研读了《中学数学教学参考》2013年第3期的《浅谈抽象函数问题的一种切入思路》，笔者很有收获。经过再次思考，发现还有一种切入思路，先看下面一道习题。
　　题目：已知[f（x）]是定义在[（0，+∞）]上的连续函数，且①[f（2）=1] ②对[?x∈（0，+∞），y∈R]，恒有[f（xy）=yf（x）]③当[x∈（0，1）]时，有[f（x）<0]
　　（Ⅰ）求证：[f（4）=2]
　　（Ⅱ）求证：[f（x）]在[（0，+∞）]上单调递增
　　分析：抽象函数是指没有给出确切解析式，只给出其满足的一些条件的函数。此类函数单调性的判断难度较大，需紧扣函数定义，对条件进行适当转化，便能解决问题。
　　思路1：（Ⅰ）略
　　（Ⅱ）任取[x1，x2∈（1，+∞）]且[x11）]，使得[x2=x1t]
　　[f（x1）-f（x2）=f（x1）-f（x1t）=f（x1）-tf（x1）=（1-t）f（x1）]
　　当[x>1]时，[x-1=1x<1] 所以当[x>1]时[f（x）=-f（x-1）>0]
　　又因为[t>1]所以[（1-t）f（x1）<0]
　　所以[f（x）]在[（1，+∞）]上单调递增
　　任取[x1，x2∈（0，1）] 且[x1　　[f（x1）-f（x2）=f（x1）-f（x1m）=f（x1）-mf（x1）=（1-m）f（x1）<0]
　　所以[f（x）]在[（0，1）]上单调递增
　　又因为[f（x）]是定义在[（0，+∞）]上的连续函数
　　所以[f（x）]在[（0，+∞）]上单调递增
　　思路2：令[g（x）=2x]
　　任取[x1，x2∈（0，+∞）]且[x1　　[g（t1）=x1，g（t2）=x2]，且[t1　　[f（x1）-f（x2）=f（2t1）-f（2t2）=t1f（2）-t2f（2）=（t1-t2）f（2）]
　　因为[t1　　所以[f（x）]在[（0，+∞）]上单调递增。
　　点评：思路[2]巧妙地构造了指数函数[g（x）=2x]，充分利用了条件①② ，避免了思路[1]的繁琐讨论。思路[2]也说明了条件③是多余的，其实由条件①②可以得到条件③。另外，思路[2]构造了指数函数[g（x）=2x]，因为题中的[f（x）]的“原型”可以是对数函数，那么，对于“原型”是其它函数类型的抽象函数，这种构造法是否可以呢？
　　变式1：已知[f（x）]是定义在[（0，+∞）]上的函数，若存在[a∈（1，+∞）]，满足[f（a）<0]，且对任意实数[x，y]都有[f（xy）=yf（x）]，试判断函数[f（x）]的单调性并说明理由。
　　解：任取[x1，x2∈（0，+∞）]，且[x1　　则存在[t1，t2]且[t1　　[f（x1）-f（x2）=f（at1）-f（at2）=t1f（a）-t2f（a）=（t1-t2）f（a）]
　　因为[t10] 即 [f（x1）>f（x2）]
　　所以[f（x）]在[（0，+∞）]上单调递减。
　　点评：本题是上题的一般化。
　　变式2：已知[f（x）]是定义在[（0，+∞）]上的函数，若存在[a∈（1，+∞）]，满足[f（a）>1]，且对任意实数[x，y]都有[f（xy）=f（x）y]，试判断函数[f（x）]的单调性并说明理由。
　　解：任取[x1，x2∈（0，+∞）]，且[x1　　则存在[t1，t2]使得[g（t1）=x1，g（t2）=x2]，且[t1　　[f（x1）-f（x2）=f（at1）-f（at2）=f（a）t1-f（a）t2]
　　因为[t11]，所以[f（a）t1-f（a）t2<0] 即 [f（x1）　　所以[f（x）]在[R]上单调递增
　　点评：对于[f（xy）=yf（x）]或[f（xy）=f（x）y]两种类型的抽象函数，其“原型”是对数函数和指数函数，可以构造指数函数，结合单调性定义进行求解。
　　变式3：已知[f（x）]是定义在[R]上的函数，若存在[a∈（0，+∞）]，满足[f（a）>0]，且对任意实数[x，k]都有[f（kx）=kf（x）]，试判断函数[f（x）]的单调性并说明理由。
　　解：任取[x1，x2∈R]，且[x1　　则存在[t1，t2]使得[g（t1）=x1，g（t2）=x2]，且[t1　　[f（x1）-f（x2）=f（at1）-f（at2）=t1f（a）-t2f（a）=（t1-t2）f（a）]
　　因为[t10]，所以[（t1-t2）f（a）<0] 即 [f（x1）　　所以[f（x）]在[R]上单调递增。
　　变式4：已知[f（x）]是定义在[R]上的函数，若存在[a∈（0，+∞）]，满足[f（a）>1]，且对任意实数[x，k]都有[f（kx）=f（x）k]，试判断函数[f（x）]的单调性并说明理由。
　　解：任取[x1，x2∈R]，且[x1　　则存在[t1，t2]使得[g（t1）=x1，g（t2）=x2]，且[t1　　[f（x1）-f（x2）=f（at1）-f（at2）=f（a）t1-f（a）t2]
　　因为[t11]，所以[f（a）t1-f（a）t2<0] 即 [f（x1）　　所以[f（x）]在[R]上单调递增。
　　点评：对于[f（kx）=kf（x）]或[f（kx）=f（x）k]两种类型的抽象函数，其“原型”是一次函数和幂函数，可以构造一次函数，结合单调性定义进行求解。
　　总之，抽象函数单调性问题，往往结合单调性定义，利用作差或作商进行求解。但在求解过程中，经常需对题设进行转化，根据函数“原型”构造函数是其中一种有效的转化方法。