【摘要】在初中教材中，对二次函数作了较详细的研究，由于初中学生基础薄弱，又受其接受能力的限制，这部份内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解。进入高中以后，尤其是高三复习阶段，要对他们的基本概念和基本性质，灵活应用，对二次函数还需再深入学习。
　　【关键词】二次函数；高中数学；运用
　　
　　Quadratic function of mathematics in high school，learning to use
　　Gao Yinggui
　　【Abstract】In junior high school textbooks，made a quadratic function of a more detailed study，due to the weak basis of the junior high school students，but also its ability to accept restrictions on the content of this part of the learning is more mechanical，in essence，it is difficult to understand. After entering high school，especially the third phase of the review，it is necessary for them to the basic concepts and fundamental nature of the flexible application of quadratic function of the need to further study.
　　【Key words】Quadratic function；High school math；Use
　　
　　在初中教材中，对二次函数作了较详细的研究，由于初中学生基础薄弱，又受其接受能力的限制，这部份内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解。进入高中以后，尤其是高三复习阶段，要对他们的基本概念和基本性质(图象以及单调性、奇偶性、有界性)灵活应用，对二次函数还需再深入学习。
　　
　　1.进一步深入理解函数概念
　　
　　初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A(定义域)到集合B(值域)上的映射f：A→B，使得集合B中的元素y=ax²+bx+c(a≠0)与集合A的元素x对应，记为f(x)= ax²+ bx+c(a≠0)这里ax²+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素x在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：
　　类型I：已知f(x)= 2x²+x+2，求f(x+1)
　　这里不能把f(x+1)理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。
　　类型Ⅱ：设f(x+1)=x²-4x+1，求f(x)
　　这个问题理解为，已知对应法则f下，定义域中的元素x+1的象是x²-4x+1，求定义域中元素x的象，其本质是求对应法则。
　　一般有两种方法：
　　(1)把所给表达式表示成x+1的多项式。
　　f(x+1)=x²-4x+1=(x+1)²-6(x+1)+6，再用x代x+1得f(x)=x²-6x+6
　　(2) 变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。
　　令t=x+1，则x=t-1 ∴(t)=(t-1)²-4(t-1)+1=t²-6t+6从而f(x)= x²-6x+6
　　2.二次函数的单调性，最值与图象
　　在高中阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax²+bx+c在区间(-∞，-b2a ]及[-b2a，+∞]上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。
　　类型Ⅲ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。
　　(1)y=x²+2|x-1|-1
　　(2)y=|x²-1|
　　(3)= x²+2|x|-1
　　这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。
　　类型Ⅳ设f(x)=x²-2x-1在区间[t，t+1]上的最小值是g(t)。
　　求：g(t)并画出 y=g(t)的图象
　　解：f(x)=x²-2x-1=(x-1)²-2，在x=1时取最小值-2
　　当1∈[t，t+1]即0≤t≤1，g(t)=-2
　　当t>1时，g(t)=f(t)=t²-2t-1
　　当t<0时，g(t)=f(t+1)=t²-2
　　g(t)=t²-2，(t<0)
　　-2，(0≤t≤1)
　　t²-2t-1，(t>1)
　　首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习。
　　如：y=3x²-5x+6(-3≤x≤-1)，求该函数的值域。
　　3.二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维
　　类型Ⅴ：设二次函数f(x)=ax²+bx+c(a>0)方程?(x)-x=0的两个根x₁，x₂满足012<1a。
　　(Ⅰ)当X∈(0，x₁)时，证明X<f(x)1。
　　(Ⅱ)设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称，证明x0　　解题思路：
　　本题要证明的是x<f(x)，f(x)1和x02+(b-1)x+1=0，它的两根为x₁，x₂，可得到x₁，x₂与a.b.c之间的关系式，因此解题思路明显有三条①图象法②利用一元二次方程根与系数关系③利用一元二次方程的求根公式，辅之以不等式的推导。现以思路②为例解决这道题：
　　(Ⅰ)先证明x<f(x)，令f(x)=f(x)-x，因为x₁，x₂是方程f(x)-x=0的根，f(x)=ax²+bx+c，所以能f(x)=a(x-x₁)(x-x₂)
　　因为012，所以，当x∈(0，x₁)时，x-x₁<0，x-x₂<0得(x-x₁)(x-x₂)>0，又a>0，因此f(x) >0，即f(x)-x>0.至此，证得x<f(x)
　　根据韦达定理，有 x₁x₂=ca ∵ 012<1a，c=ax₁x₂1)，又c=f(0)，∴f(0)<f(x₁)，根据二次函数的性质，曲线y=f(x)是开口向上的抛物线，因此，函数y=f(x)在闭区间[0，x₁]上的最大值在边界点x=0或x=x₁处达到，而且不可能在区间的内部达到，由于f(x₁)>f(0)，所以当x∈(0，x₁)时f(x)<f(x₁)=x₁，
　　即x<f(x)1
　　(Ⅱ) ∵f(x)=ax²+bx+c=a(x+-b2a)²+(c-b4a)，(a>0)
　　函数f(x)的图象的对称轴为直线x=-b2a，且是唯一的一条对称轴，因此，依题意，得x0=-b2a，因为x₁，x₂是二次方程ax²+(b-1)x+c=0的根，根据违达定理得，x₁+x₂=-b-1a，∵x₂-1a<0，
　　∴x0=-b2a=12(x₁+x₂-1a)　　二次函数，它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。
　　二次函数的内容涉及很广，本文只讨论至此，希望各位同仁在高中数学教学中也多关注这方面知识，使我们对它的研究更深入。
　　收稿日期：2008-10-20
　　
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