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摘 要：“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形相结合，在近年的中考和数学竞赛中常以压轴题的形式出现。这类问题不仅考查学生综合实践、判断推理能力，而且培养了学生的抽象能力、直观想象能力和数学建模核心素养。
关键词：直观想象;数学抽象;模型思想;图形变换;数学本质
一、 引言
教育家张世钦认为，学生只有在充分的具体经验积累之后，才能逐渐领会其核心价值和本质特征，在这个过程中，教师不仅要做到兼顾核心概念的数学逻辑，还应注重学生学习的心理逻辑。“将军饮马”问题的教学设计，从学生原有的认知出发，结合教师创设的情境，引導学生自主提出问题、研究问题、解决问题，并围绕学生的核心素养展开教学。其次落实教师和学生共同参与教学过程，有利于改变教师单方面掌控课堂的现象，从而极大地改善师生关系，提高学生学习数学的兴趣。基于以上思考制订出本节课的教学目标：1. 通过几何画板演示引导学生体验所求的点的存在性及做法的合理性，培养学生的直观想象素养;2. 通过变化的背景引导学生利用图形变换等相关知识解决最短路径问题，培养学生数学抽象的素养;3. 通过培养学生的模型思想，帮助学生构建解决问题的数学模型，形成解决此类问题的通法。
二、 教学设计
问题1：如图1，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地。牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
（一）辨析模型
1. 判断C点的存在性
学情分析：根据学生已有认知及这一内容对学生能力要求，找准学生思维的盲点。如图1，学生能将实际问题抽象成数学问题，把河流抽象成一条直线l，而学生的思维困惑是：如何在直线l上找到合适的C点，使得AC+BC的值最小。
师生活动：让学生先猜想是否存在点C，教师再进行几何画板演示，拖动C点向右移动，观察AC+BC值的变化情况，学生发现AC+BC的值先变小再变大。而拖动C点向左移动，AC+BC的值先变大再变小，则说明直线l上一定存在一点C满足AC+BC的值最小。
[设计意图]：让学生经历猜想AC+BC数值变化的过程，通过对数值的观察、比较，归纳出AC+BC的最值点C存在的确定性。
2. 展示学生作图
师生活动：出示学生依据垂最短所作的图，过点A作直线l的垂这类画法。
[设计意图]：展示学生的错误思维，学生经历解决问题的思维历程，不但使得学生的思维方式得到锻炼，而且从学生认知冲突中奠定“以研定导”“以导促研”“导研耦合”的教学思维。
师生活动：制作几何画板动态演示。
拖动C向右移动，AC+BC值在逐渐变小，发现C在垂足时C1处时不能满足AC+BC的值最小。而向左拖动C点，AC+BC值在变大，同样点C在垂足C2处时，也不能满足AC+BC值最小。综上所述，过A点或B点作直线l的垂的方法找到点C，并不能使得AC+BC值最小。
[设计意图]：教师通过几何画板的动态演示，展示学生利用“垂最短”解决和最小值的思维误区，使之在思维转变中感悟数学认知结构和改变解题策略，从而提升学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，以及发展学生的逻辑推理能力。
（二）联想基本模型
根据学生已有知识的最近发展区，引导学生发现可利用公理“两点之间最短”解决问题。
思考2：现在假设点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何在直线l上找到一个点C，满足AC+BC的值最小。
学生很容易想到：连接AB，交直线l于点C，此时点A、C、B三点共线，AC+BC的值就转化为AB的长，依据“两点之间最短”的知识，学生很快得出点C满足AC+BC的值最小。
[设计意图]：教师提出相应的情境与素材，将数学问题与实际情景相结合，激发学生的学习兴趣，感受到学习知识的必要性，从而自然而然地提出数学问题。教师结合实际问题探寻数学与生活实际的关系，学生在分析问题时寻找解题思路，由此激发学生主观能动性，积极地参与问题的探究中。
（三）难点突破
思考3：如果点A、B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决所走路径最短的问题？
1. 学情分析：将同侧点问题转换为异侧是解决问题的难点。如何将点B转换到l的另一侧B′处，是解决问题的关键。以往的教师会直接告诉学生，通过做对称点来解决问题，回避了学生认知上的难点，可以进行以下的探讨：
师生活动：教师几何画板演示，引导学生观察：
（1）拖动点A，每一个点在直线异侧都有一个点与之对应的对应点。
（2）引导学生观察AC+BC的值与AB′长度的数量关系，在点A移动的过程中，它们数值始终相等，当AB′的长度最短时，AC+BC的值也最小，由此说明，要使AC+BC的值最小就得满足两个条件：①A、C、B′三点共线;②l上的点C使得BC=B′C。
（3）引导学生进行分析：要使BC=B′C，根据垂直平分线的判定定理可以得到C为BB′的垂直平分线上一点，拖动A到A′处，同样要使BC1=B′C1，C1也为BB′的垂直平分线上一点。根据“两点确定一条直线”，可以得到直线l是BB′的垂直平分线，即B′是B点关于l的对称点。
[设计意图]：以问题引导，问题驱动的形式指导学生研究与思考，学生通过观察发现在直线异侧有唯一的点与之对应，真正理解作定点的对称点的本质意义，由同侧转化为异侧，探寻将军饮马问题的数学根源，给学生提供切实有效的逻辑思维。
（四）作法指导
寻找到C点的作法：
（1）作点B关于直线l的对称点B′; （2）连接AB′与直线l相交于点C，则点C即为所求的点。
（五）结果论证：
思考4：用所学的知识论证AC+BC值是最小。
师生活动：用所学知识论证AC+BC值最小，也就是说在直线上任取一个不同于C点的C′点，我们就一定可以得到AC′+BC′>AC+BC。
利用垂直平分线得到：BC=B′C，BC′=B′C′
∵AC+BC=AC+B′C=AB′，
则AC′+BC′=AC′+B′C′，
由此得出AC′，B′C′，AB′是构成ΔAB′C′的三边。
根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，得到AC′+B′C′>AB′即：AC′+BC′>AC+BC。
[设计意图]：引導学生利用所学知识验证点C的存在性。学生经历“观察—猜想—证明—剖析—使用—归纳”完整的探索过程，能够积累数学活动经验，培养思维的严谨性。
归纳总结：求两条线段的和差（不共线）之间的最值问题，通过作对称点的方法，利用轴对称的性质也就是图形的轴对称变换，将未知的同侧问题转化成已知的异侧问题。
[设计意图]：形成解题思路是本节课学生思维第一次飞跃，通过学生归纳与总结，初步形成解题思路，探寻到解决两条不共线的和差的最值问题的数学原理。
三、 解题总结与推广
（一）例题
如图2，变式：在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成三角形周长最短，找出E、F两点，并说明理由。
[设计意图]：对教材例题进行深入挖掘，设置梯度合理变式题目，紧密围绕基本模型变式拓展，提升学生模型意识，培养学生辩证唯物主义思想，在变化的图形中，寻找不变的因素。
（二）拓展
A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假设河的两岸是两条平行的直线，桥与河垂直）？
（1）学情分析：根据已有的认知水平，学生能够解决在一条定直线上找一动点到两定点的距离最值问题，那么如何将两条直线转化成一条直线是解决这类问题的关键，如图3。
（2）难点突破：
①问题分析：如图3，把问题抛给学生，通过自主探索，学生发现无论桥架在哪里，桥的宽度MN的值始终不变值，是一个定值。要使AM+MN+NB的值最小，只要AM+NB的值最小，就得使AM、NB两条转化为一条。②猜想：学生经历学习过程，积累解决最值问题经验，利用图形的平移变换，将两条直线转化成一条直线。③教具演示：为了突破难点，教师自制教具将直线b向上平移，河宽度距离到B′处MN重合要使AM+NB′最小求AB′的长即可。④证明：如何证明所做M点是所求的点，留给学生课后思考，达到分层教学目的。
[设计意图]：通过学生猜想，教师自制教具动态演示，使问题由抽象变为直观，将未知问题转化为已知问题，有效突破难点，培养学生空间想象能力，发展学生数学抽象素养。再次形成解题思路是本节课学生思维第二次飞跃，通过学生归纳与总结，让学生感知解决和（周长）最值问题原理及策略，内化学习经验，深化认知策略，完善知识体系。
（三）中考链接
以近几年中考为例，探讨“将军饮马问题”在平面直角坐标系、四边形、抛物线综合运用，经历探索最短路径过程，整合相关知识，提升解决问题能力，为学生中考备考，教师备课提供良好素材。
1. （2015·新疆）如图4，直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线y=a（x-2）2+k经过A，B点并与x轴交于另一点C，其顶点为P。
（1）抛物线的对称轴上是否存在一点M，使△ABM的周长最小？若存在，求△ABM的周长;若不存在，请说明理由。
理由：要使△ABM周长最短，AB长度是定值，只要BM+MA值最短。在抛物线背景中抽取基本模型，两定点，一定直线，这里作A、B点的对称点均可，但由于抛物线自身的对称性找AA′点的对称点C更为简便。
2. （湖北咸宁）如图5所示，P（m，n）是抛物线y=14x2-1上任意一点，直线是过点（0，-2）且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为H。
（1）对任意m，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想;（结论：OP=PH）
（2）已知M（1，2）试探究在该抛物线上是否存在点N，使得MN+NO取得最小值？若存在，求出点N的坐标;若不存在，请说明理由。
分析：两定点一线（这里将军饮马模型中直线变成抛物线）通过旋转变换，找到与ON相等的NQ，要使MN+NO值最小，只要MN、NQ三点共线即可。
总结提升：利用旋转的知识，使点在线的异侧，根据两点之间线段最短来解决问题。这是本节课学生思维第三次飞跃，对知识体系进行完善，教师引导学生举一反三，学生则从整体上感知解决和（周长）的最值问题原理，形成解题基本策略，内化学习经验，深化认知策略，建构知识体系。
四、 “将军饮马”问题再设计几点思考
1. “初中数学学习是让学生积极探索，经历数学知识再发现”的过程，是在不断反思、猜想和应用中对学习对象深度加工的过程，这样不仅有利于学生理解知识本质，而且可以培养学生的探究精神，并为后续高中的学习埋下伏笔。2. “最短路径”问题根据平移变换将两条直线转化成一条直线，旋转变换、轴对称变换将同侧点转化成异侧点—利用两点之间最短解决问题。在点的个数变，线的条数变，线的直与曲之间的变，但本质不变。3. 猜想、分析、证明让学生亲身经历教学过程，学生能在变化的载体中剥离基本图形抓住不变的核心特征，确定定点和定线，利用图形的轴对称、平移、旋转变换和转化的数学思想，把同侧的点转化为异侧的点，实现“折转直”，解决（不共线）和最值问题。
参考文献：
[1]顾明远.站在孩子的视角谈教育[M].天津出版社，2014：11.
[2]张进，唐芬.谈“将军饮马问题”[J].中国数学教育，2016（7-8）.
[3]刘月霞，郭华.深度学习：走向核心素养[M].教育科学出版社，2018：11.
作者简介：
秦玉红，新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州，昌吉市第七中学。
关键词：直观想象;数学抽象;模型思想;图形变换;数学本质
一、 引言
教育家张世钦认为，学生只有在充分的具体经验积累之后，才能逐渐领会其核心价值和本质特征，在这个过程中，教师不仅要做到兼顾核心概念的数学逻辑，还应注重学生学习的心理逻辑。“将军饮马”问题的教学设计，从学生原有的认知出发，结合教师创设的情境，引導学生自主提出问题、研究问题、解决问题，并围绕学生的核心素养展开教学。其次落实教师和学生共同参与教学过程，有利于改变教师单方面掌控课堂的现象，从而极大地改善师生关系，提高学生学习数学的兴趣。基于以上思考制订出本节课的教学目标：1. 通过几何画板演示引导学生体验所求的点的存在性及做法的合理性，培养学生的直观想象素养;2. 通过变化的背景引导学生利用图形变换等相关知识解决最短路径问题，培养学生数学抽象的素养;3. 通过培养学生的模型思想，帮助学生构建解决问题的数学模型，形成解决此类问题的通法。
二、 教学设计
问题1：如图1，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地。牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
（一）辨析模型
1. 判断C点的存在性
学情分析：根据学生已有认知及这一内容对学生能力要求，找准学生思维的盲点。如图1，学生能将实际问题抽象成数学问题，把河流抽象成一条直线l，而学生的思维困惑是：如何在直线l上找到合适的C点，使得AC+BC的值最小。
师生活动：让学生先猜想是否存在点C，教师再进行几何画板演示，拖动C点向右移动，观察AC+BC值的变化情况，学生发现AC+BC的值先变小再变大。而拖动C点向左移动，AC+BC的值先变大再变小，则说明直线l上一定存在一点C满足AC+BC的值最小。
[设计意图]：让学生经历猜想AC+BC数值变化的过程，通过对数值的观察、比较，归纳出AC+BC的最值点C存在的确定性。
2. 展示学生作图
师生活动：出示学生依据垂最短所作的图，过点A作直线l的垂这类画法。
[设计意图]：展示学生的错误思维，学生经历解决问题的思维历程，不但使得学生的思维方式得到锻炼，而且从学生认知冲突中奠定“以研定导”“以导促研”“导研耦合”的教学思维。
师生活动：制作几何画板动态演示。
拖动C向右移动，AC+BC值在逐渐变小，发现C在垂足时C1处时不能满足AC+BC的值最小。而向左拖动C点，AC+BC值在变大，同样点C在垂足C2处时，也不能满足AC+BC值最小。综上所述，过A点或B点作直线l的垂的方法找到点C，并不能使得AC+BC值最小。
[设计意图]：教师通过几何画板的动态演示，展示学生利用“垂最短”解决和最小值的思维误区，使之在思维转变中感悟数学认知结构和改变解题策略，从而提升学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，以及发展学生的逻辑推理能力。
（二）联想基本模型
根据学生已有知识的最近发展区，引导学生发现可利用公理“两点之间最短”解决问题。
思考2：现在假设点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何在直线l上找到一个点C，满足AC+BC的值最小。
学生很容易想到：连接AB，交直线l于点C，此时点A、C、B三点共线，AC+BC的值就转化为AB的长，依据“两点之间最短”的知识，学生很快得出点C满足AC+BC的值最小。
[设计意图]：教师提出相应的情境与素材，将数学问题与实际情景相结合，激发学生的学习兴趣，感受到学习知识的必要性，从而自然而然地提出数学问题。教师结合实际问题探寻数学与生活实际的关系，学生在分析问题时寻找解题思路，由此激发学生主观能动性，积极地参与问题的探究中。
（三）难点突破
思考3：如果点A、B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决所走路径最短的问题？
1. 学情分析：将同侧点问题转换为异侧是解决问题的难点。如何将点B转换到l的另一侧B′处，是解决问题的关键。以往的教师会直接告诉学生，通过做对称点来解决问题，回避了学生认知上的难点，可以进行以下的探讨：
师生活动：教师几何画板演示，引导学生观察：
（1）拖动点A，每一个点在直线异侧都有一个点与之对应的对应点。
（2）引导学生观察AC+BC的值与AB′长度的数量关系，在点A移动的过程中，它们数值始终相等，当AB′的长度最短时，AC+BC的值也最小，由此说明，要使AC+BC的值最小就得满足两个条件：①A、C、B′三点共线;②l上的点C使得BC=B′C。
（3）引导学生进行分析：要使BC=B′C，根据垂直平分线的判定定理可以得到C为BB′的垂直平分线上一点，拖动A到A′处，同样要使BC1=B′C1，C1也为BB′的垂直平分线上一点。根据“两点确定一条直线”，可以得到直线l是BB′的垂直平分线，即B′是B点关于l的对称点。
[设计意图]：以问题引导，问题驱动的形式指导学生研究与思考，学生通过观察发现在直线异侧有唯一的点与之对应，真正理解作定点的对称点的本质意义，由同侧转化为异侧，探寻将军饮马问题的数学根源，给学生提供切实有效的逻辑思维。
（四）作法指导
寻找到C点的作法：
（1）作点B关于直线l的对称点B′; （2）连接AB′与直线l相交于点C，则点C即为所求的点。
（五）结果论证：
思考4：用所学的知识论证AC+BC值是最小。
师生活动：用所学知识论证AC+BC值最小，也就是说在直线上任取一个不同于C点的C′点，我们就一定可以得到AC′+BC′>AC+BC。
利用垂直平分线得到：BC=B′C，BC′=B′C′
∵AC+BC=AC+B′C=AB′，
则AC′+BC′=AC′+B′C′，
由此得出AC′，B′C′，AB′是构成ΔAB′C′的三边。
根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，得到AC′+B′C′>AB′即：AC′+BC′>AC+BC。
[设计意图]：引導学生利用所学知识验证点C的存在性。学生经历“观察—猜想—证明—剖析—使用—归纳”完整的探索过程，能够积累数学活动经验，培养思维的严谨性。
归纳总结：求两条线段的和差（不共线）之间的最值问题，通过作对称点的方法，利用轴对称的性质也就是图形的轴对称变换，将未知的同侧问题转化成已知的异侧问题。
[设计意图]：形成解题思路是本节课学生思维第一次飞跃，通过学生归纳与总结，初步形成解题思路，探寻到解决两条不共线的和差的最值问题的数学原理。
三、 解题总结与推广
（一）例题
如图2，变式：在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成三角形周长最短，找出E、F两点，并说明理由。
[设计意图]：对教材例题进行深入挖掘，设置梯度合理变式题目，紧密围绕基本模型变式拓展，提升学生模型意识，培养学生辩证唯物主义思想，在变化的图形中，寻找不变的因素。
（二）拓展
A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假设河的两岸是两条平行的直线，桥与河垂直）？
（1）学情分析：根据已有的认知水平，学生能够解决在一条定直线上找一动点到两定点的距离最值问题，那么如何将两条直线转化成一条直线是解决这类问题的关键，如图3。
（2）难点突破：
①问题分析：如图3，把问题抛给学生，通过自主探索，学生发现无论桥架在哪里，桥的宽度MN的值始终不变值，是一个定值。要使AM+MN+NB的值最小，只要AM+NB的值最小，就得使AM、NB两条转化为一条。②猜想：学生经历学习过程，积累解决最值问题经验，利用图形的平移变换，将两条直线转化成一条直线。③教具演示：为了突破难点，教师自制教具将直线b向上平移，河宽度距离到B′处MN重合要使AM+NB′最小求AB′的长即可。④证明：如何证明所做M点是所求的点，留给学生课后思考，达到分层教学目的。
[设计意图]：通过学生猜想，教师自制教具动态演示，使问题由抽象变为直观，将未知问题转化为已知问题，有效突破难点，培养学生空间想象能力，发展学生数学抽象素养。再次形成解题思路是本节课学生思维第二次飞跃，通过学生归纳与总结，让学生感知解决和（周长）最值问题原理及策略，内化学习经验，深化认知策略，完善知识体系。
（三）中考链接
以近几年中考为例，探讨“将军饮马问题”在平面直角坐标系、四边形、抛物线综合运用，经历探索最短路径过程，整合相关知识，提升解决问题能力，为学生中考备考，教师备课提供良好素材。
1. （2015·新疆）如图4，直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线y=a（x-2）2+k经过A，B点并与x轴交于另一点C，其顶点为P。
（1）抛物线的对称轴上是否存在一点M，使△ABM的周长最小？若存在，求△ABM的周长;若不存在，请说明理由。
理由：要使△ABM周长最短，AB长度是定值，只要BM+MA值最短。在抛物线背景中抽取基本模型，两定点，一定直线，这里作A、B点的对称点均可，但由于抛物线自身的对称性找AA′点的对称点C更为简便。
2. （湖北咸宁）如图5所示，P（m，n）是抛物线y=14x2-1上任意一点，直线是过点（0，-2）且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为H。
（1）对任意m，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想;（结论：OP=PH）
（2）已知M（1，2）试探究在该抛物线上是否存在点N，使得MN+NO取得最小值？若存在，求出点N的坐标;若不存在，请说明理由。
分析：两定点一线（这里将军饮马模型中直线变成抛物线）通过旋转变换，找到与ON相等的NQ，要使MN+NO值最小，只要MN、NQ三点共线即可。
总结提升：利用旋转的知识，使点在线的异侧，根据两点之间线段最短来解决问题。这是本节课学生思维第三次飞跃，对知识体系进行完善，教师引导学生举一反三，学生则从整体上感知解决和（周长）的最值问题原理，形成解题基本策略，内化学习经验，深化认知策略，建构知识体系。
四、 “将军饮马”问题再设计几点思考
1. “初中数学学习是让学生积极探索，经历数学知识再发现”的过程，是在不断反思、猜想和应用中对学习对象深度加工的过程，这样不仅有利于学生理解知识本质，而且可以培养学生的探究精神，并为后续高中的学习埋下伏笔。2. “最短路径”问题根据平移变换将两条直线转化成一条直线，旋转变换、轴对称变换将同侧点转化成异侧点—利用两点之间最短解决问题。在点的个数变，线的条数变，线的直与曲之间的变，但本质不变。3. 猜想、分析、证明让学生亲身经历教学过程，学生能在变化的载体中剥离基本图形抓住不变的核心特征，确定定点和定线，利用图形的轴对称、平移、旋转变换和转化的数学思想，把同侧的点转化为异侧的点，实现“折转直”，解决（不共线）和最值问题。
参考文献：
[1]顾明远.站在孩子的视角谈教育[M].天津出版社，2014：11.
[2]张进，唐芬.谈“将军饮马问题”[J].中国数学教育，2016（7-8）.
[3]刘月霞，郭华.深度学习：走向核心素养[M].教育科学出版社，2018：11.
作者简介：
秦玉红，新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州，昌吉市第七中学。