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前言
关于股票价格收益率的分布问题在国外是很流行的研究课题，早在二十世纪六十年代，就有不少西方学者开始着手研究股票收益的分布问题，通过多年的研究，对成熟市场收益率的分布特征有了比较多的认识和共识，其主要结论是实际股票价格序列往往表现出非平稳性，因此为了消除由于经济增长和通货膨胀所引起的价格线性增长趋势，通常研究取其对数差分后的序列，即收益率序列。收益率序列通常表现出很好的平稳性，但大多数情况下并不服从正态分布，而是呈现出“尖峰厚尾”的特征（相对于正态分布而言）。
Beck模型是Tsallis统计的动态结构，Tsallis统计是基于Tsallis熵的最大化原理而得出的。研究表明，Beck模型能够很好地描述股票收益的特征，并且适用于VaR估计的实际应用中。波动性是金融市场中最重要的特征之一，直接与市场的不确定性有关，影响着企业和个人的投资行为。通常波动性用方差来描述和度量的，传统的经济计量模型往往假设方差是不变的，但真实的股票市场并非如此。本文选用香港恒生指数的日对数收益率作为研究的样本数据，发现股票市场的波动性很好地符合了Beck模型的假设条件，即比收益率在较长时间内震动，并且其倒数服从Gamma分布。因此，收益率服从Tsallis统计学中的q-Gaussian分布，当q趋向于1时，收益率就服从正态分布。
一、波动率慢震动性的证明
本文来分析β基于Beck模型的假设，即慢震动和服从Gamma分布，跟实际金融市场的数据是否相符合。在本文中，β是指波动性的倒数，如果波动性的倒数具有慢震动性，那也可以认为β也具有慢震动性。波动性的慢震动也就是说，在股票市场上，波动性序列相对于收益率序列来说具有长期记忆性。（T.Bollerslev等，1992）对于波动性长期记忆效应的开创性研究始于Taylor及Ding。Ding等人对S&P500指数收益率的开创性研究表明，尽管股票收益率序列的自相关性很弱，但其波动率序列却表现出很强的长记忆性，具有波动持久性（李红权，马超群，2005）。本文选用日对数收益率：μt=ln(Pt)-ln(Pt-1)作为研究样本。对于波动率，选取均值离差平方Xt=(ut-u)2来衡量。
从样本的序列自相关系数(ACF)与偏自相关系数（PACF）（估计到滞后200阶）来看：第一，收益率序列{ut}的自相关性较弱，最大自相关系数均为0.083；虽然相关系数的值均较小，但Q统计量仍较大，说明序列仍存在自相关结构。并且，序列相关图显示，样本序列前200阶自相关系数并未表现出季节性和周期性。第二，波动率序列{(ut-u)2}不仅具有显著的自相关与偏自相关结构，而且相关系数较大，最大相关系数均为0.125，说明序列具有显著的非线性相关性与ARCH效应；进一步分析可知，波动率序列在滞后74阶时才第一次出现负值，然而，收益率序列在第二阶就已经出现了负值，说明波动性相对于收益率来说，具有明显的长期记忆性。图1和图2分别为两者的自相关系列图。
图1 收益率的自相关系数
图2 波动率的自相关系数
二、波动率倒Gamma分布的证明
另一方面，β服从Gamma分布，可证明波动性是否服从倒Gamma分布。首先把近20年的收益率序列划分为多个窗宽为L的子区间，以此计算每个子区间的波动率Ti。
Ti=1L∑(i+1)Lk=iL+1(uk-u)2（4-4）
其中，u为个区间收益率的均值。从图4-5可以看出，波动率的自相关系数在20-60天内减少到接近于0，表明T的驰豫时间在几个月左右（1个月约为20个工作日），所以取L=40。总共有5263个收益率，为了方便计算，取前5240个数据，所以可划分为131个子区间。利用MATLAB计算出的各个区间的波动性Ti，再转化为βi=1/Ti。利用等距频率直方图的方法，来检验这131个波动率倒数是否服从Gamma分布。图3为波动率倒数的频数图。
图3
从图3可看出波动率倒数大致符合Gamma分布图。运用χ2统计量进一步的检验。
χ2=∑ki=1(ni-npi)2npi,（4-5）
其中，k为区间数，ni为每个小区间的样本数，pi是在假定βi=1/Ti服从Gamma分布的情况下，每个小区间的理论频率。可得出χ2=0.448，所以β服从Gamma分布，即波动性T服从倒Gamma分布。
三、结论
由以上证明可知，恒生指数的波动性满足Beck模型的两个假设条件，因此可用Beck模型来分析股票收益的分布函数。正如大家所知，金融市场的分布是非正态且厚尾的。作为Tsallis统计的动态结构，Beck模型最早被用于描述流体动力学中的震动问题，用于解释温度变动引起厚尾分布的原因。如果我们考虑价格变动和时间行为无关，那么，相较于被用于分布，Brownian运动更适用于市场数据的分析。所以，除了物理学和化学，Beck模型被成功地用于金融市场和其他研究中。（N.Kozuki M. Ausloos， 2003）
参考文献：
[1]M.Kozaki,A.-H.Satao,2008, Application of the Beck model to stock markets:Value-at-Risk and portfolio risk assessment, Physica A 387.
[44]T.Bollerslev, R. Chou, K. Kroner, 1992,ARCH modeling in finance: A review of the theory and empirical evidence, Econometrics 52.
[47]李红权，马超群.股票收益率与波动性长期记忆效应的实证研究.财经研究,2005（8）.
[40]N. Kozuki, N. Fuchikami, 2003, Dynamical model of financial markets: Fluctuating 'temperature' causes intermittent behavior of price changes,Physica A 329.
（作者单位：浙江工商大学统计学院）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
关于股票价格收益率的分布问题在国外是很流行的研究课题，早在二十世纪六十年代，就有不少西方学者开始着手研究股票收益的分布问题，通过多年的研究，对成熟市场收益率的分布特征有了比较多的认识和共识，其主要结论是实际股票价格序列往往表现出非平稳性，因此为了消除由于经济增长和通货膨胀所引起的价格线性增长趋势，通常研究取其对数差分后的序列，即收益率序列。收益率序列通常表现出很好的平稳性，但大多数情况下并不服从正态分布，而是呈现出“尖峰厚尾”的特征（相对于正态分布而言）。
Beck模型是Tsallis统计的动态结构，Tsallis统计是基于Tsallis熵的最大化原理而得出的。研究表明，Beck模型能够很好地描述股票收益的特征，并且适用于VaR估计的实际应用中。波动性是金融市场中最重要的特征之一，直接与市场的不确定性有关，影响着企业和个人的投资行为。通常波动性用方差来描述和度量的，传统的经济计量模型往往假设方差是不变的，但真实的股票市场并非如此。本文选用香港恒生指数的日对数收益率作为研究的样本数据，发现股票市场的波动性很好地符合了Beck模型的假设条件，即比收益率在较长时间内震动，并且其倒数服从Gamma分布。因此，收益率服从Tsallis统计学中的q-Gaussian分布，当q趋向于1时，收益率就服从正态分布。
一、波动率慢震动性的证明
本文来分析β基于Beck模型的假设，即慢震动和服从Gamma分布，跟实际金融市场的数据是否相符合。在本文中，β是指波动性的倒数，如果波动性的倒数具有慢震动性，那也可以认为β也具有慢震动性。波动性的慢震动也就是说，在股票市场上，波动性序列相对于收益率序列来说具有长期记忆性。（T.Bollerslev等，1992）对于波动性长期记忆效应的开创性研究始于Taylor及Ding。Ding等人对S&P500指数收益率的开创性研究表明，尽管股票收益率序列的自相关性很弱，但其波动率序列却表现出很强的长记忆性，具有波动持久性（李红权，马超群，2005）。本文选用日对数收益率：μt=ln(Pt)-ln(Pt-1)作为研究样本。对于波动率，选取均值离差平方Xt=(ut-u)2来衡量。
从样本的序列自相关系数(ACF)与偏自相关系数（PACF）（估计到滞后200阶）来看：第一，收益率序列{ut}的自相关性较弱，最大自相关系数均为0.083；虽然相关系数的值均较小，但Q统计量仍较大，说明序列仍存在自相关结构。并且，序列相关图显示，样本序列前200阶自相关系数并未表现出季节性和周期性。第二，波动率序列{(ut-u)2}不仅具有显著的自相关与偏自相关结构，而且相关系数较大，最大相关系数均为0.125，说明序列具有显著的非线性相关性与ARCH效应；进一步分析可知，波动率序列在滞后74阶时才第一次出现负值，然而，收益率序列在第二阶就已经出现了负值，说明波动性相对于收益率来说，具有明显的长期记忆性。图1和图2分别为两者的自相关系列图。
图1 收益率的自相关系数
图2 波动率的自相关系数
二、波动率倒Gamma分布的证明
另一方面，β服从Gamma分布，可证明波动性是否服从倒Gamma分布。首先把近20年的收益率序列划分为多个窗宽为L的子区间，以此计算每个子区间的波动率Ti。
Ti=1L∑(i+1)Lk=iL+1(uk-u)2（4-4）
其中，u为个区间收益率的均值。从图4-5可以看出，波动率的自相关系数在20-60天内减少到接近于0，表明T的驰豫时间在几个月左右（1个月约为20个工作日），所以取L=40。总共有5263个收益率，为了方便计算，取前5240个数据，所以可划分为131个子区间。利用MATLAB计算出的各个区间的波动性Ti，再转化为βi=1/Ti。利用等距频率直方图的方法，来检验这131个波动率倒数是否服从Gamma分布。图3为波动率倒数的频数图。
图3
从图3可看出波动率倒数大致符合Gamma分布图。运用χ2统计量进一步的检验。
χ2=∑ki=1(ni-npi)2npi,（4-5）
其中，k为区间数，ni为每个小区间的样本数，pi是在假定βi=1/Ti服从Gamma分布的情况下，每个小区间的理论频率。可得出χ2=0.448，所以β服从Gamma分布，即波动性T服从倒Gamma分布。
三、结论
由以上证明可知，恒生指数的波动性满足Beck模型的两个假设条件，因此可用Beck模型来分析股票收益的分布函数。正如大家所知，金融市场的分布是非正态且厚尾的。作为Tsallis统计的动态结构，Beck模型最早被用于描述流体动力学中的震动问题，用于解释温度变动引起厚尾分布的原因。如果我们考虑价格变动和时间行为无关，那么，相较于被用于分布，Brownian运动更适用于市场数据的分析。所以，除了物理学和化学，Beck模型被成功地用于金融市场和其他研究中。（N.Kozuki M. Ausloos， 2003）
参考文献：
[1]M.Kozaki,A.-H.Satao,2008, Application of the Beck model to stock markets:Value-at-Risk and portfolio risk assessment, Physica A 387.
[44]T.Bollerslev, R. Chou, K. Kroner, 1992,ARCH modeling in finance: A review of the theory and empirical evidence, Econometrics 52.
[47]李红权，马超群.股票收益率与波动性长期记忆效应的实证研究.财经研究,2005（8）.
[40]N. Kozuki, N. Fuchikami, 2003, Dynamical model of financial markets: Fluctuating 'temperature' causes intermittent behavior of price changes,Physica A 329.
（作者单位：浙江工商大学统计学院）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文