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摘要：数学归纳法是一个从认识、猜想、归纳到得出结论和解决问题的重要方法。讨论数学归纳法与归纳法的关系、数学归纳法的理论依据、解题步骤以及常见问题。
关键词：数学归纳法；归纳法；递推
数学归纳法是证明关于自然数n的命题p（n）的一种数学方法，是最早掌握的递归方法。纵向看，是归纳法的一种特殊形式，与递推方法、逆向推理方法等同属程序性方法；横向看，和正整数有关的不等式、等式、整除、几何、数列、排列组合等问题密切相关。文章从以下方面讨论了对数学归纳法的几点认识。
1.归纳法和数学归纳法的联系与区别
归纳法是人类认识自然、认识社会及认识自我的思想方法，是寻找真理和发现真理的手段，科学上无数定理、定律都是归纳的结果。归纳法分为完全归纳与不完全归纳两种。在事物出现的各种可能性有限的情况下，用完全归纳法可以得出确定的结论。如命题“同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半”所能涉及的情况就只有圆心在圆周角内、圆周角边上和圆周角外三种，这就可以用完全归纳法一一验证。但是对于事物出现的各种可能性不是有限的情况下，就只能用不完全归纳法得出结论，只能属于猜测，不能说是可靠的。
从方法论来区分，归纳法是一种发现的方法，用以发现规律、猜想结果；而数学归纳法是一种演绎的方法，用以严格论证与自然数有关的命题的正确性。因此，虽然归纳法下的结论不一定可靠，但它在分析、探索数学问题中有十分重要的作用。通过对问题的观察、分析、归纳而猜想出结果，并用数学归纳法证明其正确性是发现并证明数学问题的一种重要的思维方法。
2.数学归纳法的理论依据
与自然数有关的命题p（n）一般是由无穷多个命题p（1），p（2），…p（n）所组成，采用逐个论证的方法是不可能完成的。数学归纳法的实质在于：将一个无法穷尽验证的命题转化为证明两个普通命题“p（1）为真”和“p（k）为真则p（k+1）为真” 从而达到证明目的。是从有限范围内的正确结论出发，利用自然数的 “后继”特征和逻辑中的“蕴涵”关系，得到无限范围内的正确结论。数学归纳法的依据来源于揭示自然数的根本性质的皮亚诺公理。“后继”关系是自然数的重要特征，即每一个自然数有且只有一个“后继”，而除了1以外的每一个自然数必然是也只能是一个自然数的“后继”，这应该是数学归纳法中第二步——归纳递推的依据，它体现了人类理性思维“从有限认识无限”所闪烁的智慧之光。
3.数学归纳法的解题步骤及常见的问题
步骤：
（1）验证当n取某一个自然数n■（即对于此命题的“最小自然数”）时命题成立。这步是论证的基础，是命题得以成立的起点。
（2）假设当n取某一自然数kk≥n■是结论正确的前提下，推导当n取k的后继自然数k+1时命题也成立，说明命题的正确性是可以传递的，从而具有普遍性。因此，归纳递推的基本构思在于设法使用归纳假设。
（3）下结论：该命题对于一切自然数nn≥n■都成立.
在初学数学归纳法证明中，常会出现两方面的困难：一是对自然数的上述特征和逻辑上的蕴涵关系不能透彻理解，从而对两个步骤的意义和作用不十分明白，使用中顾此失彼；二是因为第二步进行式子的变换，要会充分利用假设，这常常会有一定的难度和技巧。
现象1：很多初学者有这样的疑问：“为什么在应用数学归纳法的时候在第一步中只验证当n=n■（n■是题中的最小自然数）时成立就可以了，而不多验证几个？”
这是对数学归纳法的实质没有理解。验证了“n=n■时命题成立”只是为了说明数学归纳法的特殊性，在证明了第二步的延续性后由这个特殊性就可以逐步递推出“当n=1，n=2，n=3，…，n=k…时命题也成立，从而得出命题对一切大于的自然数都成立。
现象2：在数学归纳法的第二步中“假设n=k时命题成立”推出“n=k+1当时命题也成立”时，很多人对这里的“假设”产生了疑惑，认为“当n=k时命题成立”是假设的，就算是证明了“n=k+1时命题也成立”又有什么意义？
这种现象是对数学归纳法的概括性语言没有理解，第二步的证明目的只是也仅仅是为了证明命题的延续性，即证明“对于使命题成立的任意k的值，都有它的后继n=k+1，也一定使这个命题成立。由第一步验证的“时命题成立”我们就可以得出命题成立的存在性，从而我们的假设也就有了根据和基础。用数学归纳法证明数学问题是否正确，关键要看两个步骤是否齐全，特别是第二步归纳假设是否被应用，如果没有用到归纳假设，就是由问题的。
总之，数学归纳法内容抽象、思想新颖、给了我们一种发现问题解决问题的方法。由观察、猜测、归纳到证明其正确性的过程中包含了两类思想策略和一种数学思想，即具体化策略和退一步策略以及递归思想。具体化策略是指把抽象问题具体化、一般问题个别化、普遍问题特殊化；退一步策略指思维受阻时变换一个角度、退回到开始的位置再思考问题。数学归纳法的第一步和第二步正是应用了这两种策略。
参考文献：
[1]王建午，曹之江，刘景麟.实数的构造理论[M]. 北京：人民教育出版社，1981.
[2]张禾瑞，郝炳新.高等代数（第二版）[M]. 北京：人民教育出版社，1979.
[3]余元希，田万海，毛宏德.初等代数研究（上册）[M].北京：高等教育出版社，1988.
（作者简介：张少凤，宝鸡职业技术学院，研究方向：数学教育。）
关键词：数学归纳法；归纳法；递推
数学归纳法是证明关于自然数n的命题p（n）的一种数学方法，是最早掌握的递归方法。纵向看，是归纳法的一种特殊形式，与递推方法、逆向推理方法等同属程序性方法；横向看，和正整数有关的不等式、等式、整除、几何、数列、排列组合等问题密切相关。文章从以下方面讨论了对数学归纳法的几点认识。
1.归纳法和数学归纳法的联系与区别
归纳法是人类认识自然、认识社会及认识自我的思想方法，是寻找真理和发现真理的手段，科学上无数定理、定律都是归纳的结果。归纳法分为完全归纳与不完全归纳两种。在事物出现的各种可能性有限的情况下，用完全归纳法可以得出确定的结论。如命题“同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半”所能涉及的情况就只有圆心在圆周角内、圆周角边上和圆周角外三种，这就可以用完全归纳法一一验证。但是对于事物出现的各种可能性不是有限的情况下，就只能用不完全归纳法得出结论，只能属于猜测，不能说是可靠的。
从方法论来区分，归纳法是一种发现的方法，用以发现规律、猜想结果；而数学归纳法是一种演绎的方法，用以严格论证与自然数有关的命题的正确性。因此，虽然归纳法下的结论不一定可靠，但它在分析、探索数学问题中有十分重要的作用。通过对问题的观察、分析、归纳而猜想出结果，并用数学归纳法证明其正确性是发现并证明数学问题的一种重要的思维方法。
2.数学归纳法的理论依据
与自然数有关的命题p（n）一般是由无穷多个命题p（1），p（2），…p（n）所组成，采用逐个论证的方法是不可能完成的。数学归纳法的实质在于：将一个无法穷尽验证的命题转化为证明两个普通命题“p（1）为真”和“p（k）为真则p（k+1）为真” 从而达到证明目的。是从有限范围内的正确结论出发，利用自然数的 “后继”特征和逻辑中的“蕴涵”关系，得到无限范围内的正确结论。数学归纳法的依据来源于揭示自然数的根本性质的皮亚诺公理。“后继”关系是自然数的重要特征，即每一个自然数有且只有一个“后继”，而除了1以外的每一个自然数必然是也只能是一个自然数的“后继”，这应该是数学归纳法中第二步——归纳递推的依据，它体现了人类理性思维“从有限认识无限”所闪烁的智慧之光。
3.数学归纳法的解题步骤及常见的问题
步骤：
（1）验证当n取某一个自然数n■（即对于此命题的“最小自然数”）时命题成立。这步是论证的基础，是命题得以成立的起点。
（2）假设当n取某一自然数kk≥n■是结论正确的前提下，推导当n取k的后继自然数k+1时命题也成立，说明命题的正确性是可以传递的，从而具有普遍性。因此，归纳递推的基本构思在于设法使用归纳假设。
（3）下结论：该命题对于一切自然数nn≥n■都成立.
在初学数学归纳法证明中，常会出现两方面的困难：一是对自然数的上述特征和逻辑上的蕴涵关系不能透彻理解，从而对两个步骤的意义和作用不十分明白，使用中顾此失彼；二是因为第二步进行式子的变换，要会充分利用假设，这常常会有一定的难度和技巧。
现象1：很多初学者有这样的疑问：“为什么在应用数学归纳法的时候在第一步中只验证当n=n■（n■是题中的最小自然数）时成立就可以了，而不多验证几个？”
这是对数学归纳法的实质没有理解。验证了“n=n■时命题成立”只是为了说明数学归纳法的特殊性，在证明了第二步的延续性后由这个特殊性就可以逐步递推出“当n=1，n=2，n=3，…，n=k…时命题也成立，从而得出命题对一切大于的自然数都成立。
现象2：在数学归纳法的第二步中“假设n=k时命题成立”推出“n=k+1当时命题也成立”时，很多人对这里的“假设”产生了疑惑，认为“当n=k时命题成立”是假设的，就算是证明了“n=k+1时命题也成立”又有什么意义？
这种现象是对数学归纳法的概括性语言没有理解，第二步的证明目的只是也仅仅是为了证明命题的延续性，即证明“对于使命题成立的任意k的值，都有它的后继n=k+1，也一定使这个命题成立。由第一步验证的“时命题成立”我们就可以得出命题成立的存在性，从而我们的假设也就有了根据和基础。用数学归纳法证明数学问题是否正确，关键要看两个步骤是否齐全，特别是第二步归纳假设是否被应用，如果没有用到归纳假设，就是由问题的。
总之，数学归纳法内容抽象、思想新颖、给了我们一种发现问题解决问题的方法。由观察、猜测、归纳到证明其正确性的过程中包含了两类思想策略和一种数学思想，即具体化策略和退一步策略以及递归思想。具体化策略是指把抽象问题具体化、一般问题个别化、普遍问题特殊化；退一步策略指思维受阻时变换一个角度、退回到开始的位置再思考问题。数学归纳法的第一步和第二步正是应用了这两种策略。
参考文献：
[1]王建午，曹之江，刘景麟.实数的构造理论[M]. 北京：人民教育出版社，1981.
[2]张禾瑞，郝炳新.高等代数（第二版）[M]. 北京：人民教育出版社，1979.
[3]余元希，田万海，毛宏德.初等代数研究（上册）[M].北京：高等教育出版社，1988.
（作者简介：张少凤，宝鸡职业技术学院，研究方向：数学教育。）