层层递进 横纵扩展

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  摘要:本文涵盖了初中三年多个教学中的知识点,多种初中数学学习的数学方法和思想。在初三复习时是一个举一反三的例题,也是教师对初中教学研究的一个参考。
  关键词:初中数学;教学研究
  一、生活中小数学:
  如图①在一条河流的两侧,有两个村庄,现在需要在河边修建一送水站P,使得送水站到两个村庄的距离和最短,求P点的位置?(河流宽度忽略不计)
  解决办法:如图②连接AB两点,交l与点P,P为所求。
  此题是在学习过沪科版第4章《直线与角》中4.2线段、射线、直线后,直接利用了 “两点之间、线段最短”这个知识点应用到图形中,即可得出作法。七年级学生在刚接触线段的相关定理时也可以很轻松的完成此题。
  等到八年级上册学习过第15章《轴对称图形和等腰三角形》中的15.1轴对称图形后,可将题目变形为:
  二、与函数的联系应用:
  沪科版八年级上册还学习了第11章《平面直角坐标系》,第12章《一次函数》,这两章是学生第一次接触、学习函数,也是对数形结合能力的重要考察。将上面的问题直接应用到平面直角坐标系中,将图形和函数结合,即可变形为数形结合题:
  3、如图⑤,在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),B(8,8),你能在x轴上找到一点P,使得PA+PB的值最小吗?求出点P的坐标。
  此时,可以将x轴看做是河流l,直接应用第2题的结论,就可以通过作图的方式找出點P:如图⑥,点A(0,2)关于x轴的对称点是A’(0,-2),连接A’B,与x轴的交点就是点P。
  在第2题的情境下,是无法得出有关点P的代数内容,但是将情境改在平面直角坐标系中,A’B也就可以看做是一个一次函数,只要求解出一次函数解析式,再求解出一次函数与x轴的交点既可以求出点P的坐标。解题过程如下:
  解:设 ,经过A’(0,-2),B(8,8)得:
  解得:
  ∴
  当 时, ,解得:
  ∴P
  此题除了考察了“两点之间、线段最短”、“轴对称性质”,还使用了“待定系数法求一次函数解析式”、“一次函数性质”等知识点,使用了转化、数形结合等思想综合解决问题。
  三、与根与系数的关系的联系应用:
  圆与直线的交点可以分为三种情况:两个交点;一个交点;没有交点,正如代数知识中的一元二次方程,可以有:两个不相等的根;两个相等的根;没有实数根,所以上题可以继续变形为:
  7、如图⑨,在线段CD上找一点P,使得点△PAC和△PBD相似,请问当l,m,n满足什么条件时,这样的点有1个?有2个?有3个?( )
  首先还是需要分类讨论:△PAC和△PBD相似可以理解为:(1)△PAC∽△PBD;(2)△PAC∽△BPD;
  如图?,设CP= ,则PD= ,∵∠ACP=∠PDB=90°,
  (1)当 时,△PAC∽△PBD
  即: ,
  解得: ( )
  (2)当 时,△PAC∽△BPD
  即: ,化简得:
  ∴当 时,有两个不相等的解;
  当 时,有两个相等的解;
  当 时,无实数解;
  综合上面两种情况,可得:
  當 时,有3个点,使得点△PAC和△PBD相似;
  当 时,有2个点,使得点△PAC和△PBD相似;
  当 时,有1个点,使得点△PAC和△PBD相似;
  此题也是特殊到一般的过程,首先还是根据相似三角形的知识分类讨论。第(1)种分类利用了 “相似三角形的判定—两组对应边的比相等,且夹角相等的两个三角形相似”、“一元一次方程的解法”等知识点,第(2)种分类还使用了“一元二次方程中根与系数的关系”等知识点解决问题。此题的主要解法与第6题不同,主要是从代数内容入手,几何知识使用了相似三角形的判定来辅助解决问题,与第6题的解法对比强烈。
  上述的第7题,从一个图形出发,横向可以扩展为与函数相关的求解题型,纵向可以扩展为相似形相关的知识,在证明相似的时候又可以横向发展以代数方法为主,和以几何方法为主的两种不同求解办法。过程中涵盖了初中三年多个教学中的知识点,多种初中数学学习的数学方法和思想。在初三复习时是一个举一反三的例题,也是教师对初中教学研究的一个参考。
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