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摘要：在20世纪20年代，德国的学者Marcus H提出了十字交叉板带的简化模型，这个模型后来一直作为梁板结构设计时单向板或双向板计算的依据，但在后来的研究中发现，这个模型过于简化，不能够反应板的受力特征以及荷载与内力沿板的两个方面的真实传递情况。本文将通过对混凝土结构的分析，提出区分单向板与双向板界限的具体建议与方法。
关键词：混凝土结构 单向板与双向板 界限区分
中图分类号：TU528文献标识码： A 文章编号：
一般来说，单向板是在一个方向上弯曲的或者是弯曲主要在一个方向上的，双向板是指同时在两个方向产生弯曲的并且每一个方向弯曲的板都不能被忽略掉。我们常用长宽比来区别单向板和双向板，一个四边都有支撑的长方形的板，如果它的长宽相差不大，且长宽比小于2时，一般被认为是双向板，如果长宽比大于2就是单向板，而单向板和双向板的计算模型也是不同的。
一、概述
我们来假设双向板的各向是同性的，并且板的厚度δ远远小于平面的尺寸,如果它的挠度 f≤δ/5时，就可以按照弹性薄板中的小挠度理论进行计算。在通常的情况下，存在于梁板结构上，每一个区格都是由梁或者墙来支撑的，所以在刚度的大小上，板的刚度要小一些，因此可以把梁作为一个不动的支架，在计算分析板受力时竖直方向上的变形忽略不计。
在通常情况下，我们把板看做是一个整体，在它发生弯曲现象时，它无论在哪一点的挠度都是在两个方向相同的。如下图所示，
梁板受力图
在分析中，我们得到，如果跨长比n增大，那么在短跨的l1方向的弯矩M1也会增大，相反的是在长跨l2方向的弯矩M2将减小，需要引起我们的注意的是，双向板必须四边都有支撑的，当n=l1/l2≤2时，并不是区分双向的充分条件。严格来讲，当n=l2/l1 >2时，如果在它的四周都有作为支承用的板，我们仍把它看作是双向板，但当n超过一定的数值范围时，如果它的全部荷载或弯矩都是由短跨方向来支承，那么这样我们就可以假设它为单向板。在混凝土结构双向板与单向板的分界限问题上面，我们需要进行进一步的详细研究。
二、对混凝土结构的单相板与双向板按弹性理论区分
从上面的受力图可以看出，四边的简支矩形板在竖直方向上均匀分布的载荷为q1，我们设它在长跨、短跨方向的跨度分别为l2, l1，下面我们将对长跨短跨方向上的载荷q的传递情况进行研究。
我们先假设矩形板的形心点A处的宽度为1，先取相互垂直的两个板带，分别设长跨方向的载荷为q2 ，短跨方向传递的载荷为q1，可以得出载荷q=q1 + q2。按照弹性理论的原理，我们把相邻板带看作是简支梁，忽略她的影响，那么A点挠度相等的条件为
（1）
则q1/q2=（l1/l2）4（2）
然后令q1=η1q，q2=η2q
（3）
其中设短跨、长跨方向上的载荷分布系数分别为η1、η2
据上式我们可以得出，该板为单向板的条件为l2/l1为无穷，当我们忽略误差等其他条件，设载荷完全由短跨方向传递，那么此时在短跨方向上板带跨中弯矩M1=1/8ql12。
根据上面我们已经设定的载荷分配系数η1、η2，如果当l2/l1不为无穷时，设μ为在长跨方向板带跨中弯矩M2占总弯矩的比率。
（4）
（5）
令n= l2/l1，则有
（6）
通过对式(6)的分析可知，四边简支矩形板沿着长跨方向所传递的载荷以及板中的弯矩都是随着长短跨跨长比的增加而降低的，但弯矩降低的速率较之载荷为慢，且长跨方向单位宽度板带弯矩约为短跨的1/n2。
由式(3)和式(5)可求出当l2/l1 = 1.0 —4.0时，载荷分配系数η1、η2及长跨方向板带跨中弯矩占总弯矩的比率μ如下表1所示。
注意到按式(4)计算的长跨方向板带跨中弯矩M2由于未考虑相邻板带的影响及与之垂直的短跨方向板带的支承作用而使其偏大，因此实际的户值应较表1中的μ值为小。
由表1可知:如果l2/l1 = 2时，长跨方向的载荷分配系数η2 <6%，但长跨方向板带跨中弯矩占总弯矩的比率μ却高达23.6%，这表明当l2/l1=2时，仍具有双向板的传力性质;当 l2/l1=3时，长跨方向载荷分配系数η2=1.2%,但长跨方向板带跨中弯矩占总弯矩的比率户仅为10%左右(实际上应小于10%)，所占比例已经很小，此时，可认为己具有单向板的传力性质。因此，以l2/l1= 3作为单向板和双向板的分界界限似乎更为恰当。
在其他的文献介绍中，有的通过建立四边支承板的整体计算模型，但对弹性理论不进行任何简化的有限元方法，来分析其载荷和内力沿两个方向的传递和分配规律，也同样可以得出单向板和双向板按弹性理论分析时的合理分界界限为边长比为3的结论。
三、从双向板按塑性铰线法设计行单、双向板的区别
我们按照虚功原理的理论知识，在对建立的四边固支矩形双向板，按照塑性铰线法进行设计时，总弯矩设计值与载荷之间关系的基本公式为
(7)
其中式中，M1 , M2分别为短跨、长跨方向跨中总弯矩设计值，M1'、M1"、M2'、M2" 分别为短跨、长跨方向各支座总弯矩设计值；P为板面均布载荷设计值；
由于一个方程无法同时确定多个变量，为此需要在补充几个附加条件：
令
m1、m2分别为短跨、长跨方向单位长正塑性铰线的弯矩设计值；m1'、m1"、m2'、m2"分别为短跨、长跨方向各支座单位长负塑性铰线的弯矩设计值，α为长、短跨方向单位板宽跨中正弯矩之比；β为长、短跨方向单位板宽支座负弯矩与跨
中正弯矩之比；
在实际的混凝土应用中，我们在设计双向板时，必须先α、β的值进行选定，然后再将M1 , M2、M1'、M1"、M2'、M2"分别用n、α、β、m1进行表示，把结果代入上式(7)，从而求得各个弯矩的设计数值。
我们通过在设计过程中的经验可以认为，α=1/n2，β=1.5—2.5。但实际上，若设计时取
以上假设是按支座的弯矩以及在长跨方向的跨中为0的构造配置钢筋，在工程上讲，它的意义就在于它一般很少先屈服成塑性铰线，从长跨向钢筋的数量上来说，在后来形成的载荷中，如果短跨方向的塑性铰线的出齐结构所在的机动体系不遭到破坏，那么几乎全部都是由短跨方向上的混凝土板带来支承。也就是说，通过人为的让载荷在塑性阶段按单向板的传力途径传递到支座来配置钢筋。换一种说法，就是在按照塑性铰线法进行设计时，配筋的方式是判定板是否为单向板或者双向板的重要依据，如果配筋方式为单向板，那么就是单向板，如果按照双向板进行配筋，那么就为双向板。
综上所述，混凝土结构上单向板与双向板的区分界限其实对相对来说的，实际上，如果满足了承载力和挠度的在应用中的适用性的控制，就可以采用满足平衡和几何协调条件的任何方法对板类构件进行设计。
四、对于在计算应用中把双向板按单向板设计的一些建议
根据上述对混凝土结构的单向板与双向板区分界限的分析与研究可知，在理论上，如果满足条件2< l2/l1<3的双向板完全是可以按单向板进行设计的，但是在实际的生产应用中，它应该满足下面几个要求：
第一，支座构造的负筋要满足相关规范的要求，详细要求查阅《混凝土结构设计规范》第10.1.6，10.1.7条。
第二，板底分布筋的配置必須在现有的程度上给予加大，不能再按照《混凝土结构设计规范》第10.1.8条的要求进行配置，在论述这方面内容时，一些文献中对于面积大于等于短跨方向受力筋面积的35%的进行了详细介绍，同时也对可能产生的问题和现象进行了叙述，主要问题就是在长跨方向出现裂缝过宽的问题。
第三，要想在正常使用时承载能力、挠度以及裂缝控制得到保证，混凝土结构中板厚必须要按照单向板的要求确定。
总结：通过本文对混凝土结构的单向板和双向板区分界限的详细分析，我们可以认为在按照弹性理论进行计算分析时，一般适合采用长短跨比为3作为区分单向板和双向板的界限，而且在论证时采取的方法比较整个过程比较简单，同时所应用的力学概念也比较清晰。本文在一定程度上补充了在《混凝土结构设计规范》中对混凝土单向板和双向板界限规定比较模糊的问。
参考文献
［1］施楚贤，杨伟军.配筋砌体砌体剪力墙受剪承载力及可靠度分析［J］.建筑结构.2001
［2］李传才，向贤华，张欣.混凝土结构单向板与双向板区分界限的研究.土木工程学报.2006, (3)
［3］向贤华.四边简支单向板与双向板区分界限的研究. 武汉:武汉大学出版社，2008
关键词：混凝土结构 单向板与双向板 界限区分
中图分类号：TU528文献标识码： A 文章编号：
一般来说，单向板是在一个方向上弯曲的或者是弯曲主要在一个方向上的，双向板是指同时在两个方向产生弯曲的并且每一个方向弯曲的板都不能被忽略掉。我们常用长宽比来区别单向板和双向板，一个四边都有支撑的长方形的板，如果它的长宽相差不大，且长宽比小于2时，一般被认为是双向板，如果长宽比大于2就是单向板，而单向板和双向板的计算模型也是不同的。
一、概述
我们来假设双向板的各向是同性的，并且板的厚度δ远远小于平面的尺寸,如果它的挠度 f≤δ/5时，就可以按照弹性薄板中的小挠度理论进行计算。在通常的情况下，存在于梁板结构上，每一个区格都是由梁或者墙来支撑的，所以在刚度的大小上，板的刚度要小一些，因此可以把梁作为一个不动的支架，在计算分析板受力时竖直方向上的变形忽略不计。
在通常情况下，我们把板看做是一个整体，在它发生弯曲现象时，它无论在哪一点的挠度都是在两个方向相同的。如下图所示，
梁板受力图
在分析中，我们得到，如果跨长比n增大，那么在短跨的l1方向的弯矩M1也会增大，相反的是在长跨l2方向的弯矩M2将减小，需要引起我们的注意的是，双向板必须四边都有支撑的，当n=l1/l2≤2时，并不是区分双向的充分条件。严格来讲，当n=l2/l1 >2时，如果在它的四周都有作为支承用的板，我们仍把它看作是双向板，但当n超过一定的数值范围时，如果它的全部荷载或弯矩都是由短跨方向来支承，那么这样我们就可以假设它为单向板。在混凝土结构双向板与单向板的分界限问题上面，我们需要进行进一步的详细研究。
二、对混凝土结构的单相板与双向板按弹性理论区分
从上面的受力图可以看出，四边的简支矩形板在竖直方向上均匀分布的载荷为q1，我们设它在长跨、短跨方向的跨度分别为l2, l1，下面我们将对长跨短跨方向上的载荷q的传递情况进行研究。
我们先假设矩形板的形心点A处的宽度为1，先取相互垂直的两个板带，分别设长跨方向的载荷为q2 ，短跨方向传递的载荷为q1，可以得出载荷q=q1 + q2。按照弹性理论的原理，我们把相邻板带看作是简支梁，忽略她的影响，那么A点挠度相等的条件为
（1）
则q1/q2=（l1/l2）4（2）
然后令q1=η1q，q2=η2q
（3）
其中设短跨、长跨方向上的载荷分布系数分别为η1、η2
据上式我们可以得出，该板为单向板的条件为l2/l1为无穷，当我们忽略误差等其他条件，设载荷完全由短跨方向传递，那么此时在短跨方向上板带跨中弯矩M1=1/8ql12。
根据上面我们已经设定的载荷分配系数η1、η2，如果当l2/l1不为无穷时，设μ为在长跨方向板带跨中弯矩M2占总弯矩的比率。
（4）
（5）
令n= l2/l1，则有
（6）
通过对式(6)的分析可知，四边简支矩形板沿着长跨方向所传递的载荷以及板中的弯矩都是随着长短跨跨长比的增加而降低的，但弯矩降低的速率较之载荷为慢，且长跨方向单位宽度板带弯矩约为短跨的1/n2。
由式(3)和式(5)可求出当l2/l1 = 1.0 —4.0时，载荷分配系数η1、η2及长跨方向板带跨中弯矩占总弯矩的比率μ如下表1所示。
注意到按式(4)计算的长跨方向板带跨中弯矩M2由于未考虑相邻板带的影响及与之垂直的短跨方向板带的支承作用而使其偏大，因此实际的户值应较表1中的μ值为小。
由表1可知:如果l2/l1 = 2时，长跨方向的载荷分配系数η2 <6%，但长跨方向板带跨中弯矩占总弯矩的比率μ却高达23.6%，这表明当l2/l1=2时，仍具有双向板的传力性质;当 l2/l1=3时，长跨方向载荷分配系数η2=1.2%,但长跨方向板带跨中弯矩占总弯矩的比率户仅为10%左右(实际上应小于10%)，所占比例已经很小，此时，可认为己具有单向板的传力性质。因此，以l2/l1= 3作为单向板和双向板的分界界限似乎更为恰当。
在其他的文献介绍中，有的通过建立四边支承板的整体计算模型，但对弹性理论不进行任何简化的有限元方法，来分析其载荷和内力沿两个方向的传递和分配规律，也同样可以得出单向板和双向板按弹性理论分析时的合理分界界限为边长比为3的结论。
三、从双向板按塑性铰线法设计行单、双向板的区别
我们按照虚功原理的理论知识，在对建立的四边固支矩形双向板，按照塑性铰线法进行设计时，总弯矩设计值与载荷之间关系的基本公式为
(7)
其中式中，M1 , M2分别为短跨、长跨方向跨中总弯矩设计值，M1'、M1"、M2'、M2" 分别为短跨、长跨方向各支座总弯矩设计值；P为板面均布载荷设计值；
由于一个方程无法同时确定多个变量，为此需要在补充几个附加条件：
令
m1、m2分别为短跨、长跨方向单位长正塑性铰线的弯矩设计值；m1'、m1"、m2'、m2"分别为短跨、长跨方向各支座单位长负塑性铰线的弯矩设计值，α为长、短跨方向单位板宽跨中正弯矩之比；β为长、短跨方向单位板宽支座负弯矩与跨
中正弯矩之比；
在实际的混凝土应用中，我们在设计双向板时，必须先α、β的值进行选定，然后再将M1 , M2、M1'、M1"、M2'、M2"分别用n、α、β、m1进行表示，把结果代入上式(7)，从而求得各个弯矩的设计数值。
我们通过在设计过程中的经验可以认为，α=1/n2，β=1.5—2.5。但实际上，若设计时取
以上假设是按支座的弯矩以及在长跨方向的跨中为0的构造配置钢筋，在工程上讲，它的意义就在于它一般很少先屈服成塑性铰线，从长跨向钢筋的数量上来说，在后来形成的载荷中，如果短跨方向的塑性铰线的出齐结构所在的机动体系不遭到破坏，那么几乎全部都是由短跨方向上的混凝土板带来支承。也就是说，通过人为的让载荷在塑性阶段按单向板的传力途径传递到支座来配置钢筋。换一种说法，就是在按照塑性铰线法进行设计时，配筋的方式是判定板是否为单向板或者双向板的重要依据，如果配筋方式为单向板，那么就是单向板，如果按照双向板进行配筋，那么就为双向板。
综上所述，混凝土结构上单向板与双向板的区分界限其实对相对来说的，实际上，如果满足了承载力和挠度的在应用中的适用性的控制，就可以采用满足平衡和几何协调条件的任何方法对板类构件进行设计。
四、对于在计算应用中把双向板按单向板设计的一些建议
根据上述对混凝土结构的单向板与双向板区分界限的分析与研究可知，在理论上，如果满足条件2< l2/l1<3的双向板完全是可以按单向板进行设计的，但是在实际的生产应用中，它应该满足下面几个要求：
第一，支座构造的负筋要满足相关规范的要求，详细要求查阅《混凝土结构设计规范》第10.1.6，10.1.7条。
第二，板底分布筋的配置必須在现有的程度上给予加大，不能再按照《混凝土结构设计规范》第10.1.8条的要求进行配置，在论述这方面内容时，一些文献中对于面积大于等于短跨方向受力筋面积的35%的进行了详细介绍，同时也对可能产生的问题和现象进行了叙述，主要问题就是在长跨方向出现裂缝过宽的问题。
第三，要想在正常使用时承载能力、挠度以及裂缝控制得到保证，混凝土结构中板厚必须要按照单向板的要求确定。
总结：通过本文对混凝土结构的单向板和双向板区分界限的详细分析，我们可以认为在按照弹性理论进行计算分析时，一般适合采用长短跨比为3作为区分单向板和双向板的界限，而且在论证时采取的方法比较整个过程比较简单，同时所应用的力学概念也比较清晰。本文在一定程度上补充了在《混凝土结构设计规范》中对混凝土单向板和双向板界限规定比较模糊的问。
参考文献
［1］施楚贤，杨伟军.配筋砌体砌体剪力墙受剪承载力及可靠度分析［J］.建筑结构.2001
［2］李传才，向贤华，张欣.混凝土结构单向板与双向板区分界限的研究.土木工程学报.2006, (3)
［3］向贤华.四边简支单向板与双向板区分界限的研究. 武汉:武汉大学出版社，2008