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【摘要】线性代数课堂教学一直是代数类教学改革的焦点.以西南民族大学非数学专业类的理工科的线性代数教学为例，通过对线性代数课堂教学现状分析，提出了线性代数教学中存在的难点，并从数学问题研究的历史背景、数学理论与工具的实际应用、线性代数应用选修课的设置以及数学文化知识讲座等角度提出了线性代数课堂教学改革的策略，明确了从事线性代数教学研究的教育工作者的努力方向.
【关键词】线性代数教学；数学思维；抽象性；实际应用
【中图分类号】G643.2
【基金项目】西南民族大学代数类课程教学改革研究项目（2014QN12）
线性代数一直是高等教育中非数学专业类学生的核心基础课程.这不仅体现在它是考研公共数学的科目之一，更体现在它的抽象性与应用性的高度统一.代数相对于几何、拓扑等学科是较为抽象的一门学科，具备更多的数学文字符号.以西南民族大学的线性代数教学为例，理工科的学生通常选择同济版的线性代数教材.该教材首先介绍的就是行列式，这通常使得学生顿感抽象，导致学生学习代数的热情大大降低，甚至到最后学生学习这门课程只是为了应付考试，以至于线性代数的教学失去了原本的意义.另一方面，抽象与具体本质上是统一的，这也是激发学生学习兴趣的重要因素.而我们目前的线性代数课堂教学通常止步于抽象性，而对于线性代数的精彩应用被舍弃.本文以西南民族大学的线性代数教学为例，分析其教学现状，提出线性代数教学中存在的难点，并给出相应的对策.
一、线性代数课堂教学现状及其难点分析
西南民族大学非数学专业类理工科的线性代数通常设置为每周4课时（或5课时），共17周（或13周），总课时68课时（或65课时）.按照同济版（第六版）的线性代数的前言所示，前五章的内容大约需要34课时.实际上我们现在的教学也就是讲授到第五章.看似我们的课时大大超出大纲里提到的課时，实际上要完全理解线性代数的内容甚至是精髓，68课时或65课时是不够的.此外，同济版的教材是针对全国的高等院校，当然包含重点大学在内.而我们是民族院校，学生的数学水平差异较大，特别有一部分数学基础较薄弱的少数民族学生（这主要是由民族聚居地区初等教育水平不高所决定），这使得数学教师要把握好讲课的进度以及难易程度，自然加大了数学教师的授课难度.其次，线性代数的抽象性加大了学生学习的难度，同时也对数学教师的理论水平和授课技能提出了更高的要求.兴趣是学生学习的最大动力，如何抓住学生学习线性代数的兴趣，这就对教师的教学能力提出了更高的要求.比如，该教材的第一章就是讲授行列式，显得比较突兀，学生顿感抽象；第二章就是矩阵运算，矩阵就是一个数表，为什么要定义这些矩阵运算，这就好比“奉天承运皇帝诏曰”，从天而降的概念和运算.因此，如何引出这些理论或工具就显得特别重要.最后，由于同济版的线性代数教材习题有成套的习题参考答案，这就势必造成部分学生为了完成任务照抄习题答案.这样导致学生的学习能力没有提高，教师也无法清楚地了解学生的学习情况.这些现象都是线性代数教学中的难点问题.如何改革线性代数教学现状成为目前迫切需要解决的一个重要问题.
二、线性代数课堂教学改革策略
（一）从数学研究的历史背景入手，打造逻辑生动的数学课堂
数学以公式之优美、理论之奇妙、论证之严密、应用之广泛令人惊叹不已！究其原因，数学的思维方式发挥着巨大的威力.数学的思维方式是一个全过程：观察客观现象，提出要研究的问题，抓住主要特征，抽象出概念，或者建立模型.按照“观察—抽象—探索—猜测—论证”这一数学的思维方式去参与教学，这就使得学生比较容易学，而且可以享受学习数学的乐趣.比如，线性代数教材中的行列式和矩阵这两大工具的引入，势必需要从线性代数研究的中心问题出发来导出.什么是线性代数？线性代数干什么？“线性”就是“一次”，线性代数的主要研究内容就是研究多元的一次方程组与一次函数.一次方程组也称为线性方程组.常数项为0的多元一次函数y=a1x1 … anxn称为线性函数，n个n元线性函数组成的函数组yi=ai1x1 … ainxn（1≤i≤n）称为线性变换.线性代数的两大主题就是多元线性方程组与线性变换.线性方程组与线性变换可以由方程组或函数组中的系数排成矩阵来表示，通过矩阵运算来求解方程及解决相关的应用问题，其中最重要最基本的矩阵运算是初等变换和乘法这两个算法.通过这样的研究背景的介绍引入矩阵的概念，同时也说明了定义矩阵运算的必要性.因此，线性代数教学的第一步需要适当调整同济版教材的教学顺序，从解线性方程组出发，导出矩阵的概念和矩阵的初等变换的算法，利用高斯消元法求解方程.另一方面，特别要讨论方程个数与未知数的个数相等且是唯一解的这一类线性方程组，除了通用的高斯消元法之外还有没有其他方法？可不可以只利用方程组的系数和常数项直接求解？由此引入行列式这一符号（最初行列式的出现仅仅作为一个速记工具）.因此，正如北京航空航天大学李尚志教授所说：我们不是以“奉天承运皇帝诏曰”的方式从天而降概念、算法和定理，也不是在学生不知有何用处的情况下先学好算法再拿去应用，而是从研究的历史背景和问题出发，在尝试结局问题的过程中将所需的算法“发明”出来.
（二）将线性代数的实际应用适当地引入课堂教学中
线性代数研究的是最简单的方程和函数，算法也比微积分少得多，按道理应当容易学.但实际情况是，多数学生学起来并不轻松.主要困难是太抽象.线性代数一开始就是一个接一个的抽象定义，使初学者难以理解.比如，行列式为什么这样定义？矩阵为什么这样相乘？线性相关、线性无关是什么意思，有什么用处？这些问题都让学生，甚至很多讲授线性代数课程的教师迷惑不解.因此，除了上述提到的从研究问题的历史背景引入理论和工具之外，课堂教学还应注重理论和工具的实际应用.例如，利用二阶行列式根据顶点坐标计算平行四边形和三角形的面积；判断线性方程组是否有唯一解实际上就是判断系数矩阵各列是否线性无关；利用矩阵乘法来实现平面上和空间中的旋转；计算空间中的旋转轴时，实际上就是求特征值为1的特征向量，等等.当然教师选择的问题，尽量是在现实生活和学生今后工作中有用的问题，并且希望是学生感兴趣、容易懂的问题，因此也不需要选择需要较多专业知识或综合性太强的实际问题.这样也使得学生看到发明出来的理论和工具并不仅仅局限于某一方面的应用，它们还能解决其他许许多多的问题.在科学研究中，用从许多事物中总结出来的结论和方法解决成千上万的问题，这就是抽象的威力.因此，如果在教学中不举任何实例，不讲任何应用，只让学生死记硬背，势必导致学生害怕抽象，失去了抽象原本的意义.因而这不是抽象的错，也不是学生的错，而是教学方式的错. （三）设置针对线性代数应用的选修课
由于为线性代数设置的课时数主要是为了学生能学完基础理论知识，因此线性代数课堂中补充的应用举例就显得相对较少.但在实际问题，特别是工程应用和理论中会遇到应用线性代数的知识和算法.因而，教师可以设置针对线性代数应用的选修课，以此强化学生对线性代数的理解和运用.
（四）习题评讲中的举一反三
由于现行的线性代数教材都有专门的习题参考书，这为某些想走捷径的学生、只为应付作业任务的学生提供了便利.针对这一现象，教师可以适当地改编习题或布置其他参考教材中的练习，这是其一；其二，教师在评讲习题时注重对理论的融会贯通，使学生抓住问题的本质，达到举一反三.
（五）一学期安排一到两次的数学文化知识讲座
數学课堂除了理论知识的传授之外，还需扩充一些相关的数学人文知识.数学的教学不仅传授数学知识，使学生受到科学思维方式的训练，而且还需要陶冶人文精神：客观、公正、讲理、严谨、勇于创新、坚韧不拔、灵活机动、谦虚谨慎，从而使学生终身受益.因此，在一学期的课堂教学中安排一到两次数学文化知识讲座是很有必要的.这样让学生了解数学家们是如何用数学精神探索并解决一个个数学问题，也让学生感受到数学理论的创造发明与发展的来之不易，激发学生的探索精神，也加强学生无论在学习还是社会生活中的不畏挫折的能力.
三、结束语
我们通过分析西南民族大学理工科线性代数教学现状，抓住其教学中的难点，并提出了必要的改革策略.在明确了线性代数教学的问题所在之后，更需要我们从事线性代数教学研究的教师丰富自身的数学内涵，拓宽自身的数学视野，在备课的过程中考虑全面，使其在课堂教学中真正体现数学的科学思维，使抽象理论与具体实际融会贯通，让学生领略数学的风采.
【参考文献】
[1]李尚志.线性代数[M].北京：高等教育出版社，2014.
[2]李尚志.线性代数学习指导[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2015.
[3]丘维声.数学的思维方式与创新[M].北京：北京大学出版社，2014.
[4]丘维声.高等代数（上册、下册）[M].北京：清华大学出版社，2015.
[5]丘维声.高等代数[M].北京：科学出版社，2014.
[6]Carl B Boyer，Uta C Merzbach.数学史（上、下）（修订版）[M].北京：中央编译出版社，1991.
[7]I Kaplansky.Linear Algebra and Geometry[M].New York：Chelsea Publishing Company，1974.
[8]同济大学数学系.线性代数[M].第6版.北京：高等教育出版社，2013.
【关键词】线性代数教学；数学思维；抽象性；实际应用
【中图分类号】G643.2
【基金项目】西南民族大学代数类课程教学改革研究项目（2014QN12）
线性代数一直是高等教育中非数学专业类学生的核心基础课程.这不仅体现在它是考研公共数学的科目之一，更体现在它的抽象性与应用性的高度统一.代数相对于几何、拓扑等学科是较为抽象的一门学科，具备更多的数学文字符号.以西南民族大学的线性代数教学为例，理工科的学生通常选择同济版的线性代数教材.该教材首先介绍的就是行列式，这通常使得学生顿感抽象，导致学生学习代数的热情大大降低，甚至到最后学生学习这门课程只是为了应付考试，以至于线性代数的教学失去了原本的意义.另一方面，抽象与具体本质上是统一的，这也是激发学生学习兴趣的重要因素.而我们目前的线性代数课堂教学通常止步于抽象性，而对于线性代数的精彩应用被舍弃.本文以西南民族大学的线性代数教学为例，分析其教学现状，提出线性代数教学中存在的难点，并给出相应的对策.
一、线性代数课堂教学现状及其难点分析
西南民族大学非数学专业类理工科的线性代数通常设置为每周4课时（或5课时），共17周（或13周），总课时68课时（或65课时）.按照同济版（第六版）的线性代数的前言所示，前五章的内容大约需要34课时.实际上我们现在的教学也就是讲授到第五章.看似我们的课时大大超出大纲里提到的課时，实际上要完全理解线性代数的内容甚至是精髓，68课时或65课时是不够的.此外，同济版的教材是针对全国的高等院校，当然包含重点大学在内.而我们是民族院校，学生的数学水平差异较大，特别有一部分数学基础较薄弱的少数民族学生（这主要是由民族聚居地区初等教育水平不高所决定），这使得数学教师要把握好讲课的进度以及难易程度，自然加大了数学教师的授课难度.其次，线性代数的抽象性加大了学生学习的难度，同时也对数学教师的理论水平和授课技能提出了更高的要求.兴趣是学生学习的最大动力，如何抓住学生学习线性代数的兴趣，这就对教师的教学能力提出了更高的要求.比如，该教材的第一章就是讲授行列式，显得比较突兀，学生顿感抽象；第二章就是矩阵运算，矩阵就是一个数表，为什么要定义这些矩阵运算，这就好比“奉天承运皇帝诏曰”，从天而降的概念和运算.因此，如何引出这些理论或工具就显得特别重要.最后，由于同济版的线性代数教材习题有成套的习题参考答案，这就势必造成部分学生为了完成任务照抄习题答案.这样导致学生的学习能力没有提高，教师也无法清楚地了解学生的学习情况.这些现象都是线性代数教学中的难点问题.如何改革线性代数教学现状成为目前迫切需要解决的一个重要问题.
二、线性代数课堂教学改革策略
（一）从数学研究的历史背景入手，打造逻辑生动的数学课堂
数学以公式之优美、理论之奇妙、论证之严密、应用之广泛令人惊叹不已！究其原因，数学的思维方式发挥着巨大的威力.数学的思维方式是一个全过程：观察客观现象，提出要研究的问题，抓住主要特征，抽象出概念，或者建立模型.按照“观察—抽象—探索—猜测—论证”这一数学的思维方式去参与教学，这就使得学生比较容易学，而且可以享受学习数学的乐趣.比如，线性代数教材中的行列式和矩阵这两大工具的引入，势必需要从线性代数研究的中心问题出发来导出.什么是线性代数？线性代数干什么？“线性”就是“一次”，线性代数的主要研究内容就是研究多元的一次方程组与一次函数.一次方程组也称为线性方程组.常数项为0的多元一次函数y=a1x1 … anxn称为线性函数，n个n元线性函数组成的函数组yi=ai1x1 … ainxn（1≤i≤n）称为线性变换.线性代数的两大主题就是多元线性方程组与线性变换.线性方程组与线性变换可以由方程组或函数组中的系数排成矩阵来表示，通过矩阵运算来求解方程及解决相关的应用问题，其中最重要最基本的矩阵运算是初等变换和乘法这两个算法.通过这样的研究背景的介绍引入矩阵的概念，同时也说明了定义矩阵运算的必要性.因此，线性代数教学的第一步需要适当调整同济版教材的教学顺序，从解线性方程组出发，导出矩阵的概念和矩阵的初等变换的算法，利用高斯消元法求解方程.另一方面，特别要讨论方程个数与未知数的个数相等且是唯一解的这一类线性方程组，除了通用的高斯消元法之外还有没有其他方法？可不可以只利用方程组的系数和常数项直接求解？由此引入行列式这一符号（最初行列式的出现仅仅作为一个速记工具）.因此，正如北京航空航天大学李尚志教授所说：我们不是以“奉天承运皇帝诏曰”的方式从天而降概念、算法和定理，也不是在学生不知有何用处的情况下先学好算法再拿去应用，而是从研究的历史背景和问题出发，在尝试结局问题的过程中将所需的算法“发明”出来.
（二）将线性代数的实际应用适当地引入课堂教学中
线性代数研究的是最简单的方程和函数，算法也比微积分少得多，按道理应当容易学.但实际情况是，多数学生学起来并不轻松.主要困难是太抽象.线性代数一开始就是一个接一个的抽象定义，使初学者难以理解.比如，行列式为什么这样定义？矩阵为什么这样相乘？线性相关、线性无关是什么意思，有什么用处？这些问题都让学生，甚至很多讲授线性代数课程的教师迷惑不解.因此，除了上述提到的从研究问题的历史背景引入理论和工具之外，课堂教学还应注重理论和工具的实际应用.例如，利用二阶行列式根据顶点坐标计算平行四边形和三角形的面积；判断线性方程组是否有唯一解实际上就是判断系数矩阵各列是否线性无关；利用矩阵乘法来实现平面上和空间中的旋转；计算空间中的旋转轴时，实际上就是求特征值为1的特征向量，等等.当然教师选择的问题，尽量是在现实生活和学生今后工作中有用的问题，并且希望是学生感兴趣、容易懂的问题，因此也不需要选择需要较多专业知识或综合性太强的实际问题.这样也使得学生看到发明出来的理论和工具并不仅仅局限于某一方面的应用，它们还能解决其他许许多多的问题.在科学研究中，用从许多事物中总结出来的结论和方法解决成千上万的问题，这就是抽象的威力.因此，如果在教学中不举任何实例，不讲任何应用，只让学生死记硬背，势必导致学生害怕抽象，失去了抽象原本的意义.因而这不是抽象的错，也不是学生的错，而是教学方式的错. （三）设置针对线性代数应用的选修课
由于为线性代数设置的课时数主要是为了学生能学完基础理论知识，因此线性代数课堂中补充的应用举例就显得相对较少.但在实际问题，特别是工程应用和理论中会遇到应用线性代数的知识和算法.因而，教师可以设置针对线性代数应用的选修课，以此强化学生对线性代数的理解和运用.
（四）习题评讲中的举一反三
由于现行的线性代数教材都有专门的习题参考书，这为某些想走捷径的学生、只为应付作业任务的学生提供了便利.针对这一现象，教师可以适当地改编习题或布置其他参考教材中的练习，这是其一；其二，教师在评讲习题时注重对理论的融会贯通，使学生抓住问题的本质，达到举一反三.
（五）一学期安排一到两次的数学文化知识讲座
數学课堂除了理论知识的传授之外，还需扩充一些相关的数学人文知识.数学的教学不仅传授数学知识，使学生受到科学思维方式的训练，而且还需要陶冶人文精神：客观、公正、讲理、严谨、勇于创新、坚韧不拔、灵活机动、谦虚谨慎，从而使学生终身受益.因此，在一学期的课堂教学中安排一到两次数学文化知识讲座是很有必要的.这样让学生了解数学家们是如何用数学精神探索并解决一个个数学问题，也让学生感受到数学理论的创造发明与发展的来之不易，激发学生的探索精神，也加强学生无论在学习还是社会生活中的不畏挫折的能力.
三、结束语
我们通过分析西南民族大学理工科线性代数教学现状，抓住其教学中的难点，并提出了必要的改革策略.在明确了线性代数教学的问题所在之后，更需要我们从事线性代数教学研究的教师丰富自身的数学内涵，拓宽自身的数学视野，在备课的过程中考虑全面，使其在课堂教学中真正体现数学的科学思维，使抽象理论与具体实际融会贯通，让学生领略数学的风采.
【参考文献】
[1]李尚志.线性代数[M].北京：高等教育出版社，2014.
[2]李尚志.线性代数学习指导[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2015.
[3]丘维声.数学的思维方式与创新[M].北京：北京大学出版社，2014.
[4]丘维声.高等代数（上册、下册）[M].北京：清华大学出版社，2015.
[5]丘维声.高等代数[M].北京：科学出版社，2014.
[6]Carl B Boyer，Uta C Merzbach.数学史（上、下）（修订版）[M].北京：中央编译出版社，1991.
[7]I Kaplansky.Linear Algebra and Geometry[M].New York：Chelsea Publishing Company，1974.
[8]同济大学数学系.线性代数[M].第6版.北京：高等教育出版社，2013.