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【摘要】培养学生的解题能力，是数学教学的核心目标.由备战中考的课堂解题教学常常陷入两难的境地得出，元认知训练在解题教学中的重要作用和逻辑必然性.大量学者通过对元认知训练在解题教学中的探索和实践，丰富了对元认知的理性和感性认识.
【关键词】数学解题;元认知训练;实践;认识
【基金项目】本文系江西省教育科学“十三五”规划2019年度课题“核心素养视野下初中数学元认知训练实践研究”（编号：19PTYB004）的研究成果之一.
一、问题提出
近几年江西省中考数学题难度较稳定，其热点和难点多活跃于在数学核心素养中拓展抽象型知识结构下的高阶思维活动水平.一线教师对此非常关注，在总复习阶段做出部署，加强训练，然而效果却不像期待中的那样，常常处于纠结的两难境地：这些热点和难点在近几年中考中的得分率那么低，讲了吧，没多大收获，不讲吧，又觉得可惜……还是讲吧，可是怎么讲才好呢？这样的囧况如何破解？解题教学该何去何从？
二、问题分析
这种现象是解题教学的痛点，既有教法问题也有学法问题，与长期解题训练导致的学生内部对话与外部对话缺失有很大关系，最深层次的原因是：深度学习不够，学生较少关注自己在学习中的认知过程， 缺少反思和对学习策略的提炼，思考还停留在肤浅的境地，没有将知识、方法、策略纳入并加工到认知结构体系中，从而无法驾驭问题的变化和延伸.
很显然，简单问题的解决有基本模式和步骤，只需介入很少的认知元素，进行模仿就能解决;而解决没有现成解法的问题，必须深入思考，即在问题表征、联想、策略选择、计划制定、调整和監控、反思和迁移等方面都需运用认知元素和策略，认知一直贯串于高难度问题的过程中，不可缺少，思维层级越高，对认知水平的要求也就越高.如果认知得到开发重视，学生的认知水平提高，隐性认知就会向显性转化， 学生就能充分发挥自己的潜能，在解题过程中灵活多变.而如果学生的认知水平较低，其自我效能感就会骤降，学习压力也会陡然增大.
特别需要指出的是，在学习过程中发挥重要作用的认知，即元认知，而元认知水平是可以通过训练提高的.“研究表明我们可以把这些策略教给学生，包括预测结果的能力、向自己解释以改进理解的能力、记录理解上失败方面的能力.比如，交互式教学……”“元认知也指反思自己表现的能力……如果儿童对自己的学习能力缺乏洞察，几乎不能期望他们制定计划或做出有效的自我调节……”可见，利用元认知训练促进学生解决问题能力的提高显然具有可行性，而且是逻辑的必然.
三、探索与行动
依据元认知思想和内涵，我们开展了“核心素养视野下解题元认知训练”实践研究，以中考复习专题课“点位置不确定多解填空题”为例开展教学，探索解题元认知训练的方法和途径.
1.训练主题：唤醒自己，让解题成为学习进步的脚印.
2.学情分析和教学意义：
“点位置不确定多解填空题”是近几年江西省中考数学试题的热点和难点，对学生思维和运算的综合能力要求较高.通过对大量学生的试卷和作业的分析发现，少数人能真正完全掌握，多数人还存在分析不全面、思路不清、方法不灵活等亟待提高的问题.因此本文设计和安排了此课，希望唤醒学生的内在智慧，提高其数学自主学习能力.
3.教学目标：
（1）以确定点位置为目的，教会学生辨析主动点和从动点，探索动点路径，运用逻辑叠加确定符合题意的点的位置，培养学生从静态和动态两个角度分析点位置的解题意识，让学生经历丰富的探究过程，发展学生的逻辑推理和直观想象核心素养.
（2）留足够时间提问、思考、回顾、总结，发展学生元认知能力.
（3）让学生认清自己的学习层级，产生正向的自我效能感，培养实事求是的科学态度.
4.教学重点：点位置的确定和坐标求解.
5.教学难点：解题元认知的内化、迁移和运用.
6.教学特色：
本节课以发展解题能力为明线，启迪元认知为暗线，通过具有启发性的动手操作活动和导入语、交互式提问、精准分析、学习卡的运用，以及几何画板演示等教学手段，使个体获得多方位、多层次及丰富的认知体验，对发展元认知起到了很好的促进作用.
7.教学过程：
【创设情境】
教学活动一：中考数据展示和分析
（简介：屏幕展示近5年江西省中考数学试题中多解填空题相关数据，观察后，教师分析说明：多解填空题近5年来稳定在填空题最后一题，综合性比较强，难度往往较大，有较强的区分度，有江西中考“小压轴题”“前段压轴题”之称.）
教学活动二：激发学习兴趣和学习热情
（简介：制造疑点，激发学生的好奇心和好胜心，教师问：“那怎样才能做出来呢？”然后拿出事先精心准备的、处理得有些夸张的学习卡片给学生看，鼓励道：“当然是努力啦，努力很重要，不过，方法比努力更重要，方法在这，是哪张呢？认真听课，你们就知道了，加油吧.”）
【评析】制造疑点，激发学生的好奇心和求知欲，明确学习目标、学习任务，启迪元认知知识.
【审题训练】
教学活动一：多媒体屏幕显示题目，学生完成第一次读题.
教学活动二：屏蔽题目的关键部分，学生完成第二次读题.
（简介：屏蔽的内容是“将边OA沿OD折叠，点A的对应点为A′，若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3”，屏蔽后，提问学生回答完整或再提问学生补充完整，也可以事先准备好一张矩形纸，折叠提示.）
教学活动三：师生交流解题想法.
（简介：采用交互式提问，如：同学们打算怎么做？先做什么？再做什么？你们觉得哪里会遇到困难？这道题可能会用到哪些学过的知识？大家有什么要问老师的吗？） 教学活动四：引导学生填写“审题卡”，学生完成第三次读题.
审题卡——我要慢读细想
（2017·江西中考第12题）已知点A（0，4），B（7，0），C（7，4），连接AC，BC得到矩形AOBC，点D在边AC上，将边OA沿OD折叠，点A的对应点为A′，若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3，则点A′的坐标为.
1.找出题目中的关键词或句子.
2.使用尺规作出图形.
3.解释一下你画出点A′的步骤.
4.如果能的话，点A′尽可能都画出来，并尝试求解点A′的坐标.
（简介：将学习卡提前发给学生，让学生听教师指令打开.给学生充足的时间让其完成“审题卡”.教师走动观察，关注共性问题和个性问题，然后提问学生依次回答，在学生回答任务3，4时，鼓励其“不要求正确，只要你回答”，并尽可能多地提问不同学生回答，让其他学生倾听和思考，在任务4环节，学生回答点A′的坐标后，教师把答案板书在黑板上，告诉学生对错与否，并提示其往下听讲.）
【评析】审题是解题教学的首要和重要环节.很多时候，解题的困惑往往从审题不清、不会审题就开始了.同时，根据题意画图也是审题的一部分，特别是点位置不确定的多解填空题，学生对题意最初的理解和把控，从画出的点A′个数和描述画点A′的步骤中就能有所体现，据此能很快分析出学生的理解水平、思维活跃度和思维层级.这个设计使学生完成了最初步的元认知体验和最简单的元认知监控.
【联想训练】
教学活动一：多媒体显示导入语“人类失去联想，世界将会怎样”.
教学活动二：多媒体接着显示导入语“解题失去联想呢”.
教学活动三：教师指出需对关键词语或句子中涉及的概念和条件展开联想，学生填写“联想卡”.
联想卡——我要插上翅膀
1.在给出的图中分别作出点到直线l1和直线l2的距离，并估计两距离之比.
2.回忆并尽可能多地写下与折叠相关的几何性质.
3.仅由题目条件“将边OA沿OD折叠”想象点A′的运动路径.
4.仅由题目条件“到矩形较长两对边的距离之比为1∶3”想象点A′的运动路径.
5.回忆下象限内点的坐标通常如何求解（不用写出来）.
（简介：给学生留时间填写和思考，依次提问学生发言.完成任务1，2时，通过多人发言使答案清楚、完整;完成任务3时，教师动手操作折叠纸片予以提示;完成任务4时，教师给出提示语：请回顾任务1的结果.）
【评析】寻求已知和未知间联系的基本思想，是由此及彼的联想.任务1是对已知条件的联想，任务2是对涉及的概念和性质的联想，任务3，4是对关联图形的联想，任务5是对常用解题方法的联想.联想的目的是确定解题方法，联想的过程丰富了个体的元认知体验.
【解题训练】
教学活动一：多媒体显示导入语“解题的过程就是所有条件整合的过程”.
教学活动二：多媒体显示导入语“所有条件是指哪些？如何整合”，应答式交流，完成解题.
当A′的纵坐标为3时，由于OA′=4，故A′（7，3）;
当A′的纵坐标为1时，由于OA′=4，故A′（15，1）;
当A′的纵坐标为-2时，由于OA′=4，故A′（23，-2）.
（简介：教师介绍：所有条件是指审题和联想出的所有内容，整合依据通常是条件间的逻辑关系和数学思想，解决此题的策略是：通过已知条件的逻辑关系，借助路径相交来确定点A′.
如图所示，
教师先用几何画板课件演示点A′的运动路径，然后让学生上台指出点A′的位置和个数，最后板书点A′坐标的求解过程.）
教学活动三：学生阅读“解题卡”和“反思卡”，无声思考，完成自我对话.
解题卡——我要了然于胸
反思卡——我要自省
解题计划和步骤：
1.辨别主动点和从动点.
2.明确已知条件中矩形较长两对边是哪两边.
3.明确点A′的位置由几个条件决定.
4.由题目条件“将边OA沿OD折叠”，画出点A′的路径.
5.由题目条件“到矩形较长两对边的距离之比为1∶3”，画出点A′的大致位置.
6.确定出符合题意的点A′及其个数.
7.确定出点A′的纵坐标、OA′的长度.
8.计算出点A′的坐标.
请思考：
1.题目的背景和特征.
2.包含了哪些概念、知识点？它们是怎样联系起来的？
3.解题时用了哪些性质和公式？不用它们，用别的行不行？
4.解题环节有哪些？要注意什么？
5.解题计划和步骤与自己的预想有多大差距？
6.解题中用了什么方法？有没有其他更简洁的解法？
7.有没有疑问或质疑？
8.磨砺的信心指数：★★★★★★
（简介：留出一定时间，让学生阅读“解题卡”和“反思卡”，无声思考，完成自我对话，最后询问学生参与磨砺的信心指数，进入下一环节.）
【评析】审题和联想挖掘出了所有已知的和隐藏的条件，解題方法则是在此基础上的整合，即知识和思维的“再创造”，通过整合所有条件，师生共同完成解题的“再创造”过程.“解题卡”的作用则是回顾，实现将课堂上的“他控”转为“自控”，“反思卡”的作用是内化，学生通过自我对话，实现新认知的纳入及其与旧认知的重组.两者共同作用，扩大了解题教学的效果，既发展了元认知知识中的认知策略和对自身认知能力的了解，又发展和丰富了元认知监控和体验. 【迁移训练】
教学活动一：做练习变式1，然后学生分小组交流结果，再小组派代表汇报，教师点评.
教学活动二：做练习变式2，然后学生分小组交流结果，再小组派代表汇报，教师点评.
磨砺卡——我要七十二变
变式1 已知点A（0，4），B（7，0），C（7，4），连接AC，BC得到矩形AOBC，点D在边AC上，将边OB沿OD折叠，点B的对应点为B′，若点B′到矩形较长边所在直线的距离为3，则点B′的坐标为.
解：如图所示，点B′的位置有3个，且其纵坐标分别为7，3，1，易得 B′（0，7）或 B′（-210，3）或 B′（-43，1）.
变式2 在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（4，0），（4，4），（0，4），点P在x轴上，点D在直线AB上，若DA=1，CP⊥DP于点P，则点P的坐标为.
解：如图所示，点D的位置有2个，点P的位置有3个，易得P（2，0）或P（2-22，0）或P（2 22，0）.
【评析】有效迁移是解题教学的主要目的，经验告诉我们，提高解题能力是需要一个过程的，一般是先懂——后会——再熟，尽快实现这个过程的关键不在于搞“题海战术”，而在于动手、动口、动脑，在分析知识的内部联系上，在数学题的深度和广度上，在题解的反思内化上，不断提高练习效果，做到举一反三，以少胜多.变式1起巩固练习作用，变式2在分析知识的内部联系上、题目的深度和广度上都有所拔高，属于“最近发展区”范围内，需要跳一跳.“磨砺卡”很好地促成了学习经验的内化和积累，全面提高了学生的元认知水平.
【表达训练】
教学活动一：今天我们学了什么？
教学活动二：你对课堂哪个环节印象最深刻？
教学活动三：你对这堂课哪个地方还有困惑？
教学活动四：你喜欢今天这堂课吗？为什么？
（简介：营造宽松的氛围，不暗示也不塞给学生任何答案，让学生各抒己见，认真倾听学生的声音.）
【评析】教育的最终目的是以人为本，尊重学生的学习感受，体察学生的情绪，关注学生的状态，谋求心灵的质变，而不是简单的数学知识或数学思想方法的积累.
【成长训练】
教学活动：创新课后作业
作业1 完成对课堂练习“变式2”的反思
在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（4，0），（4，4），（0，4），点P在x轴上，点D在直线AB上，若DA=1，CP⊥DP于点P，则点P的坐标为.
1为什么点P的位置是3个而不是4个？能不能从多个角度解释？
2计算点P的坐标用到了什么方法？还有没有其他解法？
3请课后和学习伙伴交流此题.
交流对象： 交流结果：
作业2 学以致用和归因训练
1 （2020·江西省样卷一第12题）已知三条直线l：y=2x b（b≥0），l1：y=2x 2，l2：y=2x-1，直线l上任意一点到其他两直线的距离之比为1∶2，则直线l的解析式为
【关键词】数学解题;元认知训练;实践;认识
【基金项目】本文系江西省教育科学“十三五”规划2019年度课题“核心素养视野下初中数学元认知训练实践研究”（编号：19PTYB004）的研究成果之一.
一、问题提出
近几年江西省中考数学题难度较稳定，其热点和难点多活跃于在数学核心素养中拓展抽象型知识结构下的高阶思维活动水平.一线教师对此非常关注，在总复习阶段做出部署，加强训练，然而效果却不像期待中的那样，常常处于纠结的两难境地：这些热点和难点在近几年中考中的得分率那么低，讲了吧，没多大收获，不讲吧，又觉得可惜……还是讲吧，可是怎么讲才好呢？这样的囧况如何破解？解题教学该何去何从？
二、问题分析
这种现象是解题教学的痛点，既有教法问题也有学法问题，与长期解题训练导致的学生内部对话与外部对话缺失有很大关系，最深层次的原因是：深度学习不够，学生较少关注自己在学习中的认知过程， 缺少反思和对学习策略的提炼，思考还停留在肤浅的境地，没有将知识、方法、策略纳入并加工到认知结构体系中，从而无法驾驭问题的变化和延伸.
很显然，简单问题的解决有基本模式和步骤，只需介入很少的认知元素，进行模仿就能解决;而解决没有现成解法的问题，必须深入思考，即在问题表征、联想、策略选择、计划制定、调整和監控、反思和迁移等方面都需运用认知元素和策略，认知一直贯串于高难度问题的过程中，不可缺少，思维层级越高，对认知水平的要求也就越高.如果认知得到开发重视，学生的认知水平提高，隐性认知就会向显性转化， 学生就能充分发挥自己的潜能，在解题过程中灵活多变.而如果学生的认知水平较低，其自我效能感就会骤降，学习压力也会陡然增大.
特别需要指出的是，在学习过程中发挥重要作用的认知，即元认知，而元认知水平是可以通过训练提高的.“研究表明我们可以把这些策略教给学生，包括预测结果的能力、向自己解释以改进理解的能力、记录理解上失败方面的能力.比如，交互式教学……”“元认知也指反思自己表现的能力……如果儿童对自己的学习能力缺乏洞察，几乎不能期望他们制定计划或做出有效的自我调节……”可见，利用元认知训练促进学生解决问题能力的提高显然具有可行性，而且是逻辑的必然.
三、探索与行动
依据元认知思想和内涵，我们开展了“核心素养视野下解题元认知训练”实践研究，以中考复习专题课“点位置不确定多解填空题”为例开展教学，探索解题元认知训练的方法和途径.
1.训练主题：唤醒自己，让解题成为学习进步的脚印.
2.学情分析和教学意义：
“点位置不确定多解填空题”是近几年江西省中考数学试题的热点和难点，对学生思维和运算的综合能力要求较高.通过对大量学生的试卷和作业的分析发现，少数人能真正完全掌握，多数人还存在分析不全面、思路不清、方法不灵活等亟待提高的问题.因此本文设计和安排了此课，希望唤醒学生的内在智慧，提高其数学自主学习能力.
3.教学目标：
（1）以确定点位置为目的，教会学生辨析主动点和从动点，探索动点路径，运用逻辑叠加确定符合题意的点的位置，培养学生从静态和动态两个角度分析点位置的解题意识，让学生经历丰富的探究过程，发展学生的逻辑推理和直观想象核心素养.
（2）留足够时间提问、思考、回顾、总结，发展学生元认知能力.
（3）让学生认清自己的学习层级，产生正向的自我效能感，培养实事求是的科学态度.
4.教学重点：点位置的确定和坐标求解.
5.教学难点：解题元认知的内化、迁移和运用.
6.教学特色：
本节课以发展解题能力为明线，启迪元认知为暗线，通过具有启发性的动手操作活动和导入语、交互式提问、精准分析、学习卡的运用，以及几何画板演示等教学手段，使个体获得多方位、多层次及丰富的认知体验，对发展元认知起到了很好的促进作用.
7.教学过程：
【创设情境】
教学活动一：中考数据展示和分析
（简介：屏幕展示近5年江西省中考数学试题中多解填空题相关数据，观察后，教师分析说明：多解填空题近5年来稳定在填空题最后一题，综合性比较强，难度往往较大，有较强的区分度，有江西中考“小压轴题”“前段压轴题”之称.）
教学活动二：激发学习兴趣和学习热情
（简介：制造疑点，激发学生的好奇心和好胜心，教师问：“那怎样才能做出来呢？”然后拿出事先精心准备的、处理得有些夸张的学习卡片给学生看，鼓励道：“当然是努力啦，努力很重要，不过，方法比努力更重要，方法在这，是哪张呢？认真听课，你们就知道了，加油吧.”）
【评析】制造疑点，激发学生的好奇心和求知欲，明确学习目标、学习任务，启迪元认知知识.
【审题训练】
教学活动一：多媒体屏幕显示题目，学生完成第一次读题.
教学活动二：屏蔽题目的关键部分，学生完成第二次读题.
（简介：屏蔽的内容是“将边OA沿OD折叠，点A的对应点为A′，若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3”，屏蔽后，提问学生回答完整或再提问学生补充完整，也可以事先准备好一张矩形纸，折叠提示.）
教学活动三：师生交流解题想法.
（简介：采用交互式提问，如：同学们打算怎么做？先做什么？再做什么？你们觉得哪里会遇到困难？这道题可能会用到哪些学过的知识？大家有什么要问老师的吗？） 教学活动四：引导学生填写“审题卡”，学生完成第三次读题.
审题卡——我要慢读细想
（2017·江西中考第12题）已知点A（0，4），B（7，0），C（7，4），连接AC，BC得到矩形AOBC，点D在边AC上，将边OA沿OD折叠，点A的对应点为A′，若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3，则点A′的坐标为.
1.找出题目中的关键词或句子.
2.使用尺规作出图形.
3.解释一下你画出点A′的步骤.
4.如果能的话，点A′尽可能都画出来，并尝试求解点A′的坐标.
（简介：将学习卡提前发给学生，让学生听教师指令打开.给学生充足的时间让其完成“审题卡”.教师走动观察，关注共性问题和个性问题，然后提问学生依次回答，在学生回答任务3，4时，鼓励其“不要求正确，只要你回答”，并尽可能多地提问不同学生回答，让其他学生倾听和思考，在任务4环节，学生回答点A′的坐标后，教师把答案板书在黑板上，告诉学生对错与否，并提示其往下听讲.）
【评析】审题是解题教学的首要和重要环节.很多时候，解题的困惑往往从审题不清、不会审题就开始了.同时，根据题意画图也是审题的一部分，特别是点位置不确定的多解填空题，学生对题意最初的理解和把控，从画出的点A′个数和描述画点A′的步骤中就能有所体现，据此能很快分析出学生的理解水平、思维活跃度和思维层级.这个设计使学生完成了最初步的元认知体验和最简单的元认知监控.
【联想训练】
教学活动一：多媒体显示导入语“人类失去联想，世界将会怎样”.
教学活动二：多媒体接着显示导入语“解题失去联想呢”.
教学活动三：教师指出需对关键词语或句子中涉及的概念和条件展开联想，学生填写“联想卡”.
联想卡——我要插上翅膀
1.在给出的图中分别作出点到直线l1和直线l2的距离，并估计两距离之比.
2.回忆并尽可能多地写下与折叠相关的几何性质.
3.仅由题目条件“将边OA沿OD折叠”想象点A′的运动路径.
4.仅由题目条件“到矩形较长两对边的距离之比为1∶3”想象点A′的运动路径.
5.回忆下象限内点的坐标通常如何求解（不用写出来）.
（简介：给学生留时间填写和思考，依次提问学生发言.完成任务1，2时，通过多人发言使答案清楚、完整;完成任务3时，教师动手操作折叠纸片予以提示;完成任务4时，教师给出提示语：请回顾任务1的结果.）
【评析】寻求已知和未知间联系的基本思想，是由此及彼的联想.任务1是对已知条件的联想，任务2是对涉及的概念和性质的联想，任务3，4是对关联图形的联想，任务5是对常用解题方法的联想.联想的目的是确定解题方法，联想的过程丰富了个体的元认知体验.
【解题训练】
教学活动一：多媒体显示导入语“解题的过程就是所有条件整合的过程”.
教学活动二：多媒体显示导入语“所有条件是指哪些？如何整合”，应答式交流，完成解题.
当A′的纵坐标为3时，由于OA′=4，故A′（7，3）;
当A′的纵坐标为1时，由于OA′=4，故A′（15，1）;
当A′的纵坐标为-2时，由于OA′=4，故A′（23，-2）.
（简介：教师介绍：所有条件是指审题和联想出的所有内容，整合依据通常是条件间的逻辑关系和数学思想，解决此题的策略是：通过已知条件的逻辑关系，借助路径相交来确定点A′.
如图所示，
教师先用几何画板课件演示点A′的运动路径，然后让学生上台指出点A′的位置和个数，最后板书点A′坐标的求解过程.）
教学活动三：学生阅读“解题卡”和“反思卡”，无声思考，完成自我对话.
解题卡——我要了然于胸
反思卡——我要自省
解题计划和步骤：
1.辨别主动点和从动点.
2.明确已知条件中矩形较长两对边是哪两边.
3.明确点A′的位置由几个条件决定.
4.由题目条件“将边OA沿OD折叠”，画出点A′的路径.
5.由题目条件“到矩形较长两对边的距离之比为1∶3”，画出点A′的大致位置.
6.确定出符合题意的点A′及其个数.
7.确定出点A′的纵坐标、OA′的长度.
8.计算出点A′的坐标.
请思考：
1.题目的背景和特征.
2.包含了哪些概念、知识点？它们是怎样联系起来的？
3.解题时用了哪些性质和公式？不用它们，用别的行不行？
4.解题环节有哪些？要注意什么？
5.解题计划和步骤与自己的预想有多大差距？
6.解题中用了什么方法？有没有其他更简洁的解法？
7.有没有疑问或质疑？
8.磨砺的信心指数：★★★★★★
（简介：留出一定时间，让学生阅读“解题卡”和“反思卡”，无声思考，完成自我对话，最后询问学生参与磨砺的信心指数，进入下一环节.）
【评析】审题和联想挖掘出了所有已知的和隐藏的条件，解題方法则是在此基础上的整合，即知识和思维的“再创造”，通过整合所有条件，师生共同完成解题的“再创造”过程.“解题卡”的作用则是回顾，实现将课堂上的“他控”转为“自控”，“反思卡”的作用是内化，学生通过自我对话，实现新认知的纳入及其与旧认知的重组.两者共同作用，扩大了解题教学的效果，既发展了元认知知识中的认知策略和对自身认知能力的了解，又发展和丰富了元认知监控和体验. 【迁移训练】
教学活动一：做练习变式1，然后学生分小组交流结果，再小组派代表汇报，教师点评.
教学活动二：做练习变式2，然后学生分小组交流结果，再小组派代表汇报，教师点评.
磨砺卡——我要七十二变
变式1 已知点A（0，4），B（7，0），C（7，4），连接AC，BC得到矩形AOBC，点D在边AC上，将边OB沿OD折叠，点B的对应点为B′，若点B′到矩形较长边所在直线的距离为3，则点B′的坐标为.
解：如图所示，点B′的位置有3个，且其纵坐标分别为7，3，1，易得 B′（0，7）或 B′（-210，3）或 B′（-43，1）.
变式2 在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（4，0），（4，4），（0，4），点P在x轴上，点D在直线AB上，若DA=1，CP⊥DP于点P，则点P的坐标为.
解：如图所示，点D的位置有2个，点P的位置有3个，易得P（2，0）或P（2-22，0）或P（2 22，0）.
【评析】有效迁移是解题教学的主要目的，经验告诉我们，提高解题能力是需要一个过程的，一般是先懂——后会——再熟，尽快实现这个过程的关键不在于搞“题海战术”，而在于动手、动口、动脑，在分析知识的内部联系上，在数学题的深度和广度上，在题解的反思内化上，不断提高练习效果，做到举一反三，以少胜多.变式1起巩固练习作用，变式2在分析知识的内部联系上、题目的深度和广度上都有所拔高，属于“最近发展区”范围内，需要跳一跳.“磨砺卡”很好地促成了学习经验的内化和积累，全面提高了学生的元认知水平.
【表达训练】
教学活动一：今天我们学了什么？
教学活动二：你对课堂哪个环节印象最深刻？
教学活动三：你对这堂课哪个地方还有困惑？
教学活动四：你喜欢今天这堂课吗？为什么？
（简介：营造宽松的氛围，不暗示也不塞给学生任何答案，让学生各抒己见，认真倾听学生的声音.）
【评析】教育的最终目的是以人为本，尊重学生的学习感受，体察学生的情绪，关注学生的状态，谋求心灵的质变，而不是简单的数学知识或数学思想方法的积累.
【成长训练】
教学活动：创新课后作业
作业1 完成对课堂练习“变式2”的反思
在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（4，0），（4，4），（0，4），点P在x轴上，点D在直线AB上，若DA=1，CP⊥DP于点P，则点P的坐标为.
1为什么点P的位置是3个而不是4个？能不能从多个角度解释？
2计算点P的坐标用到了什么方法？还有没有其他解法？
3请课后和学习伙伴交流此题.
交流对象： 交流结果：
作业2 学以致用和归因训练
1 （2020·江西省样卷一第12题）已知三条直线l：y=2x b（b≥0），l1：y=2x 2，l2：y=2x-1，直线l上任意一点到其他两直线的距离之比为1∶2，则直线l的解析式为