摘 要：
　　一题多解就是从不同角度、按不同思路、用不同方法给出同一道习题的解答。“一题多解”有利于调动学生的学习积极性，可以激发学生去发现创造的欲望，加深学生对所学知识的理解，训练学生对数学方法和思想的运用，学会如何综合运用已有的知识不断提高解题能力。总之，“一题多解”有利于学生思维能力的提高。
　　关键词：一题多解；思维提高；解答
　　例题1：已知数列{an}满足an=nn 2，n∈N，试比较an与an 1的大小。
　　方法一：作差
　　an 1-an=n 1n 3-nn 2=2（n 2）（n 3）>0，∴an 1>an
　　方法二：作商
　　∵an>0
　　∴anan 1=nn 2n 1n 3=n（n 3）（n 2）（n 1）=n2 3nn2 3n 2<1
　　∴an　　方法三：单调性
　　an=nn 2=n 2-2n 2=1-2n 2，an关于n单调递增∴an　　方法四：浓度法
　　把an=nn 2看成是一杯溶液（糖）的浓度，随着n的增大（相当于向溶液中加糖），浓度当然增大，易得an　　例题2：若直线y=x k与曲线x=1-y2恰有一个公共点，求k的取值范围。
　　解法一：曲线方程可化为x2 y2=1（x≥0），把y=x k代入x2 y2=1（x≥0）
　　可得：2x2 2kx k2-1=0（x≥0），由题意可知方程仅有一个非负根
　　①当方程有等根时，即Δ=（2k）2-8（k2-1）=0，可得k=±2，当k=2时，方程可化为2x2 22x 1=0，得x=-22不合题意；当k=-22时，方程为2x2-22x 1=0
　　得x=22符合题意，可知k=-2；
　　②当方程根为x=0时，得k2-1=0，k=±1，当k=-1时，方程为2x2-2x=0，得方程两个根为x1=0，x2=1不合题意应舍去；当k=1时，方程为
　　2x2 2x=0，得方程两个根为x1=0，x2=-1符合题意，可知k=1；
　　③当方程根为一正一负时，只需x1x2=k2-12<0，可得-1　　综上所述：所求k的取值范围为k=-2或-1　　解法二：曲线x=1-y2是单位圆x2 y2=1的右半圆（x≥0），
　　k是直线y=x k在y轴上的截距。在同一坐标系中画出两曲线图像如图所示知：直线与曲线相切时，k=-2，由图形：可得
　　k=-2或-1　　例题3：已知x、y≥0且x y=1，求x2 y2的取值范围。
　　解法一：由x y=1得y=1-x，则
　　x2 y2=x2 （1-x）2=2x2-2x 1=2x-122 12
　　由于x∈[0，1]，当x=12时，x2 y2取最小值12；当x=0或1时，x2 y2取最大值1。
　　解法二：因为x y=1，x、y≥0，则可
　　设x=cos2θ，y=sin2θ
　　其中θ∈0，π2则x2 y2=cos4θ sin4θ=（cos2θ sin2θ）2-2cos2θsin2θ=1-12（2sinθcosθ）2=1-12sin22θ=1-12×1-cos4θ2=34 14cos4θ
　　当cos4θ=-1时，x2 y2取最小值12；当cos4θ=1时，x2 y2取最大值1。
　　解法三：由于x y=1，x、y≥0，则可
　　设x=12 t，y=12-t，其中t∈-12，12，于是，x2 y2=12 t2 12-t2=12 2t2 t2∈0，14
　　所以，当t2=0时，x2 y2取最小值12；当t2=14时，x2 y2取最大值1。
　　解法四：由于x、y≥0且x y=1
　　则xy≤（x y）24=14，从而0≤xy≤14，于是x2 y2=（x y）2-2xy=1-2xy，所以当xy=0时，x2 y2取最大值1；当xy=14时，x2 y2取最小值12。
　　解法五：设z=x2 y2。
　　∵x y=1，∴z=x2 y2-x-y 1=x-122 y-122 12≥12。
　　当x=y=12时，即x2 y2的最小值为12。
　　一题多解可以使學生多角度、多方位地去思考解题，使学生在积极参与探索、交流的数学活动中，激发学生的求知欲。一题多解的训练使学生思维模式解放了，解题方法多种多样，这样才能使得枯燥的数学解题变得更加具有吸引性，提高学生发现问题、解决问题的能力。
　　参考文献：
　　[1]高中数理化，2014（6）.
　　作者简介：禹凤英，甘肃省兰州市，兰州民族中学。