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一、选择题:每小题5分,共25分.
1. 一圆形纸片的圆心为点O,点Q是圆内异于O点的一定点,点A是圆周上一点. 把纸片折叠使点A与点Q重合,然后展平纸片,折痕与OA交于P点. 当点A运动时点P的轨迹是( )
A. 圆 B. 椭圆
C. 双曲线?摇?摇?摇?摇?摇 D. 抛物线
2. 设F1,F2为双曲线C:■-■=1(a>0,b>0)的焦点,A,B分别为双曲线的左、右顶点,以F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M,且满足∠MAB=30°,则该双曲线的离心率为( )
A. 2 B. ■
C. ■ D. ■
3. 已知点P是椭圆■ ■=1(a>b>0)上一点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,I是△PF1F2的内心,若S■ S■=λS■成立,则λ的值为( )
A. ■ B. ■
C. ■ D. ■
4. 已知抛物线y2=2px(p>0),过点E(m,0)(m≠0)的直线交抛物线于点M,N,交y轴于点P,若■=λ■,■=μ■,则λ μ等于( )
A. 1 B. ■ C. -1 D. -2
5. 在抛物线y2=4x上有A,B两点,点F是抛物线的焦点,O是坐标原点,若■ 2■ 3■=0,则直线AB与x轴交点的横坐标为( )
A. 1 B.?摇■ C. 6 D. ■
二、填空题:每小题5分,共15分.
6. 过抛物线x2=4y焦点F的直线交抛物线于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则■ ■的取值范围是______.
7. 若点P在曲线C1:■-■=1上,点Q在曲线C2:(x-5)2 y2=1上,点R在曲线C3:(x 5)2 y2=1上,则PQ-PR的最大值是______.
8. 设双曲线■-■=1(a>b>0)的右焦点为F,过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A,B两点,与双曲线的其中一个交点为P,设O为坐标原点,若■=m■ n■(m,n∈R且m>n),且mn=■,则该双曲线的离心率为______.
三、解答题:每小题15分,共60分.
9. 如图1,过抛物线C1:y=■x2-2的顶点A作两条斜率之积为-■的直线,与抛物线交于另两点P,Q,直线PQ(PQ与x轴不垂直)与椭圆C2:■ x2=1相交于点M,N.
■
图1
(1)若直线PQ与y轴交于T(0,t),求t的值;
(2)若PQ,AM,AN的斜率分别为k,k1,k2,且k>0,求■-■-■的最小值.
10. 如图2,已知F1,F2分别是椭圆■ y2=1(a>1)的左、右焦点,若椭圆上存在一点M满足■·■=0.
■
图2
(1)求a的最小值;
(2)设A(0,1),B(0,-1),过椭圆的右顶点C的直线l与椭圆交于D(点D不同于点C),交y轴于点P(点P不同于坐标原点O),直线AD与BC交于点Q,当a取最小值时,判断■·■是否为定值,并证明你的结论.
11. 如图3,设点P为圆C1:x2 y2=2上的动点,过点P作x轴的垂线,垂足为Q. 动点M满足■■=■(其中P,Q不重合).
(1)求点M的轨迹C2的方程;
(2)过直线x=-2上的动点T作圆C■的两条切线,设切点分别为A,B. 若直线AB与(1)中的曲线C2交于C,D两点,求■的取值范围.
■
图3
12. 如图4,已知抛物线y=x2,直线l过点A(-1,2),但不经过点B(1,1),与抛物线交于M,N两点,点M的横坐标大于1,直线l的斜率为k,直线BM,BN的斜率分别为k1,k2.
(1)当AB⊥l时,求k1·k2的值;
(2)设△BAM和△BAN的面积分别为S1,S2,当k≤1时,求■的取值范围.
■
图4
1. 一圆形纸片的圆心为点O,点Q是圆内异于O点的一定点,点A是圆周上一点. 把纸片折叠使点A与点Q重合,然后展平纸片,折痕与OA交于P点. 当点A运动时点P的轨迹是( )
A. 圆 B. 椭圆
C. 双曲线?摇?摇?摇?摇?摇 D. 抛物线
2. 设F1,F2为双曲线C:■-■=1(a>0,b>0)的焦点,A,B分别为双曲线的左、右顶点,以F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M,且满足∠MAB=30°,则该双曲线的离心率为( )
A. 2 B. ■
C. ■ D. ■
3. 已知点P是椭圆■ ■=1(a>b>0)上一点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,I是△PF1F2的内心,若S■ S■=λS■成立,则λ的值为( )
A. ■ B. ■
C. ■ D. ■
4. 已知抛物线y2=2px(p>0),过点E(m,0)(m≠0)的直线交抛物线于点M,N,交y轴于点P,若■=λ■,■=μ■,则λ μ等于( )
A. 1 B. ■ C. -1 D. -2
5. 在抛物线y2=4x上有A,B两点,点F是抛物线的焦点,O是坐标原点,若■ 2■ 3■=0,则直线AB与x轴交点的横坐标为( )
A. 1 B.?摇■ C. 6 D. ■
二、填空题:每小题5分,共15分.
6. 过抛物线x2=4y焦点F的直线交抛物线于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则■ ■的取值范围是______.
7. 若点P在曲线C1:■-■=1上,点Q在曲线C2:(x-5)2 y2=1上,点R在曲线C3:(x 5)2 y2=1上,则PQ-PR的最大值是______.
8. 设双曲线■-■=1(a>b>0)的右焦点为F,过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A,B两点,与双曲线的其中一个交点为P,设O为坐标原点,若■=m■ n■(m,n∈R且m>n),且mn=■,则该双曲线的离心率为______.
三、解答题:每小题15分,共60分.
9. 如图1,过抛物线C1:y=■x2-2的顶点A作两条斜率之积为-■的直线,与抛物线交于另两点P,Q,直线PQ(PQ与x轴不垂直)与椭圆C2:■ x2=1相交于点M,N.
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图1
(1)若直线PQ与y轴交于T(0,t),求t的值;
(2)若PQ,AM,AN的斜率分别为k,k1,k2,且k>0,求■-■-■的最小值.
10. 如图2,已知F1,F2分别是椭圆■ y2=1(a>1)的左、右焦点,若椭圆上存在一点M满足■·■=0.
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图2
(1)求a的最小值;
(2)设A(0,1),B(0,-1),过椭圆的右顶点C的直线l与椭圆交于D(点D不同于点C),交y轴于点P(点P不同于坐标原点O),直线AD与BC交于点Q,当a取最小值时,判断■·■是否为定值,并证明你的结论.
11. 如图3,设点P为圆C1:x2 y2=2上的动点,过点P作x轴的垂线,垂足为Q. 动点M满足■■=■(其中P,Q不重合).
(1)求点M的轨迹C2的方程;
(2)过直线x=-2上的动点T作圆C■的两条切线,设切点分别为A,B. 若直线AB与(1)中的曲线C2交于C,D两点,求■的取值范围.
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图3
12. 如图4,已知抛物线y=x2,直线l过点A(-1,2),但不经过点B(1,1),与抛物线交于M,N两点,点M的横坐标大于1,直线l的斜率为k,直线BM,BN的斜率分别为k1,k2.
(1)当AB⊥l时,求k1·k2的值;
(2)设△BAM和△BAN的面积分别为S1,S2,当k≤1时,求■的取值范围.
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图4