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数学开放性问题以其形式新颖、解法别致的特点逐渐成为高考的一类热点问题。这类题型主要有条件开放、结论开放、条件与结论同时开放，从应用看有规律性探索型和存在性探索型。对于这类题型，在解答时思维较灵活，有时要从条件探求结论，而且结论又不唯一；有时要从结论出发逆向探求条件，而且条件不唯一；有时要根据题意自己去探求条件和结论，而且两者都不是唯一的情形。此类问题的知识覆盖面较广，综合性强，需要先通过对问题进行观察、分析、比较、概括后方能得出结论，再对所得出的结论予以证明，难度大，要求高，有利于培养和考查学生的创新思维能力。
一、条件开放，结论确定题型
例1.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件______时，有A1C⊥B1D1。（注：填上一种你认为正确的条件即可，不必考虑所有可能的情形。）
分析：这是一道探索条件型且答案不唯一的开放题，需要执果索因，答案较多。此题主要考查四棱柱的性质、三垂线性质定理等，由于只要求填出使结论成立的充分条件，条件放得宽，难度不大。根据直四棱柱的性质，A1C⊥B1D1与AC⊥BD互为充要条件，故答案可以是AC⊥BD、底面四边形ABCD为正方形、底面四边形ABCD为菱形等之一即可。
点评：这类题型要求学生变换思维方向，有利于培养学生的逆向思维能力。
二、条件确定，结论开放题型
例2.若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是_____（只需写出一个可能的值）。
分析：这类题我们常以答案的多少去衡量题目开放度的大小。此题的实质是构造满足条件的四面体，它们的体积分别是 或 或 ，则所求结论为三个答案中任一个。
点评：这类题型要求我们根据条件去探索结论然后论证，有利于培养和考查学生的发散思维能力。
三、条件、结论同时开放的题型
例3.设α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥β。以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题______。
分析：这是一道结构新颖的开放型试题，它不仅在条件上开放，结论上开放，连答案也是开放的。它充分体现了“重基础、考能力”的命题思想，充分体现了知识的内在联系，在知识网络的交汇点设计题目的思想。根据题意，此题可作四个命题，其中至少有一个是正确的，只须选一个正确命题。从给出的三个论断中可得这是一道面面、线面、线线垂直的命题，再联想二面角的平面角与两个平面垂直的直线所成角的关系，易证“m⊥n，n⊥β，m⊥βα⊥β”以及“α⊥β，n⊥β，m⊥βm⊥n”等正确，填其中一个结论即可。
点评：此题不仅要求我们有较好的空间想象能力和逻辑思维能力，还要掌握发散思维方法和对陌生情景有较强的适应能力。解答该题需要考生去思考、分析、尝试、猜想、论证，极具挑战性、探索性。
四、规律性探索型
例4.已知函数f（x）= ，那么f（2）+f（ ）+f（3）+f（ ）+f（4）+f（ ）+…+f（n）+f（ ）=_____（n∈N+）。
分析：通过观察函数可发现规律f（x）+f（ ）=1，于是得结论为n-1。
点评：本题要求学生在陌生的问题情境中能自主探索，提取相关信息，获得规律，从而解决问题。
五、存在性探索型
例5.已知函数g（x）=-x2+8x，h（x）=6lnx+m，x>0。问：是否存在实数m，使得y=g（x）的图象与y=h（x）的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。
解析：函数y=g（x）的图象与y=h（x）的图象有且只有三个不同的交点，即函数f（x）=h（x）-g（x）的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。
∵f（x）=x2-8x+6lnx+m
∴f1（x）=2x-8+ = （x>0）。
当x∈（0，1）时，f`（x）>0，f（x）为增函数；
当x∈（0，3）时，f`（x）<0，f（x）为减函数；
当x∈（0，+∞）时，f`（x）>0，f（x）为增函数。
∴f（x）极大值=f（1）=m-7，f（x）极小值=f（3）=m+6ln3-15。
∵当x充分接近0时，f（x）<0；当x充分大时，f（x）>0。
∴要使f（x）的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点，必须且只须f（x）极大值=m-7>0，f（x）极小值=m+6ln3-15<0，即7 所以存在实数m，使得y=g（x）的图象与y=h（x）的图象有且只有三个不同的交点，其中m的取值范围为（7，15-6ln3）。
点评：“存在”就是有，证明有或者可以找出一个也行。“不存在”就是没有，找不到。如果存在，找出一个来；如果不存在，需说明理由。这类问题常用“肯定顺推”。
开放探索性问题的解法无固定的模式可循，在解这类问题时，必须通过分析判断、演绎推理、联想转化、尝试探索、猜想验证等多种思维方法去寻求解题的途径。它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。因此我们在复习中要从提高创新能力、对命题的推广能力、空间想象能力出发，多做一些开放性题目，在探索完成的过程中培养深思的习惯，给自己一个进一步创新、研究的空间，从而更好地发挥创造意识、联想能力、深思习惯和扎实的基础知识。
一、条件开放，结论确定题型
例1.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件______时，有A1C⊥B1D1。（注：填上一种你认为正确的条件即可，不必考虑所有可能的情形。）
分析：这是一道探索条件型且答案不唯一的开放题，需要执果索因，答案较多。此题主要考查四棱柱的性质、三垂线性质定理等，由于只要求填出使结论成立的充分条件，条件放得宽，难度不大。根据直四棱柱的性质，A1C⊥B1D1与AC⊥BD互为充要条件，故答案可以是AC⊥BD、底面四边形ABCD为正方形、底面四边形ABCD为菱形等之一即可。
点评：这类题型要求学生变换思维方向，有利于培养学生的逆向思维能力。
二、条件确定，结论开放题型
例2.若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是_____（只需写出一个可能的值）。
分析：这类题我们常以答案的多少去衡量题目开放度的大小。此题的实质是构造满足条件的四面体，它们的体积分别是 或 或 ，则所求结论为三个答案中任一个。
点评：这类题型要求我们根据条件去探索结论然后论证，有利于培养和考查学生的发散思维能力。
三、条件、结论同时开放的题型
例3.设α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥β。以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题______。
分析：这是一道结构新颖的开放型试题，它不仅在条件上开放，结论上开放，连答案也是开放的。它充分体现了“重基础、考能力”的命题思想，充分体现了知识的内在联系，在知识网络的交汇点设计题目的思想。根据题意，此题可作四个命题，其中至少有一个是正确的，只须选一个正确命题。从给出的三个论断中可得这是一道面面、线面、线线垂直的命题，再联想二面角的平面角与两个平面垂直的直线所成角的关系，易证“m⊥n，n⊥β，m⊥βα⊥β”以及“α⊥β，n⊥β，m⊥βm⊥n”等正确，填其中一个结论即可。
点评：此题不仅要求我们有较好的空间想象能力和逻辑思维能力，还要掌握发散思维方法和对陌生情景有较强的适应能力。解答该题需要考生去思考、分析、尝试、猜想、论证，极具挑战性、探索性。
四、规律性探索型
例4.已知函数f（x）= ，那么f（2）+f（ ）+f（3）+f（ ）+f（4）+f（ ）+…+f（n）+f（ ）=_____（n∈N+）。
分析：通过观察函数可发现规律f（x）+f（ ）=1，于是得结论为n-1。
点评：本题要求学生在陌生的问题情境中能自主探索，提取相关信息，获得规律，从而解决问题。
五、存在性探索型
例5.已知函数g（x）=-x2+8x，h（x）=6lnx+m，x>0。问：是否存在实数m，使得y=g（x）的图象与y=h（x）的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。
解析：函数y=g（x）的图象与y=h（x）的图象有且只有三个不同的交点，即函数f（x）=h（x）-g（x）的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。
∵f（x）=x2-8x+6lnx+m
∴f1（x）=2x-8+ = （x>0）。
当x∈（0，1）时，f`（x）>0，f（x）为增函数；
当x∈（0，3）时，f`（x）<0，f（x）为减函数；
当x∈（0，+∞）时，f`（x）>0，f（x）为增函数。
∴f（x）极大值=f（1）=m-7，f（x）极小值=f（3）=m+6ln3-15。
∵当x充分接近0时，f（x）<0；当x充分大时，f（x）>0。
∴要使f（x）的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点，必须且只须f（x）极大值=m-7>0，f（x）极小值=m+6ln3-15<0，即7
点评：“存在”就是有，证明有或者可以找出一个也行。“不存在”就是没有，找不到。如果存在，找出一个来；如果不存在，需说明理由。这类问题常用“肯定顺推”。
开放探索性问题的解法无固定的模式可循，在解这类问题时，必须通过分析判断、演绎推理、联想转化、尝试探索、猜想验证等多种思维方法去寻求解题的途径。它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。因此我们在复习中要从提高创新能力、对命题的推广能力、空间想象能力出发，多做一些开放性题目，在探索完成的过程中培养深思的习惯，给自己一个进一步创新、研究的空间，从而更好地发挥创造意识、联想能力、深思习惯和扎实的基础知识。