抽象函数的推理问题是新课程的新增内容，它着重考察学生的逻辑思维能力和抽象概括能力.抽象函数问题由于没有给出解析式，故具有一定的抽象性，导致其性质隐而不露，常使学生感到“无法可依”.本文将结合实例就这类问题的解题规律及一般思路作一分类解析，以便能有效的提高学生的分析问题，解决问题的能力，提升学生的思维品质.抽象函数问题分类解析如下.
　　
　　1． 一次函数型
　　例1 已知函数f(x)对一切实数x、y∈
　　R都有f(x+y)=f(x)+f(y).且当x>0时，f(x)<0,又f(3)=-2.(1)试判断该函数的奇偶性；（2）试判断该函数在
　　R上的单调性；（3）在f(x)在［-12,12］的最大值和最小值.
　　分析：易知函数是以y=-
　　23x
　　为原型，由原型函数可猜：抽象函数f(x)为奇函数，且在实数集
　　R上单调递减，最大值最小值分别为 f(-12),f(12).
　　解：（1）令x=y=0,得f(0+0)=f(0)=f(0)+f(0)=2f(0),所以f(0)=0.令y=-x,得f(0)=f(x)+
　　f(-x)=0.所以f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.（2）任取x10,所以f(x2-x1)<0,所以f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0.所以f(x)在R
　　上是减函数.（3）f(x)在［-12，12］上是减函数，所以f(12)最小，f(-12)最大.又f(12)=f(6+6)=f(6)+f(6)=2f(6)=
　　2［f(3)+f(3)］=4f(3)=-8.所以f(-12)=-f(12)=8.f(x)在［-12，12］上的最大值是8，最小值是-8.
　　
　　2.指数函数型
　　以指数函数y=ax(a>0,a≠0)为原型，其特征为f(x+y)=f(x)f(y).
　　例2 设f(x)是定义在
　　R上的函数，且对于任意x,y∈
　　R,恒有f(x+y)=f(x)f(y),
　　且x>0,0　　(1)f(0)=1,且x<0时，f(x)>1;(2)f(x)是
　　R上的单调减函数.
　　
　　解：（1）在f(x+y)=f(x)f(y)中，取x>0,y=0,则f(x)=f(x)f(0).因为00,所以0　　>1.(2)设x1　　f(x1)f(x2)
　　=f(x1)f(-x2)=f(x1-x2)>1.由于f(x2)>0，所以f(x1)>f(x2),所以f(x)是
　　R上的减函数.
　　
　　
　　说明：（1）本题的原型是指数函数y=ax(0　　比指数函数更具有一般性，在解决此类问题时，可借助于指数函数的运算特点和相关方法类似地进行计算或证明.
　　（2）在第（2）问也可通过
　　f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=
　　f(x1-x2)f(x2)-f(x2)=f(x2)(f(x1-x2)-1)>0
　　来证明.
　　三、对数函数型以函数f(x)=logax(a>0,a≠1)为原型，其特征为f(xy)=f(x)+f(y).
　　
　　例3 已知函数f(x)满足：对于任意实数x,y,
　　f(xy)=f(x)+f(y).(1)求f(0),f(1),f(-1)的值；（2）求证f(yx)=f(y)-f(x);(3)判断函数f(x)的奇偶性.解：
　　（1）由f(0•0)=f(0)+f(0),即f(0)=2f(0),得f(0)=0.
　　f(1•1)=f(1)+f(1),即f(1)=2f(1),得f(1)=0.由f
　　［(-1)×(-1)］=f(-1)+f(-1),得f(1)=2f(-1),所以f(-1)=
　　12
　　f(1)=0.(2)由(1)知f(yx)+f(x)=
　　f(yx•x)=
　　f(y),所以f(yx)=
　　f(y)-f(x).由f(x•x)=
　　f(x)+f(x),得f(x2)=2f(x).(3)由所以f(x)=
　　12
　　f(x2),所以,对任意实数x,f(-x)=
　　12
　　f［(-x)2］
　　=
　　12
　　f(x2)=f(x),故f(x)是偶函数.