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我国伟大的教育家孔子曾说：“学而不思则罔，思而不学则殆。”思维与学习是思与学的两个方面，它们在发展思维、培养能力的过程中相互依赖、相互促进，缺一不可。学习是发展思维能力的基础，是创新的源泉。通过学习，使学生掌握“双基”，才有可能运用有关概念、公式、原理去进行逻辑推理、判断和论证。同时，思维能力又是提高思维效益的必要条件。思维能力的高低，直接影响学习的效果，没有一定的思维能力、创新能力，就不可能真正的领会知识，灵活运用知识，更谈不上运用所学的知识去解决实际问题。因此，发展思维、培养能力已成为当今教学改革的必然趋势，它无疑是中学教学改革的一项重要任务。而思维品质是思维能力的表现形式，所以在教学中要注重发展学生的思维能力，培养学生良好的思维品质。本文结合中学数学解题教学，就学生思维品质的培养谈谈笔者粗浅的看法:
一、在一题多解的训练中，培养学生思维的广阔性
数学的思维训练通常是以解题教学为中心进行开展的，因此在教学中必须发挥良好的效益。思维的广阔性是指思维发挥作用的广阔程度，在解题教学中，围绕课题题设结论之间的关系，引导学生进行类比，多角度、全方位思考，揭示沟通内在联系的纽带，有助于培养学生思维的广阔性。
例1、已知
且0 分析：如果考虑去根号，则相当复杂，发现等式右边中各项均为平方和的算术平方根，其条件中的两个未知数a、b∈［0,1］，广泛联系各种数学知识，可得到新奇的解法。
解法一：由所给代数式的结构特点联想到两点间的距离，建立直角坐标系(如图1)，取A（1、0）、B（1、1）、C（0、1），点M在正方形ABCO的内部，设M为（a、b），则y=｜OM｜+｜MA｜+｜MB｜+｜MC｜≥｜OB｜+｜AC｜=.即y有最小值 .
解法二：由结构联想到勾股定理，构造边长为1的正方形ABCD（如图2），点M在正方形内部，M到AD、AB的距离为a、b，则有y=MA＋MB＋MC＋MD=（MA＋MC）＋（MB＋MD）≥AC＋BD=，即y有最小值.
本题还有多种解法，恕不一一列举，但上面的解法新颖简便，如经常训练，对开阔学生思路、培养创新思维，提高思维品质大有益处。同时，在教学中为开阔学生思维，要多运用开放式教学，彻底改变学生被动学习的状态，积极地、主动地去探索，突破各种条条框框的束缚，有利于学生创新思维的发展。
二、在一题多变中，培养学生思维的深刻性
思维的深刻性是指思维的抽象程度和逻辑水平以及思维活动的深度，它集中地表现为能深刻地理解概念，善于深入地思考问题 ，能抓住事物的规律和实质，而在解题教学中，尤其是一题多解求变中，恰能引导学生透过现象看本质，进行深刻思维，从而达到培养思维深刻性的目的。解题时注意精选例题，既考虑涉及的知识面广，又兼顾一题多解、一题多变，培养学生的应变能力和综合运用能力,使学习达到预期效果。
例2、设△ABC中，AB=AC，CD是AB上的高线，P是BC上的一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，求证：PE+PF=CD。
本题常见的证明方法是：截长补短
方法一：截长法，如图3，在CD上截取DH=PE，连PH，只须证明
CD－PE=CH=PF即可，即证△PCF≌△CPH，由条件易知PC公共，再由已知条件易推四边形PEDH是矩形，从而知∠PHC=∠CFP=90°，∠HPC=∠B=∠ACB，从而证得△PCF≌△CPH，故PE+PF=CD。
方法二：补短法，如图4，延长EP到M，使PE+PM=CD,连CM，只须证明PM=PF即可。由条件易证四边形CDEM是矩形，故∠PMC=∠PFC，CM∥AB,从而∠PCM=∠B=∠ACB,又PC公共，故△PCF≌△PCM。∴PM=PF，因此PE+PF=CD。
在上面的方法中，由于截补的线段不同，因此证明的方法也不同，辅助线作法不同，证明方法也不同。在这众多方法中，还是面积证法最简单。方法如下：
方法三：如图5，连AP，由面积易知： ，
又AB=AC
∴，即CD=PE+PF
对于上面的命题，我们还可以引导学生进行拓展延伸：若P在BC（或CB）的延长线上，其它条件不变，结论是否成立？引导学生画图分析得出结论：PE－PF=CD(或PF－PE=CD)。然后再让学生与原题类比，得出证法。
通过上述证明与拓展，使学生对这类问题的内涵、特征和解答技法有了较深刻的理解，从中培养了学生思维的深刻性。
三、随机应变，不断探索，培养学生思维的灵活性
思维的灵活性是指学生在解决问题时能随机应变，触类旁通，不局限某一方面，能消除定势影响。再现性思维习惯在已知的旧路上徘徊，因而往往在单向思维中经历“山重水复”，灵活性思维流畅多变，易另辟蹊径，达到“柳暗花明”的景地。因此，在教学中要具体分析，灵活多变，加强思维灵活性的培养。
例3、解关于x的方程
分析：这是一道含有参数a的关于x的四次方程，用常规方法如因式分解、换元、待定系数法等解答较难，但观察到参数a的最高次数是2，反客为主，视a为主元，解关于a的一元二次方程。略解如下：
原方程可化为
由△=(3x-1)2≥0知，
從而得到x2+x-a=0或x2-2x+1-a=0 ，由此可求出x的值。
例4、已知实数a、b、c满足 a-5b=c， 求证：a2≥4bc
分析：已知等式是字母a、b、c的三元一次方程，又看到结论与一元二次方程的判别式形式相同，暗示着可转化为一元二次方程来考虑，把已知等式改写成，即知 是一元二次bx2-ax+c=0的根，接下去只须对b=0和b≠0两种情况进行讨论就可得出结论。
上面两题的解法突破常规性，打破了框条的束缚，体现了思维的灵活性。
四、勤于探索，培养学生思维的创造性
思维的创造性是指在完成思维活动的内容、途径和方法的自主程度，并通过独立思考创造出有一定新颖成份，表现为思维不循常规寻求变异、勇于创新。它又常以广泛的联想、引申及转换等数学思想方法为基础。爱因斯坦曾说：“从新的角度去思考同一个问题，需要有创造性的想象力。”因此，在教学中要积极引导学生广泛联想，对问题的结构特点进行创造性探索，多谋善变，寻找规律，这样有利于学生创造性思维的培养。
例5、证明：
分析：本题用数学归纳法证明较易，能否用其它方法证明？根据组合定义及性质易知：而
∴左边
例6、一个容器盛满纯药液100升，第一次倒出若干升，用水注满，第二次又倒出同样的升数，这时容器里剩下的纯药液是25升，问每次倒出多少升？
分析一：常规方法是设每次倒出的升数是x（0＜x＜100）升，第一次倒出的是x升纯药液，第二次倒出的是x升混合液，含纯药液
升.
依题意得方程100-x- =25，
解之得：x=50 ，x=150（不合题材意，舍去），答略。
分析二：转化为增长率问题考虑，设每次倒出的升数是x（0＜x＜100）升，则它的浓度每次下降的百分数为x﹪，根据题意有100-(1-x﹪)2=25
解之得：x=50 ，x=150（不合题材意，舍去），答略。
通过练习，学生不仅体会到解题方法美的愉悦，同时掌握了解决此类问题的方法实质和规律。如遇到形式特点相近的题，就会进行类比探索，使问题迎刃而解，这样既激发了学生的学习兴趣，又培养了学生思维的独创性。
五、独立思考，大胆猜想，培养学生思维的敏捷性
思维的敏捷性是指思维活动的速度和熟练程度，表现为思考问题敏锐快速，在解题方法的不断变换中，不仅要加强“双基”训练，还要注意培养学生的判断能力和成功的预见性，需要注意数学思维方法的启示，引导学生观察联想、分析综合、抽象概括，熟练掌握所学知识，并能融会贯通、触类旁通。
例7、在 中，a、b、c为三角形三边，且cn=an+bn(n>2,n∈N)试确定△ABC的形状。
略解如下：由条件易知c>a、b>a ，又 =
从而a2+b2-c2>0, 故cosC= >0,∴∠C是锐角，
∴△ABC为锐角三角形。
运用余弦定理判定三角形形状是一种基本方法，因此本题关键是将题中条件变形，从而确定cosC，即a2+b2-c2的符号。
例8、化简
解：原式
按常規方法去分母较繁，而本题解法能透过现象，找出隐含条件与完全平方公式的关系，两次运用乘法公式这一创新之举使得问题得以巧妙地解决。
六、在对比辨析中，培养学生思维的批判性
思维的批判性是指思维活动中善于严格地估计思维材料和精细地检查思维过程。它主要表现为自己的独立见解，敢于怀疑，有较强的辨析能力。在解题过程中要有针对性地抓住具有普遍性的典型性错误，有意识地设置“陷阱”，引导学生进行错解辨析，对比类似问题解法上的异同，提高学生的辨别能力、判断能力，从而达到培养思维批判性的目的。
例9、在直角三角形ABC中，两边的长分别是3cm、4cm，求三角形的第三边的长？
分析：学生在解答此类问题时往往将已知的两边看成是两直角边，从而求出第三边是5cm，忽视了4cm的边也可以作斜边。正确的答案应是5cm或cm。
例10、已知 、 是方程x2+5x+2=0的两根，求 的值。
学生解答时往往忽视了条件 + =5,=2中隐含的条件 <0
<0从而计算出来的结果是负数。正确解法如下：
由已知条件得 ，且 <0 ， <0
在教学中，通过上面的练习，不仅使学生从“陷阱”中跳出来，增强了刺激和情趣，更重要的是学生的思维更严谨，逐步养成用批判的态度来对待每一个问题的习惯，突破思维定势负迁移的影响，从而使学生思维的批判性得到充分发展。
总的说来，学生良好的思维品质的养成是多方面的，不能顾此失彼，它们是相互联系、相互制约、密不可分的，是一个有机的整体。思维的深刻性和广阔性分别是从纵横两个角度来表现思维的品质的，是基础；思维的灵活性和创新性是在这个基础上引申出来的，思维的批判性是在思维的深刻性的基础上引申的，思维的敏捷性又是以其它几个为前提发展的，同时又是其它几个品质的具体体现，它们的地位是平等的，没有主次之分。因此，要培养学生良好的思维品质，需要齐头并进，全面发展。
（作者单位：417100湖南省涟源市第一中学）
一、在一题多解的训练中，培养学生思维的广阔性
数学的思维训练通常是以解题教学为中心进行开展的，因此在教学中必须发挥良好的效益。思维的广阔性是指思维发挥作用的广阔程度，在解题教学中，围绕课题题设结论之间的关系，引导学生进行类比，多角度、全方位思考，揭示沟通内在联系的纽带，有助于培养学生思维的广阔性。
例1、已知
且0
解法一：由所给代数式的结构特点联想到两点间的距离，建立直角坐标系(如图1)，取A（1、0）、B（1、1）、C（0、1），点M在正方形ABCO的内部，设M为（a、b），则y=｜OM｜+｜MA｜+｜MB｜+｜MC｜≥｜OB｜+｜AC｜=.即y有最小值 .
解法二：由结构联想到勾股定理，构造边长为1的正方形ABCD（如图2），点M在正方形内部，M到AD、AB的距离为a、b，则有y=MA＋MB＋MC＋MD=（MA＋MC）＋（MB＋MD）≥AC＋BD=，即y有最小值.
本题还有多种解法，恕不一一列举，但上面的解法新颖简便，如经常训练，对开阔学生思路、培养创新思维，提高思维品质大有益处。同时，在教学中为开阔学生思维，要多运用开放式教学，彻底改变学生被动学习的状态，积极地、主动地去探索，突破各种条条框框的束缚，有利于学生创新思维的发展。
二、在一题多变中，培养学生思维的深刻性
思维的深刻性是指思维的抽象程度和逻辑水平以及思维活动的深度，它集中地表现为能深刻地理解概念，善于深入地思考问题 ，能抓住事物的规律和实质，而在解题教学中，尤其是一题多解求变中，恰能引导学生透过现象看本质，进行深刻思维，从而达到培养思维深刻性的目的。解题时注意精选例题，既考虑涉及的知识面广，又兼顾一题多解、一题多变，培养学生的应变能力和综合运用能力,使学习达到预期效果。
例2、设△ABC中，AB=AC，CD是AB上的高线，P是BC上的一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，求证：PE+PF=CD。
本题常见的证明方法是：截长补短
方法一：截长法，如图3，在CD上截取DH=PE，连PH，只须证明
CD－PE=CH=PF即可，即证△PCF≌△CPH，由条件易知PC公共，再由已知条件易推四边形PEDH是矩形，从而知∠PHC=∠CFP=90°，∠HPC=∠B=∠ACB，从而证得△PCF≌△CPH，故PE+PF=CD。
方法二：补短法，如图4，延长EP到M，使PE+PM=CD,连CM，只须证明PM=PF即可。由条件易证四边形CDEM是矩形，故∠PMC=∠PFC，CM∥AB,从而∠PCM=∠B=∠ACB,又PC公共，故△PCF≌△PCM。∴PM=PF，因此PE+PF=CD。
在上面的方法中，由于截补的线段不同，因此证明的方法也不同，辅助线作法不同，证明方法也不同。在这众多方法中，还是面积证法最简单。方法如下：
方法三：如图5，连AP，由面积易知： ，
又AB=AC
∴，即CD=PE+PF
对于上面的命题，我们还可以引导学生进行拓展延伸：若P在BC（或CB）的延长线上，其它条件不变，结论是否成立？引导学生画图分析得出结论：PE－PF=CD(或PF－PE=CD)。然后再让学生与原题类比，得出证法。
通过上述证明与拓展，使学生对这类问题的内涵、特征和解答技法有了较深刻的理解，从中培养了学生思维的深刻性。
三、随机应变，不断探索，培养学生思维的灵活性
思维的灵活性是指学生在解决问题时能随机应变，触类旁通，不局限某一方面，能消除定势影响。再现性思维习惯在已知的旧路上徘徊，因而往往在单向思维中经历“山重水复”，灵活性思维流畅多变，易另辟蹊径，达到“柳暗花明”的景地。因此，在教学中要具体分析，灵活多变，加强思维灵活性的培养。
例3、解关于x的方程
分析：这是一道含有参数a的关于x的四次方程，用常规方法如因式分解、换元、待定系数法等解答较难，但观察到参数a的最高次数是2，反客为主，视a为主元，解关于a的一元二次方程。略解如下：
原方程可化为
由△=(3x-1)2≥0知，
從而得到x2+x-a=0或x2-2x+1-a=0 ，由此可求出x的值。
例4、已知实数a、b、c满足 a-5b=c， 求证：a2≥4bc
分析：已知等式是字母a、b、c的三元一次方程，又看到结论与一元二次方程的判别式形式相同，暗示着可转化为一元二次方程来考虑，把已知等式改写成，即知 是一元二次bx2-ax+c=0的根，接下去只须对b=0和b≠0两种情况进行讨论就可得出结论。
上面两题的解法突破常规性，打破了框条的束缚，体现了思维的灵活性。
四、勤于探索，培养学生思维的创造性
思维的创造性是指在完成思维活动的内容、途径和方法的自主程度，并通过独立思考创造出有一定新颖成份，表现为思维不循常规寻求变异、勇于创新。它又常以广泛的联想、引申及转换等数学思想方法为基础。爱因斯坦曾说：“从新的角度去思考同一个问题，需要有创造性的想象力。”因此，在教学中要积极引导学生广泛联想，对问题的结构特点进行创造性探索，多谋善变，寻找规律，这样有利于学生创造性思维的培养。
例5、证明：
分析：本题用数学归纳法证明较易，能否用其它方法证明？根据组合定义及性质易知：而
∴左边
例6、一个容器盛满纯药液100升，第一次倒出若干升，用水注满，第二次又倒出同样的升数，这时容器里剩下的纯药液是25升，问每次倒出多少升？
分析一：常规方法是设每次倒出的升数是x（0＜x＜100）升，第一次倒出的是x升纯药液，第二次倒出的是x升混合液，含纯药液
升.
依题意得方程100-x- =25，
解之得：x=50 ，x=150（不合题材意，舍去），答略。
分析二：转化为增长率问题考虑，设每次倒出的升数是x（0＜x＜100）升，则它的浓度每次下降的百分数为x﹪，根据题意有100-(1-x﹪)2=25
解之得：x=50 ，x=150（不合题材意，舍去），答略。
通过练习，学生不仅体会到解题方法美的愉悦，同时掌握了解决此类问题的方法实质和规律。如遇到形式特点相近的题，就会进行类比探索，使问题迎刃而解，这样既激发了学生的学习兴趣，又培养了学生思维的独创性。
五、独立思考，大胆猜想，培养学生思维的敏捷性
思维的敏捷性是指思维活动的速度和熟练程度，表现为思考问题敏锐快速，在解题方法的不断变换中，不仅要加强“双基”训练，还要注意培养学生的判断能力和成功的预见性，需要注意数学思维方法的启示，引导学生观察联想、分析综合、抽象概括，熟练掌握所学知识，并能融会贯通、触类旁通。
例7、在 中，a、b、c为三角形三边，且cn=an+bn(n>2,n∈N)试确定△ABC的形状。
略解如下：由条件易知c>a、b>a ，又 =
从而a2+b2-c2>0, 故cosC= >0,∴∠C是锐角，
∴△ABC为锐角三角形。
运用余弦定理判定三角形形状是一种基本方法，因此本题关键是将题中条件变形，从而确定cosC，即a2+b2-c2的符号。
例8、化简
解：原式
按常規方法去分母较繁，而本题解法能透过现象，找出隐含条件与完全平方公式的关系，两次运用乘法公式这一创新之举使得问题得以巧妙地解决。
六、在对比辨析中，培养学生思维的批判性
思维的批判性是指思维活动中善于严格地估计思维材料和精细地检查思维过程。它主要表现为自己的独立见解，敢于怀疑，有较强的辨析能力。在解题过程中要有针对性地抓住具有普遍性的典型性错误，有意识地设置“陷阱”，引导学生进行错解辨析，对比类似问题解法上的异同，提高学生的辨别能力、判断能力，从而达到培养思维批判性的目的。
例9、在直角三角形ABC中，两边的长分别是3cm、4cm，求三角形的第三边的长？
分析：学生在解答此类问题时往往将已知的两边看成是两直角边，从而求出第三边是5cm，忽视了4cm的边也可以作斜边。正确的答案应是5cm或cm。
例10、已知 、 是方程x2+5x+2=0的两根，求 的值。
学生解答时往往忽视了条件 + =5,=2中隐含的条件 <0
<0从而计算出来的结果是负数。正确解法如下：
由已知条件得 ，且 <0 ， <0
在教学中，通过上面的练习，不仅使学生从“陷阱”中跳出来，增强了刺激和情趣，更重要的是学生的思维更严谨，逐步养成用批判的态度来对待每一个问题的习惯，突破思维定势负迁移的影响，从而使学生思维的批判性得到充分发展。
总的说来，学生良好的思维品质的养成是多方面的，不能顾此失彼，它们是相互联系、相互制约、密不可分的，是一个有机的整体。思维的深刻性和广阔性分别是从纵横两个角度来表现思维的品质的，是基础；思维的灵活性和创新性是在这个基础上引申出来的，思维的批判性是在思维的深刻性的基础上引申的，思维的敏捷性又是以其它几个为前提发展的，同时又是其它几个品质的具体体现，它们的地位是平等的，没有主次之分。因此，要培养学生良好的思维品质，需要齐头并进，全面发展。
（作者单位：417100湖南省涟源市第一中学）