心理学研究表明，在概念形成的过程中，概念的各种肯定例证传递了最有利于概括的关键信息，概念的否定例证即反例则传递了最有利于辨别的信息。无疑，学生对概念的错误认识不能单纯依靠正面的示范和反复的练习得以纠正。正确、恰当地运用反例，常常能达到事半功倍的教学效果。汪明峰老师执教“奇妙的图形密铺”一课时，巧妙运用反例，轻松揭示“密铺”的本质特征，让学生对“密铺”有了准确、深刻的理解。
　　【片段一】适时出示反例，揭示特征
　　师：同学们，小乌龟、小袋鼠、小狗和小猴听说学校操场南边要重新绿化，绿地中央有一块活动场地，它们争着要参与这块场地地砖的铺设工作。工人师傅们为了保证质量，先让它们分别试着铺了一些。小乌龟、小袋鼠、小狗和小猴分别是这样铺的。（出示图1~图4）
　　
　　 图1图2 图3图4
　　师：以你们的眼光来看，谁铺得好一些呢？
　　生：小猴铺得最好。小乌龟和小袋鼠铺的都有空隙，不太好。小狗铺的虽然没有空隙，但是有些地方叠起来啦，容易把人绊倒！小猴铺得最好，没有空隙，也没有叠起来。
　　师：是啊！工人师傅们最终也选择了让小猴来铺。为了使小猴铺得更好，他们又给小猴做了一些示范（如图5~图7）。这些地砖铺得有什么共同特点？
　　
　　图5图6 图7
　　生：每一块砖都紧挨着，既没有空隙、也不重叠。
　　师：像这样把一些图形既无空隙、又不重叠地铺在平面上，这种铺法就叫做密铺。
　　【赏析】在教学中，汪老师适时地引入3幅密铺的反例图形，引导学生对正例与反例进行对比，让学生在细心辨析中发现密铺的本质特征——既无空隙、又不重叠地铺在平面上。试想：如果老师首先出示密铺的3幅图（图5~图7），试图引导学生观察、讨论，概括图形密铺的特点，学生似乎并不容易发现三幅图的共同特征，也就难以揭示密铺的特点。不难发现，在汪老师的教学片段中，正是有了反例的对比与衬托，学生才如此轻松、准确地发现了图形密铺的特点，学生分析问题和解决问题的能力也得到了训练和发展。
　　【片段二】自主修正反例，深化认识
　　师：这3幅图形是密铺吗（出示图8~图10）？为什么？
　　
　　图8 图9 图10
　　生1：图8不是密铺，因为它有空隙。
　　生2：图9不是密铺，因为它有重叠。
　　生3：图10不是密铺，因为它也有空隙。
　　师：有办法让这3幅图形变成密铺吗？
　　生：拖动鼠标，将图8和图9分别改变为如下图形（图11~图12）。而图10无论如何都无法改为密铺。
　　
　　图11图12
　　【赏析】在数学教学过程中，学生产生错误是在所难免的。与其等错误发生后再去纠正，不如运用反例“防患于未然”。上述教学片段中，汪老师在学生初步认识密铺后，及时引导学生判断三幅图形是否是密铺并修正反例。正是因为有了对反例的修正，学生对密铺的认识才得到强化和巩固。而圆无法进行密铺的特征也在反例修正的过程中自然而然为学生们所了解和掌握，学生对密铺的认识逐步走向深入。
　　【片段三】自主构造反例，完善认知
　　师：刚才都是老师举例让大家判断、修正。那么，你们自己能利用卡片先摆出一个不是密铺图形的例子然后再修正吗（指名3个学生在磁性黑板上分别摆出不是密铺的图形，如图13~图15）？
　　
　　图13图14 图15
　　生1：第一幅图有缝隙，第二幅图重叠了，它们都不是密铺。
　　生2：第三幅图既有缝隙又有重叠，当然不是密铺。实际上，不是密铺的图形也就是有缝隙、有重叠、既有缝隙又有重叠这3种情况，而剩下的一类既没缝隙又不重叠的铺法就是密铺。
　　【赏析】在数学教学中，并不一定都是由教师提供反例让学生辨析，有时候让学生自己构造反例，不仅有利于学生理解所学知识，更利于学生完善认知结构。上述教学片段中，当学生对图形密铺有了较深刻的认知后，汪老师让学生自主构造反例并加以修正。这样，学生在自构反例和修正中，进一步认识图形密铺的本质属性，不断总结深化密铺知识，学生对图形密铺的认识更为深刻。
　　正如美国数学家B.R.盖尔鲍姆和J.M.H.奥姆斯特德指出：“冒着过于简单化的风险，我们可以说数学由两大类（证明与反例）组成，而数学发现也是朝着两个主要目标：提出证明与构造反例。”因此，在数学教学中，教师要善于运用反例，让学生在正反对比、修正反例、自构反例活动中，积极进行分析、比较、抽象、概括等一系列思维活动，不仅让学生对所学知识的理解更为深刻，也促进学生思维能力的发展。（作者单位：江苏省滨海县实验小学）
　　（插图/泽忠）