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《数学课程标准》指出:“通过义务教育阶段使学生初步会运用数学的思维方式去观察分析社会。去解决日常生活中和其他学科学习中的问题,增强应用数学的意识。”要实现这一目标,就必须更新观念,变结果教学为过程教学,在数学教学中,充分展现数学思维过程。
首先,在数学教学中充分展现数学思维过程,符合“过程教学原则”。“过程教学”就是在教学活动在要用一系列的思维活动贯穿知识,使学生能按一定的思路领会数学知识,深化发展的动态过程,使学生看到思维过程。学生在学习中,不仅要知道结论,还要知道结论是如何推导出来的;学生不仅要会解题,还要知道解题方法是如何想出来的。这就要求教师不仅要熟悉知识的脉络,还要精心创设问题情境,以探究性的语言代替结论性的陈述,在思维的展示过程中引导学生发现知识及知识间的联系,掌握数学的思想方法。
其次,众所周知,数学是锻炼人的思维的艺术体操,在培养人的聪明才智和发展思维能力方面都具有其他学科不可代替的独特作用。学生学习的数学知识虽然是前人创造性思维的结果,但是学生作为学习的主体,处于再发现的地位,学习活动仍然有数学再发现、再创造的性质。因而,在数学过程中变“结果教学”为“过程教学”,注重揭示和展现教学思维过程,对于培养学生的思维能力,特别是培养学生的数学创造性思维能力具有十分重要的意义。
再次,传统的“结果教学”只能给学生一个孤立的解答,而学生的思维能力却得不到提高。在“结果教学”中,虽然教师教给学生一个完整的解答过程,但是学生却看不到教师是怎样思考问题的,从什么地方入手,怎样由失败走向成功的思维过程。学生尽管会解答这一道题了,但是再遇到类似的问题仍不知如何下手。久而久之,学生就会失去学习数学的信心,更谈不上发展创造性思维了,古今中外的许多著名的数学家都主张在数学教学中要让学生看思维过程。例如我国数学家华罗庚教授在自己的教学生涯中,一向重视思维过程的教学,并着意回答学生提出的“你是怎样想出来的”一类问题,著名的德国数学家希尔伯特在哥根庭大学任教时,经常在课堂上即兴出题,并进行解决。虽然他并非每次都能顺利地得到圆满的解答,甚至把自己“挂”在黑板前,但他展现的思维过程却使学生受益匪浅,这些事例也说明了展现数学思维过程对于培养学生的数学思维能力具有重要作用。因此,在数学教学中摒弃灌溉式的教学方法,重视揭示获取知识的思维过程也是十分重要的。
如何在数学教学中充分揭示数学的思维过程呢?
一、注重概念的形成过程
数学概念是反映现实世界中任何形式和关系的思维形式,是数学思维的细胞,如果概念不清,就把握不住数学的实质,在思维上就会迷惘,容易犯概念方面的错误。
怎样在概念的教学中揭示思维的过程呢?课堂上,教师要结合学生已有的认知结构,善于从学生接触过的具体内容引入,运用实物、模型、图案、录像、动画等手段向学生提供必要的感性材料,在引导学生观察的同时,还要启发学生独立思考,使学生在感性认识的基础上上升为理性认识,形成数学概念,通过分析、综合、比较、抽象,学生就可以自己归纳出概念的本质属性,防止了用注入式把嚼烂的知识喂给学生,激发了学生学习数学的兴趣,有利于培养学生的思维能力。
例:教学相反数的概念时,可以先提供给学生两组数:
(1)+6与-6;+1/3与-1/3:+3.7与-3.7;
(2)+7与-3;+1/2与-1/5;-2.9与+4.2.
先让学生观察,然后思考问题:(1)、(2)中的每一对数各有何特点?问题2:两组数中的数对之间具有什么异同?学生比较两组数据后,自然会发现:(1)中每对数只有符号不同,(2)中每对数除符号不同外,符号后的算术数也不同。通过这样的比较分析,学生会很容易地发现相反数的本质属性,就能给相反数下定义了。接着再有学生分析+0与-0的相反数是0,此时,教师可强调说明这是相反数定义的一部分,不能省略。像这样从学生熟知的例子出发,把概念形成的思维过程展示给学生,加深了学生对概念的理解,避免了学生死记硬背概念,还能让学生感到数学概念并非枯燥无味,它们是看得见、摸得着、想得出的东西,提高了他们对数学概念的学习兴趣。
二、重视数学命题的推导过程
数学命题的教学是数学教学的重要组成部分,命题教学的好坏直接影响教学质量,目前的数学教学中只重结论,不重过程;只重应用,不重形成的现象仍然存在,面对国家数学课程标准改革的新形势,在定理、公式的推导和法则方面,力所能及的事让学生自己去做,而教师则是把丰富的探索材料提供给学生,侧重引导学生展开思维活动,通过学生观察、计算、思考发现带有普遍性的规律。像初一数学中平方差公式的教学,新知识的生长点是多项式乘法,教学时可以从复习多项式的乘法入手,编拟出下面的题目让学生求解。
(一)计算:
1.(2a+b)(2a-b)
2.(-2a+b)(-2a-b)
3.(a+1/2)(a-1/2) 4.(3x+0.5)(3x-0.5)
5.(3x+y)(2x-y) 6.(7b+2a)(-7b+2a)
(二)猜想:
1.(a+b)(a-b)=
2.(2-ab)(2+ab)=
(三)证明:
(a+b)(a-b)=a2-b2
经过学生动手操作,他们从知识的发生发展的思维过程中,归纳出平方差公式,既符合学生的认知规律,又深化了学生对平方差公式的理解,而且眼、手、脑各种感官的参与,也活跃了他们的思维,有效地避免学生注意力的分散,大大提高了学习效率。
三、侧重思路的分析过程
有学者认为,数学思维的揭示应包括三种:(一)数学家的思维活动;(二)教师的思维活动;(三)学生的思维活动。教师在例题、习题的教学过程中,要特别重视展示自己的思维活动,不能满足于学生一个完整的答案,而要让学生看到教师是怎样思考,从什么地方打开缺口,找到解题思路的。不但要讲走得通的路,还要讲走不通的“死胡同”。使学生从中学会不能一条路走到底,要善于从“死胡同”中退出,再去寻找别的可行之路。
例如图1:已知:⊙O1和⊙O2相交于A、B两点,PC、PD分别是⊙O1和⊙O2的切线,C、D分别是切点,点P、A、B共线。
求证:PC=PD
在教学此题时,我并没有直接教给学生解法,而是借用几个问题引导学生分析,帮助他们找到证题思路。
(一)以前我们如何证明两条线段相等?此题用前面的方法可行吗?
(二)由已知条件你会联想到什么定理?
(三)应用切割线定理你又得到哪些结论?哪些结论对证明此题有用?
上述几个问题的设计,实际上把教师的思维过程展现给了学生,是在教给学生怎样运用分析法和综合法证明问题。先是让学生执果索因,此路不通时,引导学生由因导果,最后达到果因汇合,找出证明题的方法。像这样,从结论入手分析,用前面的证明线段相等的方法行不通了,就引导学生变换角度,从条件再分析,经常进行这样的训练,可使学生学会在求解问题时不能总在一点上想,一路不通,再寻一路,即使这条路通了,还可以再去寻找别的新路,以求殊途同归,从而提高学生的发散思维能力。
思维的训练就像游泳训练,光有教练的讲解示范是不够的,必须让学生“下水”,才能让他们学会怎样进行思维。经过一段时间的教师示范后,可以让学生尝试分析题目的求解,教师仅在必要时予以点拨。要鼓励学生独立思考,善于提出疑问,发表不同的看法,通过学生相互之间思维活动的展示,让学生认识到自己的思维过程与别人相比有哪些地方不合理或出现错误,又有哪些地方比别人的更简洁、更严谨等,让学生在思维展示与思维评价中,及时发现并纠正自己的错误,学到别人的长处,培养他们良好的思维品质。
综上所述,在数学教学中充分展现数学思维过程,符合国家《数学课程标准》的主旨,也是数学教学改革的大势所趋,在教学中,我们要充分挖掘教材的思维层面,不失时机地创设教学情境,展示教师与学生的思维过程,给学生提供合作与交流的空间,进而培养学生的数学思维能力。
首先,在数学教学中充分展现数学思维过程,符合“过程教学原则”。“过程教学”就是在教学活动在要用一系列的思维活动贯穿知识,使学生能按一定的思路领会数学知识,深化发展的动态过程,使学生看到思维过程。学生在学习中,不仅要知道结论,还要知道结论是如何推导出来的;学生不仅要会解题,还要知道解题方法是如何想出来的。这就要求教师不仅要熟悉知识的脉络,还要精心创设问题情境,以探究性的语言代替结论性的陈述,在思维的展示过程中引导学生发现知识及知识间的联系,掌握数学的思想方法。
其次,众所周知,数学是锻炼人的思维的艺术体操,在培养人的聪明才智和发展思维能力方面都具有其他学科不可代替的独特作用。学生学习的数学知识虽然是前人创造性思维的结果,但是学生作为学习的主体,处于再发现的地位,学习活动仍然有数学再发现、再创造的性质。因而,在数学过程中变“结果教学”为“过程教学”,注重揭示和展现教学思维过程,对于培养学生的思维能力,特别是培养学生的数学创造性思维能力具有十分重要的意义。
再次,传统的“结果教学”只能给学生一个孤立的解答,而学生的思维能力却得不到提高。在“结果教学”中,虽然教师教给学生一个完整的解答过程,但是学生却看不到教师是怎样思考问题的,从什么地方入手,怎样由失败走向成功的思维过程。学生尽管会解答这一道题了,但是再遇到类似的问题仍不知如何下手。久而久之,学生就会失去学习数学的信心,更谈不上发展创造性思维了,古今中外的许多著名的数学家都主张在数学教学中要让学生看思维过程。例如我国数学家华罗庚教授在自己的教学生涯中,一向重视思维过程的教学,并着意回答学生提出的“你是怎样想出来的”一类问题,著名的德国数学家希尔伯特在哥根庭大学任教时,经常在课堂上即兴出题,并进行解决。虽然他并非每次都能顺利地得到圆满的解答,甚至把自己“挂”在黑板前,但他展现的思维过程却使学生受益匪浅,这些事例也说明了展现数学思维过程对于培养学生的数学思维能力具有重要作用。因此,在数学教学中摒弃灌溉式的教学方法,重视揭示获取知识的思维过程也是十分重要的。
如何在数学教学中充分揭示数学的思维过程呢?
一、注重概念的形成过程
数学概念是反映现实世界中任何形式和关系的思维形式,是数学思维的细胞,如果概念不清,就把握不住数学的实质,在思维上就会迷惘,容易犯概念方面的错误。
怎样在概念的教学中揭示思维的过程呢?课堂上,教师要结合学生已有的认知结构,善于从学生接触过的具体内容引入,运用实物、模型、图案、录像、动画等手段向学生提供必要的感性材料,在引导学生观察的同时,还要启发学生独立思考,使学生在感性认识的基础上上升为理性认识,形成数学概念,通过分析、综合、比较、抽象,学生就可以自己归纳出概念的本质属性,防止了用注入式把嚼烂的知识喂给学生,激发了学生学习数学的兴趣,有利于培养学生的思维能力。
例:教学相反数的概念时,可以先提供给学生两组数:
(1)+6与-6;+1/3与-1/3:+3.7与-3.7;
(2)+7与-3;+1/2与-1/5;-2.9与+4.2.
先让学生观察,然后思考问题:(1)、(2)中的每一对数各有何特点?问题2:两组数中的数对之间具有什么异同?学生比较两组数据后,自然会发现:(1)中每对数只有符号不同,(2)中每对数除符号不同外,符号后的算术数也不同。通过这样的比较分析,学生会很容易地发现相反数的本质属性,就能给相反数下定义了。接着再有学生分析+0与-0的相反数是0,此时,教师可强调说明这是相反数定义的一部分,不能省略。像这样从学生熟知的例子出发,把概念形成的思维过程展示给学生,加深了学生对概念的理解,避免了学生死记硬背概念,还能让学生感到数学概念并非枯燥无味,它们是看得见、摸得着、想得出的东西,提高了他们对数学概念的学习兴趣。
二、重视数学命题的推导过程
数学命题的教学是数学教学的重要组成部分,命题教学的好坏直接影响教学质量,目前的数学教学中只重结论,不重过程;只重应用,不重形成的现象仍然存在,面对国家数学课程标准改革的新形势,在定理、公式的推导和法则方面,力所能及的事让学生自己去做,而教师则是把丰富的探索材料提供给学生,侧重引导学生展开思维活动,通过学生观察、计算、思考发现带有普遍性的规律。像初一数学中平方差公式的教学,新知识的生长点是多项式乘法,教学时可以从复习多项式的乘法入手,编拟出下面的题目让学生求解。
(一)计算:
1.(2a+b)(2a-b)
2.(-2a+b)(-2a-b)
3.(a+1/2)(a-1/2) 4.(3x+0.5)(3x-0.5)
5.(3x+y)(2x-y) 6.(7b+2a)(-7b+2a)
(二)猜想:
1.(a+b)(a-b)=
2.(2-ab)(2+ab)=
(三)证明:
(a+b)(a-b)=a2-b2
经过学生动手操作,他们从知识的发生发展的思维过程中,归纳出平方差公式,既符合学生的认知规律,又深化了学生对平方差公式的理解,而且眼、手、脑各种感官的参与,也活跃了他们的思维,有效地避免学生注意力的分散,大大提高了学习效率。
三、侧重思路的分析过程
有学者认为,数学思维的揭示应包括三种:(一)数学家的思维活动;(二)教师的思维活动;(三)学生的思维活动。教师在例题、习题的教学过程中,要特别重视展示自己的思维活动,不能满足于学生一个完整的答案,而要让学生看到教师是怎样思考,从什么地方打开缺口,找到解题思路的。不但要讲走得通的路,还要讲走不通的“死胡同”。使学生从中学会不能一条路走到底,要善于从“死胡同”中退出,再去寻找别的可行之路。
例如图1:已知:⊙O1和⊙O2相交于A、B两点,PC、PD分别是⊙O1和⊙O2的切线,C、D分别是切点,点P、A、B共线。
求证:PC=PD
在教学此题时,我并没有直接教给学生解法,而是借用几个问题引导学生分析,帮助他们找到证题思路。
(一)以前我们如何证明两条线段相等?此题用前面的方法可行吗?
(二)由已知条件你会联想到什么定理?
(三)应用切割线定理你又得到哪些结论?哪些结论对证明此题有用?
上述几个问题的设计,实际上把教师的思维过程展现给了学生,是在教给学生怎样运用分析法和综合法证明问题。先是让学生执果索因,此路不通时,引导学生由因导果,最后达到果因汇合,找出证明题的方法。像这样,从结论入手分析,用前面的证明线段相等的方法行不通了,就引导学生变换角度,从条件再分析,经常进行这样的训练,可使学生学会在求解问题时不能总在一点上想,一路不通,再寻一路,即使这条路通了,还可以再去寻找别的新路,以求殊途同归,从而提高学生的发散思维能力。
思维的训练就像游泳训练,光有教练的讲解示范是不够的,必须让学生“下水”,才能让他们学会怎样进行思维。经过一段时间的教师示范后,可以让学生尝试分析题目的求解,教师仅在必要时予以点拨。要鼓励学生独立思考,善于提出疑问,发表不同的看法,通过学生相互之间思维活动的展示,让学生认识到自己的思维过程与别人相比有哪些地方不合理或出现错误,又有哪些地方比别人的更简洁、更严谨等,让学生在思维展示与思维评价中,及时发现并纠正自己的错误,学到别人的长处,培养他们良好的思维品质。
综上所述,在数学教学中充分展现数学思维过程,符合国家《数学课程标准》的主旨,也是数学教学改革的大势所趋,在教学中,我们要充分挖掘教材的思维层面,不失时机地创设教学情境,展示教师与学生的思维过程,给学生提供合作与交流的空间,进而培养学生的数学思维能力。