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在数学解题过程中，由于基础知识不过关、基本方法不熟而致误的例子很多，又特别对那些条件、结论都非常相似的“孪生”题，“差之毫厘，谬之千里”。本文所举几个函数求参数取值范围的例题，把孪生般的两个问题并为一例，分析以对比形式出现的两个子问题，我们会发现每对“孪生”在本质上的差别解题思路明显不同。这是什么原因呢？通过对比，我们发现了问题的区别与联系；通过对比，我们揭示了问题的本质，寻求到了合理的方法。
一、定义域与值域
[例1]⑴已知函数f(x)=loga(mx2-6mx+m+8)(a＞0且a≠1)的定义域为R，求实数m的取值范围。
⑵已知函数f(x)=loga(mx2-6mx+m+8)(a＞0且a≠1)值域为R，求实数m的取值范围。
[分析]⑴要使函数f(x)=loga(mx2-6mx+m+8)＞0的定义域为R，则需h(x)=mx2-6mx+m+8＞0恒成立。
当m=0时，h(x)=8＞0恒成立，故m=0满足题意；
当m≠0时，h(x)=mx2-6mx+m+8＞0恒成立，则m＞0且△=36m2-4m(m+8)=32m(m-1)＜0，得0＜m＜1；
综上可得0≤m＜1。
⑵要使函数值域为R，则h(x)=mx2-6mx+m+8的值将取遍所有的正数，即是h(x)值域的子集。
当m=0时,h(x)=8不符合条件;
当m≠0时，则m满足解得m≥1；
综上可得m≥1。
[注意]解这类问题时，学生存在如下两个方面的问题：一方面是没有对二次项系数加以讨论；另一方面是把值域为R当作定义域为R来处理。究其原因还是基础知识不过关，而事实上值域为R应该是函数值取遍所有正数，当m＞0时，利用△≥0可解决。
二、定义域和有意义
[例2]⑴已知函数的定义域为（-∞1），求实数m的取值范围。
⑵已知函数在（-∞1）上有意义，求实数m的取值范围。
[分析]⑴由于函数f(x)的定义域为（-∞ 1），故关于x的不等式1+3x+m·9x＞0的解集为（-∞ 1），由“三个二次”间的关系可知，x=1是方程1+3x+m·9x=0的根，故m=.
⑵由函数在（-∞ 1）上有意义，转化为关于x的不等式1+3x+m·9x＞0在（-∞ 1）上恒成立，则m＞恒成立。根据h(x)= 在区间（-∞,1上是单调递增的，h(x)max=h⑴=-，故m≥。
[注意]很多同学把⑴和⑵看成同一问题，得出m≥的结论。我们不妨取m=1试试，函数f(x)的定义域还是（-∞ 1）吗？由此发现解题思路出了问题。当我们遇到给定函数的定义域时，往往要利用不等式同时借助于对应的方程来帮助解决。
三、主元与次元
[例3]⑴已知函数f(x)=x2+(m-4)x+4-2m对任意的x∈[-1,1]值恒大于0，求实数m的取值范围。
⑵已知函数f(x)=x2+(m-4)x+4-2m对于任意m∈[-1,1]值恒大于0，求实数x的取值范围。
[分析]⑴我们注意到△=(m-4)2-4(4-2m)=m2≥0,发现函数f(x)=x2+(m-4x)x+4(4-2m)的图象与x轴总有公共点。当x∈[-1,1]时，f(x)＞0恒成立，因而公共点不在区间[-1，1]上。于是问题转化为得到m＜1。
⑵我们把关于x的二次函数f(x)=x2+(m-4)x+4-2m看成是m的一个一次项系数为(x-2)的一次函数g(m)=(x-2)m+(x-2)2，这样“函数f(x)=x2+(m-4)x+4-2m对任意m∈[-1,1]值恒大于0”,就转化成“g(m)=(x-2)m+(x-2)2对任意m∈[-1，1]上恒大于零”，而后者成立的充要条件是g(-1)＞0且g⑴＞0。由 即 得到x＜1或x＞3。
[注意]1’对于⑴我们利用二次函数的知识分类讨论可以解决。
2’由于受定势思维的影响，当然习惯地把⑵中的函数看成一个一成不变的关于x的二次函数，让我们一头雾水。可当交换主元与次元的位置重新设定参数，视函数为m的一次函数时，解题思路清晰可见，通过变换主元就大大优化了求解过程。需要明白的是，参数是一个介于常量和变量之间的量，是固定？还是变化？取决于特定环境，完全在于理解。2006年安徽高考理科20题⑵，就需要这种变换，这种问题对我们的能力提出了更高的要求，应引起大家的关注，我们来看看这个题。
已知函数f(x)在R上有定义，对任意实数a＞0和任意实数x都有f(ax)=af(x)。求证：其中k、h均为常数。
我们重新设x为参数，视函数主元为a。
∵a＞0 x∈R，所以对x进行分类讨论。
当x=0时，可知f(0)=0;
当x＞0时，由f(ax)=af(x)，得f(xa)=xf(a),可令a=1，
则f(x)=xf⑴，又令f⑴=k,
∴当x＞0时，有f(x)=kx；
当x＜0时，则-x＞0,f(x)=f(-1·(-x))=f(-x·（-1）)=-xf(-1)，令-f(-1)=h
∴f(x)=hx
综上所述：其中k=f⑴，h=-f(-1)。
（作者单位：625000四川省雅安市第一中学）
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一、定义域与值域
[例1]⑴已知函数f(x)=loga(mx2-6mx+m+8)(a＞0且a≠1)的定义域为R，求实数m的取值范围。
⑵已知函数f(x)=loga(mx2-6mx+m+8)(a＞0且a≠1)值域为R，求实数m的取值范围。
[分析]⑴要使函数f(x)=loga(mx2-6mx+m+8)＞0的定义域为R，则需h(x)=mx2-6mx+m+8＞0恒成立。
当m=0时，h(x)=8＞0恒成立，故m=0满足题意；
当m≠0时，h(x)=mx2-6mx+m+8＞0恒成立，则m＞0且△=36m2-4m(m+8)=32m(m-1)＜0，得0＜m＜1；
综上可得0≤m＜1。
⑵要使函数值域为R，则h(x)=mx2-6mx+m+8的值将取遍所有的正数，即是h(x)值域的子集。
当m=0时,h(x)=8不符合条件;
当m≠0时，则m满足解得m≥1；
综上可得m≥1。
[注意]解这类问题时，学生存在如下两个方面的问题：一方面是没有对二次项系数加以讨论；另一方面是把值域为R当作定义域为R来处理。究其原因还是基础知识不过关，而事实上值域为R应该是函数值取遍所有正数，当m＞0时，利用△≥0可解决。
二、定义域和有意义
[例2]⑴已知函数的定义域为（-∞1），求实数m的取值范围。
⑵已知函数在（-∞1）上有意义，求实数m的取值范围。
[分析]⑴由于函数f(x)的定义域为（-∞ 1），故关于x的不等式1+3x+m·9x＞0的解集为（-∞ 1），由“三个二次”间的关系可知，x=1是方程1+3x+m·9x=0的根，故m=.
⑵由函数在（-∞ 1）上有意义，转化为关于x的不等式1+3x+m·9x＞0在（-∞ 1）上恒成立，则m＞恒成立。根据h(x)= 在区间（-∞,1上是单调递增的，h(x)max=h⑴=-，故m≥。
[注意]很多同学把⑴和⑵看成同一问题，得出m≥的结论。我们不妨取m=1试试，函数f(x)的定义域还是（-∞ 1）吗？由此发现解题思路出了问题。当我们遇到给定函数的定义域时，往往要利用不等式同时借助于对应的方程来帮助解决。
三、主元与次元
[例3]⑴已知函数f(x)=x2+(m-4)x+4-2m对任意的x∈[-1,1]值恒大于0，求实数m的取值范围。
⑵已知函数f(x)=x2+(m-4)x+4-2m对于任意m∈[-1,1]值恒大于0，求实数x的取值范围。
[分析]⑴我们注意到△=(m-4)2-4(4-2m)=m2≥0,发现函数f(x)=x2+(m-4x)x+4(4-2m)的图象与x轴总有公共点。当x∈[-1,1]时，f(x)＞0恒成立，因而公共点不在区间[-1，1]上。于是问题转化为得到m＜1。
⑵我们把关于x的二次函数f(x)=x2+(m-4)x+4-2m看成是m的一个一次项系数为(x-2)的一次函数g(m)=(x-2)m+(x-2)2，这样“函数f(x)=x2+(m-4)x+4-2m对任意m∈[-1,1]值恒大于0”,就转化成“g(m)=(x-2)m+(x-2)2对任意m∈[-1，1]上恒大于零”，而后者成立的充要条件是g(-1)＞0且g⑴＞0。由 即 得到x＜1或x＞3。
[注意]1’对于⑴我们利用二次函数的知识分类讨论可以解决。
2’由于受定势思维的影响，当然习惯地把⑵中的函数看成一个一成不变的关于x的二次函数，让我们一头雾水。可当交换主元与次元的位置重新设定参数，视函数为m的一次函数时，解题思路清晰可见，通过变换主元就大大优化了求解过程。需要明白的是，参数是一个介于常量和变量之间的量，是固定？还是变化？取决于特定环境，完全在于理解。2006年安徽高考理科20题⑵，就需要这种变换，这种问题对我们的能力提出了更高的要求，应引起大家的关注，我们来看看这个题。
已知函数f(x)在R上有定义，对任意实数a＞0和任意实数x都有f(ax)=af(x)。求证：其中k、h均为常数。
我们重新设x为参数，视函数主元为a。
∵a＞0 x∈R，所以对x进行分类讨论。
当x=0时，可知f(0)=0;
当x＞0时，由f(ax)=af(x)，得f(xa)=xf(a),可令a=1，
则f(x)=xf⑴，又令f⑴=k,
∴当x＞0时，有f(x)=kx；
当x＜0时，则-x＞0,f(x)=f(-1·(-x))=f(-x·（-1）)=-xf(-1)，令-f(-1)=h
∴f(x)=hx
综上所述：其中k=f⑴，h=-f(-1)。
（作者单位：625000四川省雅安市第一中学）
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”