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摘 要：数学是高中教学各学科中重要科目之一，并且一直被当做核心学科对待，是高考的重难点。解析几何又是数学中的重要组成部分，因此研究解析几何十分重要。本文着重探讨了解析几何中圆锥曲线的性质以及其推广应用，并采用数形结合的展开研究，为圆锥曲线教学工作的开展提供了准确参考。
关键词：圆锥曲线；性质；推广应用
一、圆锥曲线分类及定义分析
一般来说，数学中将圆锥曲线的定义概述为：平面上，一个定点到一条定直线的距离之比为常数（e）的动点的轨迹。并且根据常数e的取值将圆锥曲线分为椭圆（e<1）、双曲线（e>1）、抛物线（e=1）。
有关圆锥曲线的研究又来已久，古希腊的数学家就曾对圆锥曲线进行过系统研究。例如：阿波罗尼尝试采用平面切割圆锥的方法得到各种圆锥曲线，即，使用与锥轴垂直的平面截断圆锥可得到圆；将平面稍微倾斜可得到椭圆；平面倾斜幅度大一些即可得到双曲线；平面与圆锥母线平行时可得到抛物线。因此，阿波罗尼曾经将椭圆称为“亏曲线”、双曲线为“超曲线”，抛物线为“齐曲线”。
现代数学的发展使得人们对圆锥曲线的研究脱离了直观的几何图形，而是采用直角坐标系建立每个图形的数学方程，使得圆锥曲线真正实现数形结合。按照方程思想我们可以将圆锥曲线分为三大类，例如：到两个定点（F1、F2）的距离之和为定值（2a）的一条曲线轨迹为椭圆；到两个定点距离之差绝对值为定值（2a）的一条曲线轨迹为双曲线；定点与直线距离相等的点的轨迹为抛物线。对此我们可以将椭圆、双曲线、抛物线的方程分别表示为：
椭圆：（a>b>0）
双曲线：（a>0，b>0）
抛物线：y2=2px
总体来看，圆锥曲线主要包括圆、椭圆、双曲线以及抛物线四种，虽然这四种曲线有很多不同之处，但是仍然有很多相似之处。对此，教师在教学工作中要重点向学生讲解以上曲线的联系及不同点，从而使学生准确把握曲线的性质，进而为在实践中灵活运用圆锥曲线奠定基础。
二、圆锥曲线性质分析
1.根据方程判定焦点位置
第一，椭圆焦点位置。判断椭圆焦点位置应比较a2、b2若a2大则焦点在x轴上，若b2大则焦点在y轴上。例如：方程的焦点在y轴上，由此判断m取值范围。解：由于焦点在y轴，因此（2-m）>（m-1），所以可得m取值范围为（1，3/2）。
第二，双曲线焦点位置。双曲线焦点位置的判断需由x2、y2向系数的政府决定，系数为正则焦点位于该轴上。例如：方程的焦点在y轴上，由此判断m取值范围。解：由于焦点在y轴，因此（2-m）>0，所以可得m取值范围为（-，2）。
第三，抛物线的焦点位置。抛物线的焦点位置以及开口方向分别由一次项对应的坐标轴以及一次项系数的正负确定。
2.椭圆性质分析
根据前文指出的椭圆方程，我们通常将常数e称作为椭圆的离心率。并且椭圆性质还包括以下几个定理：
第一，假设椭圆右焦点弦为直线AB，准线与x轴交点为M，那么ABM<。
第二，假设过椭圆焦点的直线x椭圆交于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，那么我们可以将作为椭圆的弦，并且。
第三，假设一条直线过椭圆焦点，并且垂直于长轴，那么可将直线与椭圆两个焦点AB组成的直线 称作为通径，且。
3.双曲线的性质
根据双曲线的方程，我们同样可以将常数e作为双曲线的离心率，并将直线x=作为准线。并且双曲线同样包括几个定理：
第一，双曲线渐近线方程会随着焦点位置而发生变化，具体为：焦点在x轴，渐近线方程为y=；焦点在y轴，渐近线方程为y=。
第二，a=b时，双曲线又被称为等轴双曲线，渐近线方程为y=±x，标准方程为x2-y2=c，（c0）；离心率e=。
4.抛物线性质
根据抛物线的定义及图形可以发现抛物线定理有：
第一，抛物线通径是所有过抛物线焦点的弦中最短的一条。
第二，假设抛物线y=ax2（a>0）动弦为AB，长为m；若m≧，直线AB中点到x轴的最小距离为。若m<，直线AB中点到x轴的最小距离为。
第三，假设过抛物线y=2px（p>0）焦点的直线与抛物线交点A（x1，y1）B（x2，y2），直线OA与OB的斜率为k1、k2，直线l的倾斜角为a，那么可以得到：y1y2=-p2，x1x2=，k1k2=-4，，，，。
三、圆锥曲线推广应用
1.椭圆性质在计算圆柱形容器方面的应用
相比于其他形状的容器，圆柱形容器在不损失容量体积的情况下用到的制作材料最小，因此制作成本最低。然而，在容器高度及宽度均受到运输车辆限制的情况下，将容器横截面调整为椭圆形，便能达到节省材料，提高容器利用效率，保证容器稳定性与安全性的目的。
2.电力工程中的冷却塔建设应用到双曲线
冷却塔中部直径小于底部以确保蒸汽被尽可能多的抽入到塔内，避免蒸汽从底部溢出造成能源浪费；同时，塔上部直径小于塔底、大于塔中，可以确保顶部上升热流的流动速度有效降低，减少抽力，进而提高蒸汽回收率，避免蒸汽溢出。
3.桥梁建设中应用到抛物线
桥梁建设过程中经常要用到抛物线及其性质，例如：我国名桥赵州桥便是应用抛物线性质进行建造的，并且1400年后的今天，赵州桥依然坚固如初。这一事例充分表明了抛物线在社会生产生活中的应用。
四、结语
研究圆锥曲线性质及推广应用在提高高中解析几何教学水平，巩固学生对圆锥曲线知识的掌握以及培养学生理论与实践相结合能力等方面发挥着重要的作用。对此，文章在阐述圆锥曲线定义及分类的基础，对各类圆锥曲线的性质进行了详细探究，并对圆锥曲线性质在实际生产生活中的应用进行简单了解，从而为高中解析几何教学提供了参考。
参考文献：
[1]杨旭.圆锥曲线的性质及推广应用[J].科技资讯，2013，（25）：236-239.
作者简介：孙志伟（1982-），男，籍贯：辽宁朝阳，学士学位，中教二级教师，研究方向：数学教学。
关键词：圆锥曲线；性质；推广应用
一、圆锥曲线分类及定义分析
一般来说，数学中将圆锥曲线的定义概述为：平面上，一个定点到一条定直线的距离之比为常数（e）的动点的轨迹。并且根据常数e的取值将圆锥曲线分为椭圆（e<1）、双曲线（e>1）、抛物线（e=1）。
有关圆锥曲线的研究又来已久，古希腊的数学家就曾对圆锥曲线进行过系统研究。例如：阿波罗尼尝试采用平面切割圆锥的方法得到各种圆锥曲线，即，使用与锥轴垂直的平面截断圆锥可得到圆；将平面稍微倾斜可得到椭圆；平面倾斜幅度大一些即可得到双曲线；平面与圆锥母线平行时可得到抛物线。因此，阿波罗尼曾经将椭圆称为“亏曲线”、双曲线为“超曲线”，抛物线为“齐曲线”。
现代数学的发展使得人们对圆锥曲线的研究脱离了直观的几何图形，而是采用直角坐标系建立每个图形的数学方程，使得圆锥曲线真正实现数形结合。按照方程思想我们可以将圆锥曲线分为三大类，例如：到两个定点（F1、F2）的距离之和为定值（2a）的一条曲线轨迹为椭圆；到两个定点距离之差绝对值为定值（2a）的一条曲线轨迹为双曲线；定点与直线距离相等的点的轨迹为抛物线。对此我们可以将椭圆、双曲线、抛物线的方程分别表示为：
椭圆：（a>b>0）
双曲线：（a>0，b>0）
抛物线：y2=2px
总体来看，圆锥曲线主要包括圆、椭圆、双曲线以及抛物线四种，虽然这四种曲线有很多不同之处，但是仍然有很多相似之处。对此，教师在教学工作中要重点向学生讲解以上曲线的联系及不同点，从而使学生准确把握曲线的性质，进而为在实践中灵活运用圆锥曲线奠定基础。
二、圆锥曲线性质分析
1.根据方程判定焦点位置
第一，椭圆焦点位置。判断椭圆焦点位置应比较a2、b2若a2大则焦点在x轴上，若b2大则焦点在y轴上。例如：方程的焦点在y轴上，由此判断m取值范围。解：由于焦点在y轴，因此（2-m）>（m-1），所以可得m取值范围为（1，3/2）。
第二，双曲线焦点位置。双曲线焦点位置的判断需由x2、y2向系数的政府决定，系数为正则焦点位于该轴上。例如：方程的焦点在y轴上，由此判断m取值范围。解：由于焦点在y轴，因此（2-m）>0，所以可得m取值范围为（-，2）。
第三，抛物线的焦点位置。抛物线的焦点位置以及开口方向分别由一次项对应的坐标轴以及一次项系数的正负确定。
2.椭圆性质分析
根据前文指出的椭圆方程，我们通常将常数e称作为椭圆的离心率。并且椭圆性质还包括以下几个定理：
第一，假设椭圆右焦点弦为直线AB，准线与x轴交点为M，那么ABM<。
第二，假设过椭圆焦点的直线x椭圆交于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，那么我们可以将作为椭圆的弦，并且。
第三，假设一条直线过椭圆焦点，并且垂直于长轴，那么可将直线与椭圆两个焦点AB组成的直线 称作为通径，且。
3.双曲线的性质
根据双曲线的方程，我们同样可以将常数e作为双曲线的离心率，并将直线x=作为准线。并且双曲线同样包括几个定理：
第一，双曲线渐近线方程会随着焦点位置而发生变化，具体为：焦点在x轴，渐近线方程为y=；焦点在y轴，渐近线方程为y=。
第二，a=b时，双曲线又被称为等轴双曲线，渐近线方程为y=±x，标准方程为x2-y2=c，（c0）；离心率e=。
4.抛物线性质
根据抛物线的定义及图形可以发现抛物线定理有：
第一，抛物线通径是所有过抛物线焦点的弦中最短的一条。
第二，假设抛物线y=ax2（a>0）动弦为AB，长为m；若m≧，直线AB中点到x轴的最小距离为。若m<，直线AB中点到x轴的最小距离为。
第三，假设过抛物线y=2px（p>0）焦点的直线与抛物线交点A（x1，y1）B（x2，y2），直线OA与OB的斜率为k1、k2，直线l的倾斜角为a，那么可以得到：y1y2=-p2，x1x2=，k1k2=-4，，，，。
三、圆锥曲线推广应用
1.椭圆性质在计算圆柱形容器方面的应用
相比于其他形状的容器，圆柱形容器在不损失容量体积的情况下用到的制作材料最小，因此制作成本最低。然而，在容器高度及宽度均受到运输车辆限制的情况下，将容器横截面调整为椭圆形，便能达到节省材料，提高容器利用效率，保证容器稳定性与安全性的目的。
2.电力工程中的冷却塔建设应用到双曲线
冷却塔中部直径小于底部以确保蒸汽被尽可能多的抽入到塔内，避免蒸汽从底部溢出造成能源浪费；同时，塔上部直径小于塔底、大于塔中，可以确保顶部上升热流的流动速度有效降低，减少抽力，进而提高蒸汽回收率，避免蒸汽溢出。
3.桥梁建设中应用到抛物线
桥梁建设过程中经常要用到抛物线及其性质，例如：我国名桥赵州桥便是应用抛物线性质进行建造的，并且1400年后的今天，赵州桥依然坚固如初。这一事例充分表明了抛物线在社会生产生活中的应用。
四、结语
研究圆锥曲线性质及推广应用在提高高中解析几何教学水平，巩固学生对圆锥曲线知识的掌握以及培养学生理论与实践相结合能力等方面发挥着重要的作用。对此，文章在阐述圆锥曲线定义及分类的基础，对各类圆锥曲线的性质进行了详细探究，并对圆锥曲线性质在实际生产生活中的应用进行简单了解，从而为高中解析几何教学提供了参考。
参考文献：
[1]杨旭.圆锥曲线的性质及推广应用[J].科技资讯，2013，（25）：236-239.
作者简介：孙志伟（1982-），男，籍贯：辽宁朝阳，学士学位，中教二级教师，研究方向：数学教学。