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[摘 要]对浙教版、苏教版、西师大版教材中估计圆的面积的编排内容做比较和分析，指出了存在意图不明、前后环节不衔接、思路断层及颠倒等问题，提出了完善教材、探究并获得圆的面积猜想过程的具体建议。
[关键词]圆;面积;教材;估计
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）20-0011-03
在探究圆的面积公式时，有的教材除了用“画—分—剪—拼”方法之外，还在此前做了估计圆的面积的设计。由于只涉及几个版本的教材，故在此单独进行比较分析。
一、教材比较分析
1.浙教版教材与青岛版教材
浙教版教材在第68页（如图1）给出了圆内接和外切正方形，以及边长为圆的半径的正方形，通过让学生比较圆的面积和这些正方形面积之间的关系进行了初步估计，得到圆的面积在以半径为边长的小正方形的面积（半径×半径）的2倍与4倍之间。
青岛版教材在第65页（如图2）设计了圆的内接和外切正多边形，有正四边形、正八边形、正十六边形。但从引导语看，仅得到了圆的面积比圆内接正方形的面积大一些，比圆外切正方形的面积小一些的结果，没有进一步量化，应该不是为了让学生估计或猜出圆的面积。
这两个版本教材的内容只能让学生感受圆的面积的大体范围，不足以引导学生猜想圆的面积，教材也没引导学生提出猜想，而是进入利用“画—分—剪—拼”方法探究圆的面积公式环节，但设计思路缺乏连贯性，难道是为了渗透化曲为直、化圆为方的化归思想？还是为圆的分割做思想与方法的准备和铺垫，渗透古人求圆周率和圆的面积的方法及极限思想？
2.苏教版教材与西师大版教材
苏教版教材（第96页;如图3）和西师大版教材（第19页;如图4）估测圆的面积都是采用数方格这种最基本的方法，使学生认识到圆的面积比“半径×半径”的3倍多一些。由图可见，苏教版教材的内容更详细一些，给出了边长为4、5、6个单位长度的正方形，并列成表格形成对比;而西师大版教材只给出边长为4个单位长度的正方形。但它们都存在以下问题：
首先，这两个版本教材应该是想通过“3倍多一些”引导学生联想到圆周率，从而提出“圆的面积是半径×半径的[π]倍”之猜想，继而再验证猜想，推导圆的面积公式。这样，既渗透了“提出问题—猜想—验证（证明）猜想—获得结论”的科学发现方法与模式，又培养了学生的创新能力。可遗憾的是，教材没有提出猜想，也没引导学生提出猜想，而是直接进入利用“画—分—剪—拼”方法推導圆的面积公式的环节，让人感到该设计思路断层。
其次，有机械操作计算的问题。因设计都是在方格纸上直接数出四分之一圆的面积，进而得出圆的面积后再进行计算。这种直接数出面积的方法不但不精确，而且是学生一开始学习面积不得已而采用的方法，在已经学习了不少图形的面积后再采用这种原始方法能促进学生认知的提高吗？
最后，存在思路颠倒的问题。由图3和图4可知，两个版本教材都是先给出正方形，然后以它的边长为半径画圆。这里是探讨圆的面积问题，应该是先画圆。有的人可能会说：“先画谁不行，目的不都是数出面积并进行计算吗？”其实不然，这关系到知识之间的相互联系、应用和拓展。
综上，两个版本教材关于圆的面积估计的内容，没有引导学生提出猜想，与下一环节用“画—分—剪—拼”方法推导圆的面积公式有些脱节。
二、圆的面积估计与猜想编写的必要性分析
众多教材编写该内容的目的，可能一是为了体现课程标准在第二学段的“二、图形与几何”中，“（二）测量”之“5.会用方格纸估计不规则图形的面积”;二是贯彻课程标准提出的“在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力”的要求。当然，可能还体现课程标准要求渗透数学思想的目的，但前后环节缺乏联系，又体现不出过程。其实，课程标准并未明确要求上述两点非得在圆的面积部分体现，这也是其他教材都没有此环节设计，而是直接用“画—分—剪—拼”方法推导圆的面积公式的原因。
三、教材完善建议
下面以苏教版、西师大版教材为蓝本，提出以下建议，目的是将估计猜想环节与验证推导圆的面积公式环节联系起来，形成一个完整的科学发现过程。
首先，让学生画几个半径为单位长度整数倍的圆，并提出考察其面积的问题。比如，可画半径为4、5、6个单位长度的圆。
其次，引导学生想到圆的面积的大小是由半径确定的，而度量面积的大小是用正方形做面积单位的，启发学生考察圆的面积是边长为圆的半径的正方形面积的几倍。这样，学生会作相互垂直的直径，然后作出边长为圆的半径的正方形，进而比较。这样的设计，不仅促进了学生思考，建立了知识间的联系，更有利于学生思维与知识的拓展。如，学生学习了圆的面积是以半径为边长的正方形的面积的[π]倍后，教师再给出相互垂直的长、短轴分别为2a、2b的椭圆，学生可以借助类比猜想出椭圆的面积是以a、b为边长的长方形面积的[π]倍，即[π]ab。这样，既开阔了学生的思维，又体现了知识的活学活用。
第三，用方格纸数出四分之一圆的面积的盈亏范围（而不是直接数出多少），再取平均值，进而求得圆的面积，再计算出圆的面积是边长为圆的半径的正方形的面积的几倍。这样，不仅渗透了两边夹逼的原则和极限思想，也体现了平均数的应用，更重要的是能得到较为精确的数值。例如，在图3和图4的半径为4个单位长度的图形中，学生通过拼凑可数出四分之一圆的面积在12与13之间，平均值为12.5，计算出圆的面积约为正方形面积的3.125倍。而若按西师大版教材的（如图2）“四分之一圆的面积是13”计算，得到的是3.25倍，误差较大。又如，半径为5个单位长度的图形中，可数出四分之一圆的面积在19.5与20之间，平均值为19.75，计算出圆的面积约为正方形面积的3.16倍。
第四，引导学生比较所计算出的倍数，并与圆的周长与直径的关系或圆周率进行比较，学生便可猜出圆的面积是边长为圆的半径的正方形面积的[π]倍。
总之，这样的编排，能使估计猜测环节与验证证明环节形成一个完整的科学发现过程，同时还渗透数学思想方法，有利于学生创新能力的培养，及知识的融合与灵活运用。
【本文系“青蓝项目：青岛市教育学会 2018 年度教育研究项目——关于空间与图形领域课堂探索活动编写的比较研究（QES18E152）”研究成果之一。】
（责编 金 铃）
[关键词]圆;面积;教材;估计
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）20-0011-03
在探究圆的面积公式时，有的教材除了用“画—分—剪—拼”方法之外，还在此前做了估计圆的面积的设计。由于只涉及几个版本的教材，故在此单独进行比较分析。
一、教材比较分析
1.浙教版教材与青岛版教材
浙教版教材在第68页（如图1）给出了圆内接和外切正方形，以及边长为圆的半径的正方形，通过让学生比较圆的面积和这些正方形面积之间的关系进行了初步估计，得到圆的面积在以半径为边长的小正方形的面积（半径×半径）的2倍与4倍之间。
青岛版教材在第65页（如图2）设计了圆的内接和外切正多边形，有正四边形、正八边形、正十六边形。但从引导语看，仅得到了圆的面积比圆内接正方形的面积大一些，比圆外切正方形的面积小一些的结果，没有进一步量化，应该不是为了让学生估计或猜出圆的面积。
这两个版本教材的内容只能让学生感受圆的面积的大体范围，不足以引导学生猜想圆的面积，教材也没引导学生提出猜想，而是进入利用“画—分—剪—拼”方法探究圆的面积公式环节，但设计思路缺乏连贯性，难道是为了渗透化曲为直、化圆为方的化归思想？还是为圆的分割做思想与方法的准备和铺垫，渗透古人求圆周率和圆的面积的方法及极限思想？
2.苏教版教材与西师大版教材
苏教版教材（第96页;如图3）和西师大版教材（第19页;如图4）估测圆的面积都是采用数方格这种最基本的方法，使学生认识到圆的面积比“半径×半径”的3倍多一些。由图可见，苏教版教材的内容更详细一些，给出了边长为4、5、6个单位长度的正方形，并列成表格形成对比;而西师大版教材只给出边长为4个单位长度的正方形。但它们都存在以下问题：
首先，这两个版本教材应该是想通过“3倍多一些”引导学生联想到圆周率，从而提出“圆的面积是半径×半径的[π]倍”之猜想，继而再验证猜想，推导圆的面积公式。这样，既渗透了“提出问题—猜想—验证（证明）猜想—获得结论”的科学发现方法与模式，又培养了学生的创新能力。可遗憾的是，教材没有提出猜想，也没引导学生提出猜想，而是直接进入利用“画—分—剪—拼”方法推導圆的面积公式的环节，让人感到该设计思路断层。
其次，有机械操作计算的问题。因设计都是在方格纸上直接数出四分之一圆的面积，进而得出圆的面积后再进行计算。这种直接数出面积的方法不但不精确，而且是学生一开始学习面积不得已而采用的方法，在已经学习了不少图形的面积后再采用这种原始方法能促进学生认知的提高吗？
最后，存在思路颠倒的问题。由图3和图4可知，两个版本教材都是先给出正方形，然后以它的边长为半径画圆。这里是探讨圆的面积问题，应该是先画圆。有的人可能会说：“先画谁不行，目的不都是数出面积并进行计算吗？”其实不然，这关系到知识之间的相互联系、应用和拓展。
综上，两个版本教材关于圆的面积估计的内容，没有引导学生提出猜想，与下一环节用“画—分—剪—拼”方法推导圆的面积公式有些脱节。
二、圆的面积估计与猜想编写的必要性分析
众多教材编写该内容的目的，可能一是为了体现课程标准在第二学段的“二、图形与几何”中，“（二）测量”之“5.会用方格纸估计不规则图形的面积”;二是贯彻课程标准提出的“在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力”的要求。当然，可能还体现课程标准要求渗透数学思想的目的，但前后环节缺乏联系，又体现不出过程。其实，课程标准并未明确要求上述两点非得在圆的面积部分体现，这也是其他教材都没有此环节设计，而是直接用“画—分—剪—拼”方法推导圆的面积公式的原因。
三、教材完善建议
下面以苏教版、西师大版教材为蓝本，提出以下建议，目的是将估计猜想环节与验证推导圆的面积公式环节联系起来，形成一个完整的科学发现过程。
首先，让学生画几个半径为单位长度整数倍的圆，并提出考察其面积的问题。比如，可画半径为4、5、6个单位长度的圆。
其次，引导学生想到圆的面积的大小是由半径确定的，而度量面积的大小是用正方形做面积单位的，启发学生考察圆的面积是边长为圆的半径的正方形面积的几倍。这样，学生会作相互垂直的直径，然后作出边长为圆的半径的正方形，进而比较。这样的设计，不仅促进了学生思考，建立了知识间的联系，更有利于学生思维与知识的拓展。如，学生学习了圆的面积是以半径为边长的正方形的面积的[π]倍后，教师再给出相互垂直的长、短轴分别为2a、2b的椭圆，学生可以借助类比猜想出椭圆的面积是以a、b为边长的长方形面积的[π]倍，即[π]ab。这样，既开阔了学生的思维，又体现了知识的活学活用。
第三，用方格纸数出四分之一圆的面积的盈亏范围（而不是直接数出多少），再取平均值，进而求得圆的面积，再计算出圆的面积是边长为圆的半径的正方形的面积的几倍。这样，不仅渗透了两边夹逼的原则和极限思想，也体现了平均数的应用，更重要的是能得到较为精确的数值。例如，在图3和图4的半径为4个单位长度的图形中，学生通过拼凑可数出四分之一圆的面积在12与13之间，平均值为12.5，计算出圆的面积约为正方形面积的3.125倍。而若按西师大版教材的（如图2）“四分之一圆的面积是13”计算，得到的是3.25倍，误差较大。又如，半径为5个单位长度的图形中，可数出四分之一圆的面积在19.5与20之间，平均值为19.75，计算出圆的面积约为正方形面积的3.16倍。
第四，引导学生比较所计算出的倍数，并与圆的周长与直径的关系或圆周率进行比较，学生便可猜出圆的面积是边长为圆的半径的正方形面积的[π]倍。
总之，这样的编排，能使估计猜测环节与验证证明环节形成一个完整的科学发现过程，同时还渗透数学思想方法，有利于学生创新能力的培养，及知识的融合与灵活运用。
【本文系“青蓝项目：青岛市教育学会 2018 年度教育研究项目——关于空间与图形领域课堂探索活动编写的比较研究（QES18E152）”研究成果之一。】
（责编 金 铃）