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摘要：介绍广义坐标的概念及其在动力学和静力学中的选取方法。
关键词：广义坐标;自由度;虚功原理
1687年，牛顿《自然哲学的数学原理》一书的出版，标志着经典力学的正式建立，成为研究机械运动的有力工具，产生了深远的影响。但是经典力学在分析具体运动时也有其不足之处，它是一门矢量力学，在处理问题时侧重于力和加速度等物理量的矢量分析，而且使用传统的坐标系，因此在数学分析上比较繁琐。牛顿以后的科学家为了克服上述缺陷，在研究物体的机械运动时，一方面侧重于用功和能量等标量来描述物体的运动;另一方面，选取完全独立的广义坐标来替代传统意义的坐标，使得运动方程的数目变少，在这个基础上逐渐发展出了一个新的力学分支——分析力学。下面简单讨论一下分析力学中的广义坐标及其选取的问题。
1 广义坐标
研究物体的运动，就需要确定物体在空间中的位置。在数学上，就是建立坐标系并用相应的量来表示，这些量就是坐标。一般情况下，坐标都是表示距离和方位的量，如长度和角度。传统的坐标系，如笛卡儿坐标系、球坐标系、柱坐标系都是这种表示方法。
但是，表示物体在空间中的位置，除了用线量和角量以外，还可以用许多其它的量来表示，这些量不再是传统意义上的表示距离和方位的量，它可能是面积、体积等，甚至电极化强度、磁化强度等都可以作为表示物体空间位置的坐标。由于这样的坐标不同与以往用线量和角量表示的坐标，而且这种坐标与具体的坐标系无关，因此，把这种坐标称为广义坐标。
广义坐标的选取没有什么特定的限制，主要取决于研究对象的自由度，也就是它的独立坐标数目。广义坐标的数目必须与自由度的数目相一致。由n个质点组成的力学体系，用传统直角坐标系的话，每一个质点的坐标为（xi，yi，zi）共三个坐标，因此，n个质点在空间中需要3n个坐标来表示它的位置。但当它受到k个约束时，以稳定约束为例，每一个约束都可以表示成一个约束方程：
通过约束方程，可以将其中任一个坐标解出，因而，三个坐标中就有一个是不独立的。由此，对于有k个约束的力学体系，真正的独立坐标只有：
s就称为力学体系的自由度，它确定了独立坐标的数目。当力学体系的自由度s确定后，就可以选择s个完全独立的量
来表示力学体系在空间中的位置，这些量就是广义坐标。广义坐标与传统坐标（如直角坐标）满足变换关系为：
所以也可以认为，当一个力学体系不受到约束的情况下，传统意义上的坐标，如直角坐标、球坐标、柱坐标等也就是广义坐标。
2 动力学中广义坐标的选取
先讨论力学体系在受到完整约束情况下的动力学过程中广义坐标的选取问题。
从上面的分析可知，选取一个力学体系的广义坐标，首先必须要确定它的自由度。力学体系的形式主要有以下几种：⑴质点，⑵质点组，⑶刚体，⑷刚体系，⑸质点组与刚体系组成的体系。其中质点组、刚体系、质点组与刚体系组成的体系除了有外在的约束外，还可能存在内在对象之间的约束，要视具体的约束情况而定。这里只介绍一下质点和刚体在运动过程中自由度的确定方法，这也是最常遇到的情况。一个质点在不受约束的情况下，它的自由度是3，当它被限制在面上（曲面或平面）运动时，自由度为2，当被限制在线上（直线或曲线）运动时，自由度为1。刚体的自由度要比质点多一些，这里只介绍重要的几种情况下的自由度。当刚体不受约束，刚体作一般运动，自由度是6，当刚体作定点转动或平面平行运动，自由度是3，刚体作定轴转动，自由度是1。当然，刚体还有其它的运动形式，对应的自由度也不同，由于不是很典型，读者可自行分析。
其次，力学体系的自由度确定好后，广义坐标的数目必须和自由度的值一致。选取广义坐标可以灵活多样，但必须各坐标之间要保持独立性，即保坐标之间不能用方程联系起来，否则就是不独立的。下面举一道最简单的单摆例题（如图1），说明广义坐标选取的多样性，起到抛砖引玉的效果。
首先，单摆是沿着圆弧运动，故其自由度为1。通常情况下，都是选用摆线与竖直方向的夹角q作为广义坐标。现选取摆线与竖直线所围的扇形面积S作为广义坐标，用基
这与选q作为广义坐标所得结果完全一致。这道题还可以选相对于最低点的弧长作为广义坐标，这其实就是自然坐标，结果也是一样的，可见，广义坐标的选取是多种多样的，但必须与自由度数相一致。
3 静力学中广义坐标的选取
在理想约束的情形下，当力学体系处于平衡状态时，用虚功原理处理力学体系的平衡问题。在动力学的情形下，研究对象的运动范围或者轨迹是可以确定的，因此可以以此为基础确定自由度和广义坐标。但在平衡状态下，力学体系保持静止，自由度和广义坐标又该如何选取呢？主要依据就是在约束的情况下，沿着任意可能的情况下发生的虚位移來确定自由度和广义坐标。
现举一例，如图2所示，一个刚性杆置于半球形的碗内处于平衡。刚性杆受到主动力重力mg，约束力N1和N2。首先确定刚性杆的自由度，所受到的三个力均为平面力系，所以不考虑半球形碗的限制，刚性杆将作平面平行运动，自由度为3。但是由于刚性杆受到两个约束，每个约束减少一个自由度，所以其自由度为1，故只需选择一个广义坐标。让刚性杆在约束的情况下发生一个虚位移，图中从实线移动到虚线位置。这样，可以选择图中的q为广义坐标，也可以选择杆在碗内的长度作为广义坐标，结果是一样的。
4 总结
通过以上的讨论可以看出，广义坐标的选取是多种多样的，关键是先要确定好力学体系的自由度，然后再选择广义坐标。广义坐标的数目必须与自由度数相一致，而且广义坐标必须独立，这是至关重要的。
参考文献
[1] 周衍柏.理论力学教程[M].高等教育出版社，2009.
关键词：广义坐标;自由度;虚功原理
1687年，牛顿《自然哲学的数学原理》一书的出版，标志着经典力学的正式建立，成为研究机械运动的有力工具，产生了深远的影响。但是经典力学在分析具体运动时也有其不足之处，它是一门矢量力学，在处理问题时侧重于力和加速度等物理量的矢量分析，而且使用传统的坐标系，因此在数学分析上比较繁琐。牛顿以后的科学家为了克服上述缺陷，在研究物体的机械运动时，一方面侧重于用功和能量等标量来描述物体的运动;另一方面，选取完全独立的广义坐标来替代传统意义的坐标，使得运动方程的数目变少，在这个基础上逐渐发展出了一个新的力学分支——分析力学。下面简单讨论一下分析力学中的广义坐标及其选取的问题。
1 广义坐标
研究物体的运动，就需要确定物体在空间中的位置。在数学上，就是建立坐标系并用相应的量来表示，这些量就是坐标。一般情况下，坐标都是表示距离和方位的量，如长度和角度。传统的坐标系，如笛卡儿坐标系、球坐标系、柱坐标系都是这种表示方法。
但是，表示物体在空间中的位置，除了用线量和角量以外，还可以用许多其它的量来表示，这些量不再是传统意义上的表示距离和方位的量，它可能是面积、体积等，甚至电极化强度、磁化强度等都可以作为表示物体空间位置的坐标。由于这样的坐标不同与以往用线量和角量表示的坐标，而且这种坐标与具体的坐标系无关，因此，把这种坐标称为广义坐标。
广义坐标的选取没有什么特定的限制，主要取决于研究对象的自由度，也就是它的独立坐标数目。广义坐标的数目必须与自由度的数目相一致。由n个质点组成的力学体系，用传统直角坐标系的话，每一个质点的坐标为（xi，yi，zi）共三个坐标，因此，n个质点在空间中需要3n个坐标来表示它的位置。但当它受到k个约束时，以稳定约束为例，每一个约束都可以表示成一个约束方程：
通过约束方程，可以将其中任一个坐标解出，因而，三个坐标中就有一个是不独立的。由此，对于有k个约束的力学体系，真正的独立坐标只有：
s就称为力学体系的自由度，它确定了独立坐标的数目。当力学体系的自由度s确定后，就可以选择s个完全独立的量
来表示力学体系在空间中的位置，这些量就是广义坐标。广义坐标与传统坐标（如直角坐标）满足变换关系为：
所以也可以认为，当一个力学体系不受到约束的情况下，传统意义上的坐标，如直角坐标、球坐标、柱坐标等也就是广义坐标。
2 动力学中广义坐标的选取
先讨论力学体系在受到完整约束情况下的动力学过程中广义坐标的选取问题。
从上面的分析可知，选取一个力学体系的广义坐标，首先必须要确定它的自由度。力学体系的形式主要有以下几种：⑴质点，⑵质点组，⑶刚体，⑷刚体系，⑸质点组与刚体系组成的体系。其中质点组、刚体系、质点组与刚体系组成的体系除了有外在的约束外，还可能存在内在对象之间的约束，要视具体的约束情况而定。这里只介绍一下质点和刚体在运动过程中自由度的确定方法，这也是最常遇到的情况。一个质点在不受约束的情况下，它的自由度是3，当它被限制在面上（曲面或平面）运动时，自由度为2，当被限制在线上（直线或曲线）运动时，自由度为1。刚体的自由度要比质点多一些，这里只介绍重要的几种情况下的自由度。当刚体不受约束，刚体作一般运动，自由度是6，当刚体作定点转动或平面平行运动，自由度是3，刚体作定轴转动，自由度是1。当然，刚体还有其它的运动形式，对应的自由度也不同，由于不是很典型，读者可自行分析。
其次，力学体系的自由度确定好后，广义坐标的数目必须和自由度的值一致。选取广义坐标可以灵活多样，但必须各坐标之间要保持独立性，即保坐标之间不能用方程联系起来，否则就是不独立的。下面举一道最简单的单摆例题（如图1），说明广义坐标选取的多样性，起到抛砖引玉的效果。
首先，单摆是沿着圆弧运动，故其自由度为1。通常情况下，都是选用摆线与竖直方向的夹角q作为广义坐标。现选取摆线与竖直线所围的扇形面积S作为广义坐标，用基
这与选q作为广义坐标所得结果完全一致。这道题还可以选相对于最低点的弧长作为广义坐标，这其实就是自然坐标，结果也是一样的，可见，广义坐标的选取是多种多样的，但必须与自由度数相一致。
3 静力学中广义坐标的选取
在理想约束的情形下，当力学体系处于平衡状态时，用虚功原理处理力学体系的平衡问题。在动力学的情形下，研究对象的运动范围或者轨迹是可以确定的，因此可以以此为基础确定自由度和广义坐标。但在平衡状态下，力学体系保持静止，自由度和广义坐标又该如何选取呢？主要依据就是在约束的情况下，沿着任意可能的情况下发生的虚位移來确定自由度和广义坐标。
现举一例，如图2所示，一个刚性杆置于半球形的碗内处于平衡。刚性杆受到主动力重力mg，约束力N1和N2。首先确定刚性杆的自由度，所受到的三个力均为平面力系，所以不考虑半球形碗的限制，刚性杆将作平面平行运动，自由度为3。但是由于刚性杆受到两个约束，每个约束减少一个自由度，所以其自由度为1，故只需选择一个广义坐标。让刚性杆在约束的情况下发生一个虚位移，图中从实线移动到虚线位置。这样，可以选择图中的q为广义坐标，也可以选择杆在碗内的长度作为广义坐标，结果是一样的。
4 总结
通过以上的讨论可以看出，广义坐标的选取是多种多样的，关键是先要确定好力学体系的自由度，然后再选择广义坐标。广义坐标的数目必须与自由度数相一致，而且广义坐标必须独立，这是至关重要的。
参考文献
[1] 周衍柏.理论力学教程[M].高等教育出版社，2009.