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【摘 要】数学思考中的识记和重现是数学记忆的有效方式，而有效的数学记忆更是学生在数学活动中的思维起点。在数学知识和数学思维方法的建构与形成过程中，开展有效的数学记忆，其目的在于促进学生思维的应然激活和数学意义的自然建构，助推学生数学思维方法的形成和数学思维的提升，有效帮助学生实现从低级思维的机械重复向高级思维的综合运用的应然转变，促进学生数学核心素养的形成和数学思想的感悟。
【关键词】有效记忆 思维起点
数学思考中的识记和重现是数学記忆的有效方式，而有效的数学记忆更是学生在数学活动中的思维起点。因而，在数学概念的建构过程中，时而需要适时引导学生开展有效的数学记忆。教学时发现，一旦学生的认知不能直接触摸已有的知识经验，学生的数学思维便无法顺势迁移，数学认知也无法有序推进，抑制了学生对新知概念的直观感知和数学意义的积极建构。此时需要教师在教学实践中，适时引领学生捕捉生活中的直接经验，探寻直接经验中数学知识的思维“源头”，刺激学生探寻新旧知识的思维连接点，使新知概念在已有知识经验的基础上得以自然形成。如此识记知识源头，重现已有知识，学生在经历新知的形成过程中，其思维才能“有源可思”“有据可思”，实现了数学记忆对数学思考的有效支撑。因此，数学记忆能在数学活动中有效点燃学生的思维，促使学生的数学思维方法得以自然掌握。
一、从观察到识记：认知中形成思维技能
【案例一】苏教版教材四年级上册“认识升”
课堂上，教师根据教材的编排步骤引导学生认识了“升”后，就出示了如下的练习情境。
师：浴缸的容量大约是……
生：10升。（教师眉头紧锁，直摇头）
师：玻璃杯的容量会是多少？
生：10升。（学生是在回答浴缸容量10升老师直摇头的情况下脱口而出的）
师愕然……
【思考】
此案例反映出学生对10升容量的大小没有一点认知，折射出学生对1升的数学概念还未建立。由此，“升”的教学需要教师引导学生在观察中识记，在识记中认知，在认知中形成思维技能。
（一）数学感知，需从“无形”走向“有形”
在数学思维活动中，学生通过直观观察而直接感知事物的特征，会表现出一种可知性思维。此时，事物往往呈现出一种有形状态，刺激学生对事物的感知形成思维边界，并逐步建立感知对象的思维直观。而一旦呈现在学生面前的事物或认识对象是一种无形状态，学生对事物的认知便无法直接感知，其直观形象思维难以激活，思维会表现出不可知性。此时学生的数学思考缺乏思维支撑，无法延续，找不到新知事物的特征与学生认知经验的连接点，无法对所学新知概念内涵得以进一步表征与建构。因而，对数学概念的直观感知，需要从概念表征的“无形”走向“有形”，学生才能捕捉认知对象的参照物，找到新知概念的思维“燃点”，继而开展有序的数学思考。
在“认识升”的例题主题图中，在量杯中倒入1升的水，然后全部倒入棱长为1分米的正方体容器中。这一操作过程，实际上仅能帮助学生建构“1升水的容量等于1立方分米空间的大小”，而学生对于“1升水有多少”的概念建构不但未能起到促进作用，反而增加了“认识”的难度。因为学生直接观察到1升的水是“无形”的，要想在脑海里建立“1升水”的概念表象，学生需要捕捉到1升水容量的“空间轮廓”，如此液体的“空间轮廓”是随着不同容器的形状而随之发生改变，导致“1升水的容量究竟有多少”留在学生的脑海里总是无形的，是记住1升量杯里的水，还是记住1立方分米正方体容器里的水？而且1立方分米正方体容器的空间大小在学生的脑海里又是陌生的，学生还未积累此方面的认知经验，难以形成积极的意义建构和记忆理解，学生对“升”的认识开始迷茫，此时学生的数学感知是模糊的。因此，教学时理应从儿童的认知现实出发，急需让1升水的无形找到有形，找到学生熟悉的1升容量的有形容器，激活学生的认知经验，继而帮助学生建立掌握1升水容量大小的思维依据和思维支撑。
（二）数学技能，需从识记走向思考
有效的数学思考、有序的数学思维理应从学生的已有知识经验出发，因为已有的知识经验在学生的脑海里已经内化为一种学习能力和思维技能。因此，有效的数学活动需要适时回归儿童的现实生活，激活儿童的认知经验，激发儿童的思维灵感，才能形成有效的数学识记，促进学生由数学记忆走向数学思考，形成相应的解决问题的数学思维方法和数学技能。
“升”的认识对于四年级学生来说是抽象的，不可捉摸的，因为作为容量单位，它是无形的，学生无法直接感知它，而作为“1升”的液体又是无形的，它是随着容器的形状而发生改变，方形容器的容量可以是1升，圆形容器的容量可以是1升，其他任何形状容器的容量也可以是1升。所以，课堂上教师需要引导学生在观察的基础上进行适时记忆，让学生对自己熟悉的“1升容器”在头脑中形成“脑象图”，使“1升”数学概念表象得到及时表征，从而有效支撑学生对容量数量关系问题的分析和解决。
教学时，可以让学生课前带一个1升的饮料瓶。课堂上发现，有学生带的是1升的汇源果汁方盒，有学生带的是1升的冰红茶瓶，还有学生带的是其他一些接近1升的饮料瓶。这些饮料都是学生生活里爱喝的饮料，平时经常接触，对这些容器的空间大小以及形状已经有了深刻的感知，对它们的空间大小已形成认知经验。课堂上让学生把这些1升的容器的样子顺势记忆在脑海里，这样学生就能深刻体会到“1升”容器的大小，把自己熟悉的1升容器的空间大小作为一种特定的容量测量标准，每当解决与“升”有关的实际问题时，学生就会自然地从这个“标准”出发进行观察分析、甄别比较。长此以往，学生对1升的容量大小的数学概念就会从无形的迷茫，找到有形的抓手，扎实掌握1升的容量大小，建构了1升的概念意义。如此有效记忆1升的概念意义就会自然成为学生去判断其他容器容量的思维原点，从而不会发生诸如“浴缸的容量是10升”“酒杯的容量是10升”的认知严重偏离的错误现象了。 二、从经验到重现：运用中形成思维方法
【案例二】苏教版教材一年级下册“十几减6、5、4、3、2”
课堂上，教师教学12-3呈现如下教学情境。
师：12-3等于多少？可以怎样想？
生（齐答）：想加算减。（平时教师一定是统一强调）
师：谁能说说3加几等于12呢？（课堂上鸦雀无声，无人回答）
师追问（有点着急）：那12-3等于几呀？
生（齐答）：等于9。
师（继续）：你们说说3加几等于12 呀？（学生还是一脸茫然）
【思考】
由此分析，教师在课堂上强加给学生的“想加算减”的方法，与学生实际计算过程中的思维方法不一致，学生在计算过程中所表现出来的“言行不一”的行为，凸显了对20以内加法记忆的一种缺失，这种记忆缺失，导致学生无法对加法结果的瞬间重现，因而无法支撑学生用“想加算减”的思维进行减法口算。因此，数学教学理应在运用中记忆，在记忆中形成技能，继而形成数学思维方法，使经验得以重现，推动学生的认知由数学记忆走向数学思考。
（一）方法建构，源于儿童的思维现实
在数学方法的形成过程中，儿童的理解与成人是不一样的，解决问题的过程更加凸显儿童化的思维路径。因而，教师教学必须要符合儿童的思维现实，即要顺应儿童的思维经验和知识基础。无论教材中的教学方法，还是教师个体成人化的教学经验，均不能在探索新知的过程中直接“移植”给学生，以便形成无效的数学记忆，需要在建构数学方法的过程中回归儿童的思维，让儿童的思维自然催生学习需求和求知欲望，从而探索出儿童化的数学思维方法。
从上面案例分析，在思维的难易程度上，12-3的思维难度要小于3 （ ）=12。因为12-3在学生的头脑中，学生会用“去掉”的思维方法得到9，从12里去掉2，还剩10，再去掉1还剩下9，如此顺势思考学生会很快得到12-3=9。而3 （ ）=12学生会在头脑中用“慢慢凑”的思维方法：3 7=10，10 2=12，然后把先凑的7与后凑的2合起来是9，于是得出3 （9）=12，由此再想出12-3=9。這一思维已经明显脱离了儿童的思维现实。因而，教学时要尊重儿童的思维现实，否则学生不但不能主动接受 “想加算减”的口算方法，更无法理解加减法之间的运算联系。
（二）技能形成，依于儿童的已有经验
数学方法和技能形成的过程，必然是学生已有知识经验进行有效迁移和再运用的过程，表现为学生数学思考过程中的思维创新和有效记忆的积累。只有当学生对已有知识实施了有效记忆，相应的学习经验便会悄然形成，新知便会在旧知的迁移过程中得以自然生长。因此，在帮助学生建构数学方法的过程中，开展有效的数学记忆会助推学生经验的再运用，促进学生由知识性技能向思维性技能的应然转变，加深理解知识间的相互联系，强化数学方法的灵活运用。
因此，基于儿童的心理特点和思维特征，学生在课堂上不会主动想“由3 （9）=12得出12-3=9”的口算方法，因为如此思考反而增加数学思维的复杂性和运算算理的烦琐性。故而，要使学生在后续的减法计算过程中形成“想加算减”的计算技能，教师需要引领学生学习20以内加法口算时，实施有效的数学记忆。引导学生在记忆的过程中，进一步探索20以内加法算式的特征，使20以内数的分与合自然烙印在学生的脑海，初步感悟加减法算式之间的应然联系。这样，学生会在熟练记忆的基础上，深刻领悟20以内加法的结果，当熟练到一定程度时，学生对于20以内的加法口算方法会自然积累为计算经验，继而形成相应的数感，从而形成对加法计算的知识性技能。计算技能一旦形成，学生只要看到20以内的加法算式，便会形成条件反射，其算式中的“加数”和“结果”就会同时浮现在学生的脑海。所以，当学生对于20以内加法口算记忆犹新的时候，实际上就已经形成了“想加算减”口算技能了。因为在算减法的时候，加法形成的计算技能已经自然成为学生计算减法的思维起点，只要遇到十几减几的减法算式的时候，学生的脑海中即会浮现相应的加法算式，此时学生就不会再滋生“去掉”的思维去慢慢算减法了。如此从儿童的已有知识经验出发，实施有效的数学记忆，既顺应了儿童的认知思维，也迎合了学生的认知特点，有效促进学生数学技能的形成。
综上所述，在数学知识和数学思维方法的建构与形成过程中，开展有效的数学记忆，并不是对数学知识的机械灌输和数学方法的被动接受，而是促进学生思维的应然激活和数学意义的自然建构，助推学生数学思维方法的形成和数学思维的提升。因此，有效的数学记忆会自然开启学生的数学思维，使之成为学生数学思考的思维起点，有效帮助学生实现从低级思维的机械重复向高级思维的综合运用的应然转变，促进学生数学核心素养的形成和数学思想的感悟。
（江苏省扬州市江都区实验小学 225200）
【关键词】有效记忆 思维起点
数学思考中的识记和重现是数学記忆的有效方式，而有效的数学记忆更是学生在数学活动中的思维起点。因而，在数学概念的建构过程中，时而需要适时引导学生开展有效的数学记忆。教学时发现，一旦学生的认知不能直接触摸已有的知识经验，学生的数学思维便无法顺势迁移，数学认知也无法有序推进，抑制了学生对新知概念的直观感知和数学意义的积极建构。此时需要教师在教学实践中，适时引领学生捕捉生活中的直接经验，探寻直接经验中数学知识的思维“源头”，刺激学生探寻新旧知识的思维连接点，使新知概念在已有知识经验的基础上得以自然形成。如此识记知识源头，重现已有知识，学生在经历新知的形成过程中，其思维才能“有源可思”“有据可思”，实现了数学记忆对数学思考的有效支撑。因此，数学记忆能在数学活动中有效点燃学生的思维，促使学生的数学思维方法得以自然掌握。
一、从观察到识记：认知中形成思维技能
【案例一】苏教版教材四年级上册“认识升”
课堂上，教师根据教材的编排步骤引导学生认识了“升”后，就出示了如下的练习情境。
师：浴缸的容量大约是……
生：10升。（教师眉头紧锁，直摇头）
师：玻璃杯的容量会是多少？
生：10升。（学生是在回答浴缸容量10升老师直摇头的情况下脱口而出的）
师愕然……
【思考】
此案例反映出学生对10升容量的大小没有一点认知，折射出学生对1升的数学概念还未建立。由此，“升”的教学需要教师引导学生在观察中识记，在识记中认知，在认知中形成思维技能。
（一）数学感知，需从“无形”走向“有形”
在数学思维活动中，学生通过直观观察而直接感知事物的特征，会表现出一种可知性思维。此时，事物往往呈现出一种有形状态，刺激学生对事物的感知形成思维边界，并逐步建立感知对象的思维直观。而一旦呈现在学生面前的事物或认识对象是一种无形状态，学生对事物的认知便无法直接感知，其直观形象思维难以激活，思维会表现出不可知性。此时学生的数学思考缺乏思维支撑，无法延续，找不到新知事物的特征与学生认知经验的连接点，无法对所学新知概念内涵得以进一步表征与建构。因而，对数学概念的直观感知，需要从概念表征的“无形”走向“有形”，学生才能捕捉认知对象的参照物，找到新知概念的思维“燃点”，继而开展有序的数学思考。
在“认识升”的例题主题图中，在量杯中倒入1升的水，然后全部倒入棱长为1分米的正方体容器中。这一操作过程，实际上仅能帮助学生建构“1升水的容量等于1立方分米空间的大小”，而学生对于“1升水有多少”的概念建构不但未能起到促进作用，反而增加了“认识”的难度。因为学生直接观察到1升的水是“无形”的，要想在脑海里建立“1升水”的概念表象，学生需要捕捉到1升水容量的“空间轮廓”，如此液体的“空间轮廓”是随着不同容器的形状而随之发生改变，导致“1升水的容量究竟有多少”留在学生的脑海里总是无形的，是记住1升量杯里的水，还是记住1立方分米正方体容器里的水？而且1立方分米正方体容器的空间大小在学生的脑海里又是陌生的，学生还未积累此方面的认知经验，难以形成积极的意义建构和记忆理解，学生对“升”的认识开始迷茫，此时学生的数学感知是模糊的。因此，教学时理应从儿童的认知现实出发，急需让1升水的无形找到有形，找到学生熟悉的1升容量的有形容器，激活学生的认知经验，继而帮助学生建立掌握1升水容量大小的思维依据和思维支撑。
（二）数学技能，需从识记走向思考
有效的数学思考、有序的数学思维理应从学生的已有知识经验出发，因为已有的知识经验在学生的脑海里已经内化为一种学习能力和思维技能。因此，有效的数学活动需要适时回归儿童的现实生活，激活儿童的认知经验，激发儿童的思维灵感，才能形成有效的数学识记，促进学生由数学记忆走向数学思考，形成相应的解决问题的数学思维方法和数学技能。
“升”的认识对于四年级学生来说是抽象的，不可捉摸的，因为作为容量单位，它是无形的，学生无法直接感知它，而作为“1升”的液体又是无形的，它是随着容器的形状而发生改变，方形容器的容量可以是1升，圆形容器的容量可以是1升，其他任何形状容器的容量也可以是1升。所以，课堂上教师需要引导学生在观察的基础上进行适时记忆，让学生对自己熟悉的“1升容器”在头脑中形成“脑象图”，使“1升”数学概念表象得到及时表征，从而有效支撑学生对容量数量关系问题的分析和解决。
教学时，可以让学生课前带一个1升的饮料瓶。课堂上发现，有学生带的是1升的汇源果汁方盒，有学生带的是1升的冰红茶瓶，还有学生带的是其他一些接近1升的饮料瓶。这些饮料都是学生生活里爱喝的饮料，平时经常接触，对这些容器的空间大小以及形状已经有了深刻的感知，对它们的空间大小已形成认知经验。课堂上让学生把这些1升的容器的样子顺势记忆在脑海里，这样学生就能深刻体会到“1升”容器的大小，把自己熟悉的1升容器的空间大小作为一种特定的容量测量标准，每当解决与“升”有关的实际问题时，学生就会自然地从这个“标准”出发进行观察分析、甄别比较。长此以往，学生对1升的容量大小的数学概念就会从无形的迷茫，找到有形的抓手，扎实掌握1升的容量大小，建构了1升的概念意义。如此有效记忆1升的概念意义就会自然成为学生去判断其他容器容量的思维原点，从而不会发生诸如“浴缸的容量是10升”“酒杯的容量是10升”的认知严重偏离的错误现象了。 二、从经验到重现：运用中形成思维方法
【案例二】苏教版教材一年级下册“十几减6、5、4、3、2”
课堂上，教师教学12-3呈现如下教学情境。
师：12-3等于多少？可以怎样想？
生（齐答）：想加算减。（平时教师一定是统一强调）
师：谁能说说3加几等于12呢？（课堂上鸦雀无声，无人回答）
师追问（有点着急）：那12-3等于几呀？
生（齐答）：等于9。
师（继续）：你们说说3加几等于12 呀？（学生还是一脸茫然）
【思考】
由此分析，教师在课堂上强加给学生的“想加算减”的方法，与学生实际计算过程中的思维方法不一致，学生在计算过程中所表现出来的“言行不一”的行为，凸显了对20以内加法记忆的一种缺失，这种记忆缺失，导致学生无法对加法结果的瞬间重现，因而无法支撑学生用“想加算减”的思维进行减法口算。因此，数学教学理应在运用中记忆，在记忆中形成技能，继而形成数学思维方法，使经验得以重现，推动学生的认知由数学记忆走向数学思考。
（一）方法建构，源于儿童的思维现实
在数学方法的形成过程中，儿童的理解与成人是不一样的，解决问题的过程更加凸显儿童化的思维路径。因而，教师教学必须要符合儿童的思维现实，即要顺应儿童的思维经验和知识基础。无论教材中的教学方法，还是教师个体成人化的教学经验，均不能在探索新知的过程中直接“移植”给学生，以便形成无效的数学记忆，需要在建构数学方法的过程中回归儿童的思维，让儿童的思维自然催生学习需求和求知欲望，从而探索出儿童化的数学思维方法。
从上面案例分析，在思维的难易程度上，12-3的思维难度要小于3 （ ）=12。因为12-3在学生的头脑中，学生会用“去掉”的思维方法得到9，从12里去掉2，还剩10，再去掉1还剩下9，如此顺势思考学生会很快得到12-3=9。而3 （ ）=12学生会在头脑中用“慢慢凑”的思维方法：3 7=10，10 2=12，然后把先凑的7与后凑的2合起来是9，于是得出3 （9）=12，由此再想出12-3=9。這一思维已经明显脱离了儿童的思维现实。因而，教学时要尊重儿童的思维现实，否则学生不但不能主动接受 “想加算减”的口算方法，更无法理解加减法之间的运算联系。
（二）技能形成，依于儿童的已有经验
数学方法和技能形成的过程，必然是学生已有知识经验进行有效迁移和再运用的过程，表现为学生数学思考过程中的思维创新和有效记忆的积累。只有当学生对已有知识实施了有效记忆，相应的学习经验便会悄然形成，新知便会在旧知的迁移过程中得以自然生长。因此，在帮助学生建构数学方法的过程中，开展有效的数学记忆会助推学生经验的再运用，促进学生由知识性技能向思维性技能的应然转变，加深理解知识间的相互联系，强化数学方法的灵活运用。
因此，基于儿童的心理特点和思维特征，学生在课堂上不会主动想“由3 （9）=12得出12-3=9”的口算方法，因为如此思考反而增加数学思维的复杂性和运算算理的烦琐性。故而，要使学生在后续的减法计算过程中形成“想加算减”的计算技能，教师需要引领学生学习20以内加法口算时，实施有效的数学记忆。引导学生在记忆的过程中，进一步探索20以内加法算式的特征，使20以内数的分与合自然烙印在学生的脑海，初步感悟加减法算式之间的应然联系。这样，学生会在熟练记忆的基础上，深刻领悟20以内加法的结果，当熟练到一定程度时，学生对于20以内的加法口算方法会自然积累为计算经验，继而形成相应的数感，从而形成对加法计算的知识性技能。计算技能一旦形成，学生只要看到20以内的加法算式，便会形成条件反射，其算式中的“加数”和“结果”就会同时浮现在学生的脑海。所以，当学生对于20以内加法口算记忆犹新的时候，实际上就已经形成了“想加算减”口算技能了。因为在算减法的时候，加法形成的计算技能已经自然成为学生计算减法的思维起点，只要遇到十几减几的减法算式的时候，学生的脑海中即会浮现相应的加法算式，此时学生就不会再滋生“去掉”的思维去慢慢算减法了。如此从儿童的已有知识经验出发，实施有效的数学记忆，既顺应了儿童的认知思维，也迎合了学生的认知特点，有效促进学生数学技能的形成。
综上所述，在数学知识和数学思维方法的建构与形成过程中，开展有效的数学记忆，并不是对数学知识的机械灌输和数学方法的被动接受，而是促进学生思维的应然激活和数学意义的自然建构，助推学生数学思维方法的形成和数学思维的提升。因此，有效的数学记忆会自然开启学生的数学思维，使之成为学生数学思考的思维起点，有效帮助学生实现从低级思维的机械重复向高级思维的综合运用的应然转变，促进学生数学核心素养的形成和数学思想的感悟。
（江苏省扬州市江都区实验小学 225200）