论文部分内容阅读
归纳法是人类从特殊到一般的思维、推理方法，人们总是先认识个别的特殊事物，进而归纳总结出一般的规律，通过观察——归纳——论证，从而建立新的理论，这就是认识运动前进的过程。
运用归纳法，最终目的是为了前进，但是在归纳推理的过程中，往往需要我们作暂时的“后退”，以退求进，在我们遇到一些比较复杂、比较抽象的数学问题时，如果我们能够适时地“后退”，缩减问题的条件，降低难度，从一些简单的、具体的问题入手，去发现求解的方法和规律，把掌这一类问题的实质和解题关键，回过头来再利用归纳法步步推进，常常可以使问题顺利地得到解决，甚至可以更进一步找到更为一般的普通规律，这就是归纳推理中最常见的思维运动形式：“进”与“退”互相配合，相辅相成。
下面举几个例子说明这一点：
例1、集合A={1，2，3，…100}，试求集合A的所有子集之和。
分析：集合A共有2100个子集，无法一一把元素相加，为了找规律，可以“后退”到2个或3个元素集合中。
若A={1，2}则共有四个子集：Φ，{1}，{2}，{1，2}，我们发现元素1，2各在两个子集中出现，是不是一般规律呢？
再设A={1，2，3}，共有8个子集，Φ，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，元素1，2，3确定都只在四个子集中出现，看来每个元素都只能在半数子集中出现，为什么呢？仔细分析一下不难明白道理：包含元素i的子集共有 + + +…+ =299个，所以所有子集元素之和等于299（1 + 2 + 3 + … + 100）=5050×299。
再进一步可以总结出若集合A={a1，a2…an}，则所有子集元素之和为：2n-1（a1+ a2+…+an）
例2、己知正四面体高为h，求内切球，外接球的半径。
分析：空间问题可以向平面“退”。
平面几何中我们很熟悉，若正三角形高为h，则内切圆半径为r= ，外接圆半径R= 。可以采用这样的推理方法：
设正△ABC中心为0，连结AO、BO、CO把△ABC分割成底边为a高为h的小等腰三角形。
∵S△ABC=S△A0B +S△BOC+ S△COA
∴ ah = 3× ar
∴r= ，R=
同样，在正四面体A-BCD中，设每个面三角形的面积为S，O为内切球，外接球的公共球心，连接OA、OB、OC、OD，正四面体被分成四个底面积为S，高为r的小三棱锥。
∵ V正四面体=4×V三棱锥
∴ sh=4× sr，
∴ r= ，R=
看来从空间退到平面可以启发我们想到解题方法。
以上两例说明了“退”的战略思想，“退”有各种方式，可以从抽象向具体退，综合向单一退，多元向一元退，空间向平面退等等，总之，要退得有利，退到能看清问题的实质，“退”的目的是为了看清方向，更有把握地“进”，这实际上就是从具体到抽象，从特殊到一般的思维方法，也就是归纳法的核心。
例3、凸八边形A1，A2…A8每个顶点涂上红、黄、蓝三色之一，要求相邻的两个顶点颜色不同，问一共有多少种不同的涂色方法？
分析：设有f（n）种不同的涂色方法，显然f（3）= =6
因为求f（4）的难度不低于求f（n），我们直接研究f（n）的求法。因为顶点A1有三种不同的涂色方法，A2只有两种涂色方法，A3有两种涂色的方法，……，An-1有2种涂色方法，给An涂色时如果只考虑与An-1不同色的2种涂色法，但这里包含两种情形：
（1）An与A1不同色，即合要求。
（2）An与A1同色，这时我们把AnA1边缩成一个点，看作是给（n-1）边形涂色。
所以，3× =f（n）+f（n-1）
f（n）- 2× = -f（n-1）
f（n）- =-[ f（n-1）- ]
∴{f（n）- }构成公比为-1的等比数列
∵f（3）- =6–8=-2
∴f（n）- =（-2） =2
∴f（n）= +2
此题解为：f（8）= +2 =258
应用归纳推理，我们还可以推出凸边形的四色涂顶点，…… m色涂顶点问题的方法数，用 （n）表示凸边形m色涂顶点m方法数，用同样的推理可得：
（n） = +3
（n） = +（m-1）
以上几例都是运用归纳推理来解决问题，从中我们可以看出，“进”和“退”是归纳推理的两个方面，无论是“退”还是“进”，目的只有一个，为了找到解决问题的关键，为了找到规律性的东西，如果我们能够恰当地“退”，适时地“进”，灵活运用归纳推理，一定能使我们的推理能力不断得到提高。
______________
收稿日期：2014-03-22
运用归纳法，最终目的是为了前进，但是在归纳推理的过程中，往往需要我们作暂时的“后退”，以退求进，在我们遇到一些比较复杂、比较抽象的数学问题时，如果我们能够适时地“后退”，缩减问题的条件，降低难度，从一些简单的、具体的问题入手，去发现求解的方法和规律，把掌这一类问题的实质和解题关键，回过头来再利用归纳法步步推进，常常可以使问题顺利地得到解决，甚至可以更进一步找到更为一般的普通规律，这就是归纳推理中最常见的思维运动形式：“进”与“退”互相配合，相辅相成。
下面举几个例子说明这一点：
例1、集合A={1，2，3，…100}，试求集合A的所有子集之和。
分析：集合A共有2100个子集，无法一一把元素相加，为了找规律，可以“后退”到2个或3个元素集合中。
若A={1，2}则共有四个子集：Φ，{1}，{2}，{1，2}，我们发现元素1，2各在两个子集中出现，是不是一般规律呢？
再设A={1，2，3}，共有8个子集，Φ，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，元素1，2，3确定都只在四个子集中出现，看来每个元素都只能在半数子集中出现，为什么呢？仔细分析一下不难明白道理：包含元素i的子集共有 + + +…+ =299个，所以所有子集元素之和等于299（1 + 2 + 3 + … + 100）=5050×299。
再进一步可以总结出若集合A={a1，a2…an}，则所有子集元素之和为：2n-1（a1+ a2+…+an）
例2、己知正四面体高为h，求内切球，外接球的半径。
分析：空间问题可以向平面“退”。
平面几何中我们很熟悉，若正三角形高为h，则内切圆半径为r= ，外接圆半径R= 。可以采用这样的推理方法：
设正△ABC中心为0，连结AO、BO、CO把△ABC分割成底边为a高为h的小等腰三角形。
∵S△ABC=S△A0B +S△BOC+ S△COA
∴ ah = 3× ar
∴r= ，R=
同样，在正四面体A-BCD中，设每个面三角形的面积为S，O为内切球，外接球的公共球心，连接OA、OB、OC、OD，正四面体被分成四个底面积为S，高为r的小三棱锥。
∵ V正四面体=4×V三棱锥
∴ sh=4× sr，
∴ r= ，R=
看来从空间退到平面可以启发我们想到解题方法。
以上两例说明了“退”的战略思想，“退”有各种方式，可以从抽象向具体退，综合向单一退，多元向一元退，空间向平面退等等，总之，要退得有利，退到能看清问题的实质，“退”的目的是为了看清方向，更有把握地“进”，这实际上就是从具体到抽象，从特殊到一般的思维方法，也就是归纳法的核心。
例3、凸八边形A1，A2…A8每个顶点涂上红、黄、蓝三色之一，要求相邻的两个顶点颜色不同，问一共有多少种不同的涂色方法？
分析：设有f（n）种不同的涂色方法，显然f（3）= =6
因为求f（4）的难度不低于求f（n），我们直接研究f（n）的求法。因为顶点A1有三种不同的涂色方法，A2只有两种涂色方法，A3有两种涂色的方法，……，An-1有2种涂色方法，给An涂色时如果只考虑与An-1不同色的2种涂色法，但这里包含两种情形：
（1）An与A1不同色，即合要求。
（2）An与A1同色，这时我们把AnA1边缩成一个点，看作是给（n-1）边形涂色。
所以，3× =f（n）+f（n-1）
f（n）- 2× = -f（n-1）
f（n）- =-[ f（n-1）- ]
∴{f（n）- }构成公比为-1的等比数列
∵f（3）- =6–8=-2
∴f（n）- =（-2） =2
∴f（n）= +2
此题解为：f（8）= +2 =258
应用归纳推理，我们还可以推出凸边形的四色涂顶点，…… m色涂顶点问题的方法数，用 （n）表示凸边形m色涂顶点m方法数，用同样的推理可得：
（n） = +3
（n） = +（m-1）
以上几例都是运用归纳推理来解决问题，从中我们可以看出，“进”和“退”是归纳推理的两个方面，无论是“退”还是“进”，目的只有一个，为了找到解决问题的关键，为了找到规律性的东西，如果我们能够恰当地“退”，适时地“进”，灵活运用归纳推理，一定能使我们的推理能力不断得到提高。
______________
收稿日期：2014-03-22