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新课程的实施，给我们每一个初中数学教师带来了新的机遇、新的挑战。初中数学教学不再是纯理论、纯理性的探索，不再是单一的对确定事实的灌输，对唯一答案的寻求和封闭习题的操练。“走出课堂、走向生活”是新课程最为显著的特点。因此，需要我们每个初中数学教师在教学实践中把握开放性教学问题。
初中数学开放式教学主要包含教学内容的开放性、教学方式的开放性、习题训练的开放性、考试评价的开放性等，这里我就如何通过开放性的习题教学培养学生开放的思维能力，谈谈个人的实践与体会。
一、初中数学开放题的含义
初中数学开放题是相对于明确条件和结论的封闭型习题而言的，是指能引起学生发散性思维的一种初中数学习题。这种题型的条件、问题变化不定型，有的条件隐蔽，有的条件多余，有的结论不一，有的解法多种。其常见类型有条件开放题、结论开放题、策略开放题、综合开放题等几类。
1.条件开放题——未知元素是假设。主要考查学生对基础知识的掌握程度和归纳能力。
例：写出一个方程使它的解为X=1
2.结论开放题——未知元素是判断。主要考查学生的发散性思维和对所学基础知识的应用能力。
例1：已知一点P在第二象限，其横坐标与纵坐标之和为1，P点的坐标可以是_____________（只要写出符合条件的一个即可）。
例2：如果A离学校5千米，B离学校10千米，问A、B相距几千米？
这一题目似乎是一道小学算术题。事实上，它的内涵很丰富，涉及到从自然数相加，有理数加减，圆的几何轨迹，点的距离，以至圆的参数表示，复数相减等许多初中数学知识。题目适合各种层次的学生，可以考虑一直线的情况，可以作为平面来计算，也可以在空间测量，留给学生的思维空间很大。
3.策略开放型——未知元素是推理。主要考查学生探究能力。
例：试用几种不同的方案将三角形ABC分成面积相等的五个部分，并指出面积相等的是哪五个部分？（保留分割痕迹和必要的标准，不写做法）。
4.综合开放题——只给出情景，其条件、解题策略和结论都要自行设定。
例：甲、乙、丙三位学生在这个学期中三次初中数学测验成绩如下：甲50、70、90；乙80、80、80；丙100、80、75。要比较这三位同学成绩的好坏，让学生根据实际的需要和自己的理解，来分析数据并得出结论。
初中数学开放题具有内容的丰富性、形式多样性、思路发散性、教育的创新等最突出的特征。
二、初中数学开放题的编制
初中数学开放题的教学需要设计大量的开放性问题，需要与当前的初中数学教学实际密切相关且被广大初中数学教师认可的开放性问题。常用的编制性方法有以下几种。
1.弱化成题的条件，使其结论多样化。
例1：写出经过点（0，3）的一条抛物线方程
例2：求出一个二次函数，使得当x=1时，y>0，x=3时，y<0，当x=5，y=0。
以上例题解法很多，主要有：（1）再添加条件或将条件特殊化转化为常规题，如第1题可以添加两个点，第2题可以取三个特殊点；（2）利用数形结合思想，画出符合题意的草图即可写出解析式；（3）可以拼凑出来，并及时调整。
2.隐去成题的结论，使其指向多样化。
如相交弦定理的教学，可以先不给出结论，让学生观察圆内的两条相交弦，作适当的辅助线，探索一些结论（如角相等、三角形相似等），教师顺着学生思维或由学生自主探索，由此得出相交弦定理；再进一步展开：若两条弦的交点在圆外及有一条弦变成切线时的情况又如何？可由学生研究。
3.在给定的条件下，探求多种结论
例1：若正方形的四个顶点分别在直角三角形的三条边上，直角三角形的两直角边的长分别为3和4，则此正方形边长为___________。
例2：已知数3，6，若还有数x，能使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中数，求x。
4.给出结论，寻求使结论成立的充分条件。
例：已知梯形ABCD中，AB//CD，若添加一个条件如“BC=AD”，则可判定ABCD为等腰梯形，请问除“BC=AD”，还可以添加一个什么条件，使梯形ABCD为等腰梯形？(至少写出两种)。
5.比较某些对象的异同点。
例：试指出下列两个代数式的共同点：12a2b2c；8a3xy。
6.利用不同知识的联系与区别进行推广或类比。
7.考虑原命题的逆命题。
8.在实际情境中，寻求多种解法和结论。
例：某居民小区搞绿化，要在一块矩形空地上建花坛，现征集设计方案，要求设计的图案由圆和正方形组成(圆和正方形的个数不限)并且使整个矩形场地成轴对称图形，请在矩形中画出你设计的方案。
三、初中数学开放题的教学
1.选材要合适，难度要适当，可改选课本上的封闭问题为开放题(包括定理发现探索和利用习题改编)。把封闭问题稍加修改，就变成更有趣，更富有挑战性的开放性的活动，改变用特殊或常规方法得到固定答案的模式，比如(1)把条件、结论完整的题目改造成给出条件，先猜结论，再进行证明的形式；(2)改造成给出多个条件，需要整理、筛选以后才能求解或证明的题目；(3)改造成要求运用多种解法或得出多个结论的题目；(4)将题目的条件、结论拓广，使其演变为一个发展性问题；(5)先给出结论，再让学生探求条件等，也可适当引入一些有一定研究性的实际问题让学生研究。
2.教师对于有关问题，事先要做好充分准备与估计，这样方能得心应手地对付课堂可能发生的情况。
3.课堂上要让学生自己动手去做，让学生充分地通过自己的思考，互相交流，互相启发作出答案。
4.启发要得当，要善于从学生正确的、部分正确的或不正确的答案中，分析其思路，及时肯定成绩，指出不足，引导前进。
5.开放题教学是对教师临场应变能力的挑战，教师既要照顾到差生的解答水平，又要鼓励优生去寻求更高水平更不一般的解答，并力图使各种智力体验变成大家共同的财富。
6.开放题和封闭题在初中数学教学中应该并存而不是互相排斥。封闭题对于知识的同化，培养学生的基本技能等具有重要意义，初中数学开放题为高层次思维创造了条件，但不是绝对的、唯一的。没有一个问题，对所有的学生来说，都能导致高层次的思维，一个问题能否导致高层次思维，不仅和问题本身有关，而且还与个人的经验有关。
四、初中数学开放题对初中数学教学的意义
我国目前初中数学教学在不同程度上存在一些问题。例如，初中数学教学内容陈旧，反映初中数学发展和社会发展的内容不够；探索和研究初中数学课堂教学内在规律不够；研究学生学习规律不够，不注意学生的个别差异等等。这一些问题的解决，需要我们转变教育观念，吸收和借鉴先进的学习理论和教学理论。在保持初中数学“双基”教学的传统优势的前提下，使创新意识和“双基”训练得到科学平衡，在教师主导取向的接受学习与学生自主取向的探究学习之间寻求整合的方法。用“开放题”来补充、改选和影响封闭性初中数学问题可能会给初中数学教育带来生机和活力。
1.有利于培养学生分析解决问题的能力。由于学生在解答开放题时，会表现出不同层次、多种水平的解答方案，这样会让不同层次的学生的思维均得到训练。学生通过探索的过程、寻找方法和计算的过程，变简单机械模仿过程逐步上升为深化提高知识的过程。在这样的解题过程中，学生分析问题，解决问题的能力将得到培养和提高。
2.有利于强化学生的创新意识。传统的封闭性题目答案是唯一的，学生往往找到一个答案就不必也不再进一步思考了。而开放题的答案一般需要根据不同的条件选择不同的结果。这样，可以培养学生不断进取的精神，强化学生的创新意识。
3.有利于减轻学生的负担。学生在解开放题时，必须多方面思考解决问题。这样可以使学生举一反三、触类旁通，用最少的时间，做最小量的题目，但能获取较多的知识，从而提高做题的质量，把学生从繁重的作业堆里解放出来，大大减轻学生课业过重的负担。
4.有利于形成宽松的教学氛围。由于开放题可达到教学形式的开放，使学生的学习可以是个别竞争，也可以合作完成；可以是畅所欲言，也可以是实践操作。在这一过程中，师生之间的教学关系已开放为平等的合作伙伴关系，教师的教是为学生的学习和探索服务的，并以学生的主动性的发挥作为教师主导水平的标准。从而可以形成宽松和谐的课堂教学氛围。
5.有利于培养学生的思维品质。开放题的教学，变单一的由教师讲解为师生共同研究问题的知识与能力的综合训练。把开放性问题融入课堂教学中，可有效地激发学生敢于从多角度去思考问题，主动参与知识的构建过程，从而培养与发展学生思维的深刻性、广阔性、灵活性和创造性等良好品质。
6.有利于学生体验初中数学的价值。由于开放题题材多数贴近学生生活实际，吸收并引进现代工农业生产、科技等密切相关的具有时代性、地方性的初中数学信息资料，以丰富学生的初中数学认识。使学生把学习延伸到与之联系的现实生活，并拓宽获得相关领域的新知识，从而认识到初中数学的价值，体验初中数学的本质。
初中数学开放题的教学，能更好地为实施素质教育服务，培养学生的发散思维和创造能力，它的引入和研究将越来越受到关注。在不久的将来，中国式的初中数学问题解决教學，一定能够在世界的初中数学王国里取得令人瞩目的成绩。■
初中数学开放式教学主要包含教学内容的开放性、教学方式的开放性、习题训练的开放性、考试评价的开放性等，这里我就如何通过开放性的习题教学培养学生开放的思维能力，谈谈个人的实践与体会。
一、初中数学开放题的含义
初中数学开放题是相对于明确条件和结论的封闭型习题而言的，是指能引起学生发散性思维的一种初中数学习题。这种题型的条件、问题变化不定型，有的条件隐蔽，有的条件多余，有的结论不一，有的解法多种。其常见类型有条件开放题、结论开放题、策略开放题、综合开放题等几类。
1.条件开放题——未知元素是假设。主要考查学生对基础知识的掌握程度和归纳能力。
例：写出一个方程使它的解为X=1
2.结论开放题——未知元素是判断。主要考查学生的发散性思维和对所学基础知识的应用能力。
例1：已知一点P在第二象限，其横坐标与纵坐标之和为1，P点的坐标可以是_____________（只要写出符合条件的一个即可）。
例2：如果A离学校5千米，B离学校10千米，问A、B相距几千米？
这一题目似乎是一道小学算术题。事实上，它的内涵很丰富，涉及到从自然数相加，有理数加减，圆的几何轨迹，点的距离，以至圆的参数表示，复数相减等许多初中数学知识。题目适合各种层次的学生，可以考虑一直线的情况，可以作为平面来计算，也可以在空间测量，留给学生的思维空间很大。
3.策略开放型——未知元素是推理。主要考查学生探究能力。
例：试用几种不同的方案将三角形ABC分成面积相等的五个部分，并指出面积相等的是哪五个部分？（保留分割痕迹和必要的标准，不写做法）。
4.综合开放题——只给出情景，其条件、解题策略和结论都要自行设定。
例：甲、乙、丙三位学生在这个学期中三次初中数学测验成绩如下：甲50、70、90；乙80、80、80；丙100、80、75。要比较这三位同学成绩的好坏，让学生根据实际的需要和自己的理解，来分析数据并得出结论。
初中数学开放题具有内容的丰富性、形式多样性、思路发散性、教育的创新等最突出的特征。
二、初中数学开放题的编制
初中数学开放题的教学需要设计大量的开放性问题，需要与当前的初中数学教学实际密切相关且被广大初中数学教师认可的开放性问题。常用的编制性方法有以下几种。
1.弱化成题的条件，使其结论多样化。
例1：写出经过点（0，3）的一条抛物线方程
例2：求出一个二次函数，使得当x=1时，y>0，x=3时，y<0，当x=5，y=0。
以上例题解法很多，主要有：（1）再添加条件或将条件特殊化转化为常规题，如第1题可以添加两个点，第2题可以取三个特殊点；（2）利用数形结合思想，画出符合题意的草图即可写出解析式；（3）可以拼凑出来，并及时调整。
2.隐去成题的结论，使其指向多样化。
如相交弦定理的教学，可以先不给出结论，让学生观察圆内的两条相交弦，作适当的辅助线，探索一些结论（如角相等、三角形相似等），教师顺着学生思维或由学生自主探索，由此得出相交弦定理；再进一步展开：若两条弦的交点在圆外及有一条弦变成切线时的情况又如何？可由学生研究。
3.在给定的条件下，探求多种结论
例1：若正方形的四个顶点分别在直角三角形的三条边上，直角三角形的两直角边的长分别为3和4，则此正方形边长为___________。
例2：已知数3，6，若还有数x，能使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中数，求x。
4.给出结论，寻求使结论成立的充分条件。
例：已知梯形ABCD中，AB//CD，若添加一个条件如“BC=AD”，则可判定ABCD为等腰梯形，请问除“BC=AD”，还可以添加一个什么条件，使梯形ABCD为等腰梯形？(至少写出两种)。
5.比较某些对象的异同点。
例：试指出下列两个代数式的共同点：12a2b2c；8a3xy。
6.利用不同知识的联系与区别进行推广或类比。
7.考虑原命题的逆命题。
8.在实际情境中，寻求多种解法和结论。
例：某居民小区搞绿化，要在一块矩形空地上建花坛，现征集设计方案，要求设计的图案由圆和正方形组成(圆和正方形的个数不限)并且使整个矩形场地成轴对称图形，请在矩形中画出你设计的方案。
三、初中数学开放题的教学
1.选材要合适，难度要适当，可改选课本上的封闭问题为开放题(包括定理发现探索和利用习题改编)。把封闭问题稍加修改，就变成更有趣，更富有挑战性的开放性的活动，改变用特殊或常规方法得到固定答案的模式，比如(1)把条件、结论完整的题目改造成给出条件，先猜结论，再进行证明的形式；(2)改造成给出多个条件，需要整理、筛选以后才能求解或证明的题目；(3)改造成要求运用多种解法或得出多个结论的题目；(4)将题目的条件、结论拓广，使其演变为一个发展性问题；(5)先给出结论，再让学生探求条件等，也可适当引入一些有一定研究性的实际问题让学生研究。
2.教师对于有关问题，事先要做好充分准备与估计，这样方能得心应手地对付课堂可能发生的情况。
3.课堂上要让学生自己动手去做，让学生充分地通过自己的思考，互相交流，互相启发作出答案。
4.启发要得当，要善于从学生正确的、部分正确的或不正确的答案中，分析其思路，及时肯定成绩，指出不足，引导前进。
5.开放题教学是对教师临场应变能力的挑战，教师既要照顾到差生的解答水平，又要鼓励优生去寻求更高水平更不一般的解答，并力图使各种智力体验变成大家共同的财富。
6.开放题和封闭题在初中数学教学中应该并存而不是互相排斥。封闭题对于知识的同化，培养学生的基本技能等具有重要意义，初中数学开放题为高层次思维创造了条件，但不是绝对的、唯一的。没有一个问题，对所有的学生来说，都能导致高层次的思维，一个问题能否导致高层次思维，不仅和问题本身有关，而且还与个人的经验有关。
四、初中数学开放题对初中数学教学的意义
我国目前初中数学教学在不同程度上存在一些问题。例如，初中数学教学内容陈旧，反映初中数学发展和社会发展的内容不够；探索和研究初中数学课堂教学内在规律不够；研究学生学习规律不够，不注意学生的个别差异等等。这一些问题的解决，需要我们转变教育观念，吸收和借鉴先进的学习理论和教学理论。在保持初中数学“双基”教学的传统优势的前提下，使创新意识和“双基”训练得到科学平衡，在教师主导取向的接受学习与学生自主取向的探究学习之间寻求整合的方法。用“开放题”来补充、改选和影响封闭性初中数学问题可能会给初中数学教育带来生机和活力。
1.有利于培养学生分析解决问题的能力。由于学生在解答开放题时，会表现出不同层次、多种水平的解答方案，这样会让不同层次的学生的思维均得到训练。学生通过探索的过程、寻找方法和计算的过程，变简单机械模仿过程逐步上升为深化提高知识的过程。在这样的解题过程中，学生分析问题，解决问题的能力将得到培养和提高。
2.有利于强化学生的创新意识。传统的封闭性题目答案是唯一的，学生往往找到一个答案就不必也不再进一步思考了。而开放题的答案一般需要根据不同的条件选择不同的结果。这样，可以培养学生不断进取的精神，强化学生的创新意识。
3.有利于减轻学生的负担。学生在解开放题时，必须多方面思考解决问题。这样可以使学生举一反三、触类旁通，用最少的时间，做最小量的题目，但能获取较多的知识，从而提高做题的质量，把学生从繁重的作业堆里解放出来，大大减轻学生课业过重的负担。
4.有利于形成宽松的教学氛围。由于开放题可达到教学形式的开放，使学生的学习可以是个别竞争，也可以合作完成；可以是畅所欲言，也可以是实践操作。在这一过程中，师生之间的教学关系已开放为平等的合作伙伴关系，教师的教是为学生的学习和探索服务的，并以学生的主动性的发挥作为教师主导水平的标准。从而可以形成宽松和谐的课堂教学氛围。
5.有利于培养学生的思维品质。开放题的教学，变单一的由教师讲解为师生共同研究问题的知识与能力的综合训练。把开放性问题融入课堂教学中，可有效地激发学生敢于从多角度去思考问题，主动参与知识的构建过程，从而培养与发展学生思维的深刻性、广阔性、灵活性和创造性等良好品质。
6.有利于学生体验初中数学的价值。由于开放题题材多数贴近学生生活实际，吸收并引进现代工农业生产、科技等密切相关的具有时代性、地方性的初中数学信息资料，以丰富学生的初中数学认识。使学生把学习延伸到与之联系的现实生活，并拓宽获得相关领域的新知识，从而认识到初中数学的价值，体验初中数学的本质。
初中数学开放题的教学，能更好地为实施素质教育服务，培养学生的发散思维和创造能力，它的引入和研究将越来越受到关注。在不久的将来，中国式的初中数学问题解决教學，一定能够在世界的初中数学王国里取得令人瞩目的成绩。■