教版必修5P51例3）求数列1+12,2+14,3+18,…,n+12n,…的前n项和.
变式（2011年广东省珠海市第一学期期末考试题）已知函数f(x)的图象经过点(1,λ)，且对任意x∈R，都有f(x+1)=f(x)+2.数列{an}满足a1=λ-2,an+1=2n,n为奇数f(an),n为偶数.
（1） 当x为正整数时，求f(n)的表达式；（2） 设λ=3，求a1+a2+a3+…+a2n；
解：（1） f(n)=2n+λ-2.
（2） 由题设λ=3若n为偶数，则an=2n-1;
若n为奇数且n≥3，则an=f(an-1)=2an-1+λ-2=2·2n-2+λ-2=2n-1+λ-2，=2n-1+1
又a1=λ-2=1，即an=1 n=12n-1+1 n为奇数且n≥32n-1 n为偶数
a1+a2+a3+…+a2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)
=(20+22+…+22n-2+n-1)+(21+23+…+22n-1)
=(1+21+22+…+22n-1)+n-1=22n+n-2.
题型三 错位相减法求和
原题（苏教版必修5P50）等比数列前n项和公式的推导
变式（2011年江苏省苏北四市第一学期期末考试题）在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a2=2a1+3，且3a2,a4,5a3成等差数列.
（1） 求数列{an}的通项公式；（2） 设bn=log3an，求数列{anbn}的前n项和Sn.
解：（1） 数列{an}的通项公式为an=3n，n∈N*
（2） 由（1）可得bn=n，所以anbn=n·3n所以Sn=1·3+2·32+3·33+n·3n，
所以3Sn=1·32+2·33+3·34+n·3n+1，
两式相减得：2Sn=-3-(32+33+…+3n)+n·3n+1=-(3+32+33+…+3n)+n·3n+1
=-3(1-3n)1-3+n·3n+1=3+(2n-1)·3n+12
所以数列{anbn}的前n项和为3+(2n-1)·3n+12
题型四 倒序相加法求和
原题（苏教版必修5P39）等差数列前n项和公式的推导
变式(河南省开封市2008届高三年级第一次质量检)函数f(x)对任意x∈R都有f(x)＋f(1－x)＝12.
（1） 求f12和f1n+fn-1n(n∈N)的值；
（2） 数列{an}满足an=f(0)+f1n+f2n+…+fn-1n+f(1),求数列{an}的通项公式.
解：（1） 令x=12的f12=14令x=1n得f1n+f1-1n=12=f1n+fn-1n
（2） an=f(0)+f1n+…+fn-1n+f(1)又
an=f(1)+fn-1n+…+f1n+f(0),
两式相加2an=［f(0)+f(1)］+f1n+fn-1n+…+［f(1)+f(0)］=n+12
an=n+14(n∈N*)an+1-an=14,故数列{an}是等差数列
从以上各例可以看出，这些题与教材中的例习题不仅“形”似，还高度“神”似.这就要求我们在高三复习的任何阶段都不能脱离教材，在使用教材时，应从自身的实际和需求出发，对教材中典型的例习题要进行深入探究、合理延伸和拓展，要深挖例习题的本质，进行二次创造，变孤立的、静态的知识为有助于自身认知的、联系的、动态的知识，才能提高学习能力和学习效率，才能在以能力立意的高考中游刃有余.
一、 有关通项问题
题型一 利用Sn与an关系求通项
原题（苏教版必修5第44页习题2.2（2）第8题）已知数列{an}的前项和Sn=5n2+3n，求出这个数列的通项公式.
变式（2011年第一学期期末北京市东城区示范学校高三数学考试理19）设数
列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2-4n+4．
（1） 求数列{an}的通项公式；（2） 设bn=an2n，数列{bn}的前项和为Tn，求证：14≤Tn＜1．
解：(1) 当n=1时，a1=S1=1．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-4n+4-［(n-1)2-4(n-1)+4］=2n-5．
∵a1=1不适合上式,∴an=1,n=1,2n-5,n≥2.
（2） (略)
题型二 利用递推关系式求通项
原题（苏教版选修12第41页习题2.1第2题）已知数列{an}满足,a1=1,an+1=an1+an(n∈N*),求数列{an}的通项公式.
变式（2011年第一学期期末北京市房山区期末考试理20）已知数列{an}中，a1=2，an+1=4an-23an-1(n∈N*),设bn=3an-2an-1．
（Ⅰ） 试写出数列{bn}的前三项；（Ⅱ） 求证：数列{bn}是等比数列，并求数列{an}的通项公式an；
解：（Ⅰ） 由a1=2，an+1=4an-23an-1(n∈N*),得a2=65，a3=1413.由bn=3an-2an-1，可得b1=4，b2=8，b3=16.
（Ⅱ） 证明：因an+1=4an-23an-1，故bn+1=3an+1-2an+1-1=12an-6-6an+24an-2-3an+1=2·3an-2an-1=2bn.
显然an≠23，因此数列{bn}是以3a1-2a1-1=4为首项，以2为公比的等比数列，即bn=3an-2an-1=4·2n-1=2n+1.解得an=2n+1-22n+1-3.
题型三 利用叠加法求通项
原题（苏教版必修5第36页）等差数列{an}通项公式an=a+(n-1)d的证明
变式（2011年北京市石景山区期末统测）已知数列{an}满足a1=22，an+1-an=2n，则数列{an}的通项公式为，ann的最小值为．答案：an=n2-n+22，425.
二、 有关等差、等比数列性质问题
题型一 足数和定理
原题（苏教版选修12第31页练习第3题）
（1） 证明：在等差数列{an}中，若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，则am+an=ap+aq；
（2） 通过类比，提出关于等比数列{an}的一个猜想.
变式（广东省揭阳市2011届高三上学期学业水平考试）如果等差数列{an}中，a3+a5+a7=12，那么a1+a2+…+a9的值为（）
A． 18 B 27
C． 36 D 54
解：等差数列{an}中，a3+a5+a7=12，得：a5=4，a1+a2+…+a9=a1+a92·9=9·a5=36，选C
题型二 数列前n项和的性质
原题（苏教版必修5P4411）如果等差数列{an}的前n项和为Sn，那么S10,S20-S10,S30-S20是否成等差数列？你能得到更一般的结论吗？
变式（2011年广东省广州市高三上学期期末调研测试）等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2=6，S4=30,则S6=解：由题意，S2·(S6-S4)=(S4-S2)2，得：S6=126
三、 有关数列的求和问题
题型一 拆项求和
原题（苏教版必修5P608(1)） 已知数列{an}的通项公式为an=1n(n+1)，求前n项的和.
变式（2010山东理数）已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ） 求an及Sn；（Ⅱ） 令bn=1a2n-1(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn．
解：（Ⅰ） 略an=3+2(n-1)=2n+1；Sn=3n+n(n-1)2×2=n2+2n.
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知an=2n+1，所以bn=1a2n-1=1(2n+1)2-1=14·1n(n+1)=14·1n-1n+1,
所以Tn=14·1-12+12-13+…+1n-1n+1=14·1-1n+1=n4(n+1)，即数列{bn}的前n项和Tn=n4(n+1)
题型二 分组求和
原题（苏教版必修5P51例3）求数列1+12,2+14,3+18,…,n+12n,…的前n项和.
变式（2011年广东省珠海市第一学期期末考试题）已知函数f(x)的图象经过点(1,λ)，且对任意x∈R，都有f(x+1)=f(x)+2.数列{an}满足a1=λ-2,an+1=2n,n为奇数f(an),n为偶数.
（1） 当x为正整数时，求f(n)的表达式；（2） 设λ=3，求a1+a2+a3+…+a2n；
解：（1） f(n)=2n+λ-2.
（2） 由题设λ=3若n为偶数，则an=2n-1;
若n为奇数且n≥3，则an=f(an-1)=2an-1+λ-2=2·2n-2+λ-2=2n-1+λ-2，=2n-1+1
又a1=λ-2=1，即an=1 n=12n-1+1 n为奇数且n≥32n-1 n为偶数
a1+a2+a3+…+a2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)
=(20+22+…+22n-2+n-1)+(21+23+…+22n-1)
=(1+21+22+…+22n-1)+n-1=22n+n-2.
题型三 错位相减法求和
原题（苏教版必修5P50）等比数列前n项和公式的推导
变式（2011年江苏省苏北四市第一学期期末考试题）在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a2=2a1+3，且3a2,a4,5a3成等差数列.
（1） 求数列{an}的通项公式；（2） 设bn=log3an，求数列{anbn}的前n项和Sn.
解：（1） 数列{an}的通项公式为an=3n，n∈N*
（2） 由（1）可得bn=n，所以anbn=n·3n所以Sn=1·3+2·32+3·33+n·3n，
所以3Sn=1·32+2·33+3·34+n·3n+1，
两式相减得：2Sn=-3-(32+33+…+3n)+n·3n+1=-(3+32+33+…+3n)+n·3n+1
=-3(1-3n)1-3+n·3n+1=3+(2n-1)·3n+12
所以数列{anbn}的前n项和为3+(2n-1)·3n+12
题型四 倒序相加法求和
原题（苏教版必修5P39）等差数列前n项和公式的推导
变式(河南省开封市2008届高三年级第一次质量检)函数f(x)对任意x∈R都有f(x)＋f(1－x)＝12.
（1） 求f12和f1n+fn-1n(n∈N)的值；
（2） 数列{an}满足an=f(0)+f1n+f2n+…+fn-1n+f(1),求数列{an}的通项公式.
解：（1） 令x=12的f12=14令x=1n得f1n+f1-1n=12=f1n+fn-1n
（2） an=f(0)+f1n+…+fn-1n+f(1)又
an=f(1)+fn-1n+…+f1n+f(0),
两式相加2an=［f(0)+f(1)］+f1n+fn-1n+…+［f(1)+f(0)］=n+12
an=n+14(n∈N*)an+1-an=14,故数列{an}是等差数列
从以上各例可以看出，这些题与教材中的例习题不仅“形”似，还高度“神”似.这就要求我们在高三复习的任何阶段都不能脱离教材，在使用教材时，应从自身的实际和需求出发，对教材中典型的例习题要进行深入探究、合理延伸和拓展，要深挖例习题的本质，进行二次创造，变孤立的、静态的知识为有助于自身认知的、联系的、动态的知识，才能提高学习能力和学习效率，才能在以能力立意的高考中游刃有余.