【摘要】在判断limx→ ∞f（x）=0是否成立时，有时应用直接办法太复杂，我们也可以借助∫ ∞af（x）dx的敛散性，再结合一些已知条件来判断，常使复杂的问题简单化.
　　【关键词】收敛；发散；极限
　　预备知识
　　定义设函数f（x）定义在无穷区间[a， ∞），且在任何有限区间[a，b）上可积.如果存在极限limx→ ∞∫xaf（t）dt=J，则称此极限为函数f（x）在[a， ∞）上的无穷限非正常积分，记作：J=∫ ∞af（x）dx.
　　同时称∫ ∞af（x）dx收敛.如果极限不存在，则称无穷限积分发散.但∫ ∞af（x）dx收敛时不能推出limx→ ∞f（x）=0.
　　例如，∫ ∞0sinx2dx=∫ ∞0sint2tdt收敛，但limx→ ∞sinx2≠0，看来只在∫ ∞af（x）dx收敛的条件下不可能推出limx→ ∞f（x）=0，下面给f（x）付加一些条件就可以推出limx→ ∞f（x）=0.
　　（1）设∫ ∞af（x）dx收敛，且limx→ ∞f（x）存在，则一定有limx→ ∞f（x）=0.
　　证明若limx→ ∞f（x）为有限正数或无穷大，则都存在x0>a和c>0，使得当x>x0时，有f（x）>c，因此对A>x0有∫Aaf（x）dx=∫x 0af（x）dx ∫Ax0f（x）dx>∫x 0af（x）dx c（A-x0）> ∞，这与无穷限积分收敛的条件矛盾，可见limx→ ∞f（x）不可能是有限正数或无穷大，同样可以证明limx→ ∞f（x）也不可能是负数或负无穷大，因此得：limx→ ∞f（x）=0.
　　（2）∫ ∞af（x）dx收敛且f（x）在[a， ∞）上一致连续，则有limx→ ∞f（x）=0.
　　证明（反证法）若x→ ∞时，有f（x）不趋于0，则存在ε0>0，使得任意A>0，存在x1>A，有|f（x1）|≥ε0，又因为f（x）在[a， ∞）上一致连续，对ε02>0，存在δ>0，当|x′-x″|≤δ时，有|f（x′）-f（x″）|≤ε02，故当x∈[x1，x1 δ]时，有
　　|f（x）|≥|f（x）-f（x1） f（x1）|≥|f（x1）|-|f（x）-f（x1）|≥ε02.
　　并且f（x）与f（x1）同号（因为不然的话，|f（x）-f（x1）|>ε0产生矛盾）.
　　若f（x1）>0，则f（x）>0，从而由上式得f（x）>ε02故
　　∫x 1 δx1f（x）≥ε02∫x 1 δx1dx=ε02δ.同理f（x1）<0，也有∫x 0 δx1f（x）≥ε02δ这就证明了对ε02>0，对任意A，存在x1 δ>x1>A，使得∫x 1 δx0f（x）≥ε02δ.
　　根据cauchy准则，即∫ ∞af（x）dx发散，与假设矛盾.所以limx→ ∞f（x）=0.
　　（3）∫ ∞af（x）dx收敛且f（x）连续可微，且∫ ∞af′（x）dx也收敛，则limx→ ∞f（x）=0.
　　证明要证明x→ ∞时f（x）有极限，根据Heine定理，我们只要证明对任意{xn}→ ∞恒有{f（xn）}收敛，事实上，∫ ∞af′（x）dx收敛，根据Cauchy准则，对任意ε>0，存在A>a以及任意x1，x2>A，∫x 2x1f′（x）dx=|f（x2）-f（x1）|<ε，
　　因此任意{xn}→ ∞，存在N>0，当n，m>N时，有xn，xm>A，从而，∫x mxnf′（x）dx=|f（xm）-f（xn）|<ε.这表明{f（xn）}收敛，故由Heine定理推出limx→ ∞f（x）=a，由（1）可知limx→ ∞f（x）=a=0.
　　（4）∫ ∞af（x）dx收敛，且函数f（x）在x≥0上有一阶导数，|f′（x）|　　证明|f′（x）|　　（5）如果将函数f（x）变为单调，不仅有limx→ ∞f（x）=0而且对“阶”作了估计.
　　例∫ ∞af（x）dx收敛，且f（x）单减，则有limx→ ∞xf（x）=0.
　　证明首先有f（x）≥0，因为若存在某x1，使得f（x1）<0，则x>x1时，恒有f（x）　　其次，由∫ ∞af（x）dx收敛，知对任意的ε>0，存在A>a，当A″>A′>A时，有∫A″A′f（x）dx<ε2，故任意x>2A，有0　　【参考文献】
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