“数学是锻炼思维的体操”，数学教学的目的是培养学生的思维能力，而学生思维能力的培养主要是在解决数学问题的过程中进行的。问题是数学的“心脏”，问题的设计要有趣味性，能够激发学生主动去思考、交流、讨论。
　　在初中数学中，几何知识是教学的重点和难点，很多学生对几何内容敬而远之。笔者分享两个几何问题设计的案例。
　　案例1：已知如图1，线段AB、CD相交于O，连接AD、CB，请写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系，并说明理由。
　　解答：解：在△AOD中，∠AOD=180°-∠A-∠D，
　　在△BOC中，∠BOC=180°-∠B -∠C，
　　∵∠AOD=∠BOC（对顶角相等），
　　∴180°-∠A -∠D=180°-∠B -∠C，
　　∴∠A+∠D=∠B+∠C；
　　如果把形如图1的图形称之为“对顶三角形”。那么在这一个简单的图形中，笔者循序渐进的设计了九个问题，现分享如下：
　　（1）仔细观察，在图2中“对顶三角形”有几个？
　　（2）在图2中，若∠D=46°，∠B=30°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，利用原题中的结论，试求∠P的度数。
　　（3）如果图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系？
　　（4）如图3所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=？
　　（5）如图4，若∠B=50°，∠D=32°，∠BAM=∠BAD，∠BCM=∠BCD，求∠M的度数。
　　（6）如图5，设∠B=x°，∠D=y°，∠BAM=∠BAD，∠BCM=∠BCD，用含n、x、y的代数式表示∠M的度数。
　　（7）如图6，点E在BA的延长线上，∠DAE的平分线和∠BCD的平分线交于点N，求∠ANC度数。
　　（8）如图7，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，∠DAE的平分线和∠DCF的平分线交于点P，请直接写出∠APC 的度数。
　　案例2：如图1，O是△ABC内一点，且BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB。
　　（1）若∠ABC=80°，∠ACB=60°，求∠BOC的度数。
　　（2）若∠A=40°，求∠BOC的度数。
　　（3）若∠A=α，用含α的代数式表示∠BOC。
　　分析：（1）根据角平分线的定义得到∠OBC+∠OCB的值，再利用三角形的内角和定理求出∠BOC的值；
　　（2）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理求出∠OBC+∠OCB的值，再利用三角形的内角和定理求出∠BOC的度数；
　　（3）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理求出∠OBC+∠OCB的值，再利用三角形的内角和定理求出
　　。
　　为拓宽、拓深学生的思维，巩固所学知识，此题可以有如下几种变式：
　　变式1：如图2，若BO，CO分别平分△ABC的两个外角，试探索∠BOC与∠ABC的数量关系。
　　分析：分别作∠ABC、∠ACB的平分线交于点G，这样就可以应用原题中第三问的结论了。证明如下：
　　∵BG、CG分别平分∠ABC、∠DBC
　　∠ABC+∠DBC=180°
　　∴∠GBO=90°
　　同理可得∠GCO=90°
　　∵∠GBO+∠GCO+∠G+∠O=360°
　　∴∠G+∠O=180°
　　由第三问结论可知：∠G=90°+（∠A/2）
　　∴∠O=180°-（90°+（∠A/2））
　　=90°-（∠A/2）
　　变式2：如图3，若BO，CO分别平分△ABC一个内角和一个外角，交于点O，你能探索出∠O与∠A之间的数量关系吗？试试看。
　　分析：和变式1一样，可以作∠ACB的平分线与∠ABC的平分线交于点H，也可以利用原题中的结论了。
　　将图1、2、3糅合到一个图上，此类题型就得到一个升华，可以找出∠1、∠2、∠3、∠4之间的相互关系等题型。
　　有趣的问题能激发学生积极思维，培养思维能力，优化课堂教学结构，提高课堂教学效率。
　　（作者单位：江苏省盐城市新洋实验学校）