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【摘 要】推理是数学的基本思维方式，借助一道选择题随机抽取五、六年级各一个班作为调查对象，调查结果显示高年级学生推理水平特点表现为知识记忆影响答题正确率、解题策略占比因年级而不同、推理水平随着年级整体递增。基于调查结果，通过教学实践总结提升儿童推理水平的策略：立足本质，挖掘推理素材;暴露思维，经历推理过程;巧用反例，体验合情推理的或然性。
【关键词】逻辑推理 选择质数 思维过程
【缘起】
选择题是小学数学测试中的常见题型，具体的解决方法有多种，例如解题确认法（将所给问题解答出来，到所给选项中选择正确答案）、排除法（将错误的选项逐一排除，从而确认正确的选项）、代入法（将所给选项逐一放到问题中，将未知变已知，从而确认正确的选项）、估测法（遇到一时无法解决的问题随意选择一个选项）等。在实际做选择题时，学生采用了怎样的方法？不同年级的学生面对同一问题，又有怎样不同的思维水平？我们在一次测试中，将同一道选择题放在了五、六年级，并要求学生写出具体的想法，题目如下：
95、89和87这三个数中，哪一个是质数？你是怎样判断的？把你的想法写下来。
【测试结果】
测试对象：五、六年级每个年级随机抽取一个班级。其中五年级47人，六年级65人，共112人。
测试结果分析：
五年级学生测试的正确率是93.6%，而六年级学生测试正确率却是80%。很多学生虽然答案是正确的，但对于怎样判断的说不出所以然，或者直接不写想法，这样的学生占比是16.3%。
本题主要让学生运用知识判断一个数是不是质数，是一道基础题，却出现了这样的结果。是学生对知识本身不理解？还是六年级学生对这部分知识有所遗忘？带着这些疑问，笔者对参测学生的真实想法进行了梳理和分类。学生大致采用了三种方法来解决这个问题。
1.一一列举
所谓一一列举，就是将每个数的所有因数全部写出来，从而找到问题的答案（如下图）。此题学生将95、89、87四个数的因数一一列举出来，根据质数的定义（一个数只有1和它本身两个因数，这样的数叫质数）判断89是质数。
2.排除法
从确定的合数想起，把合数逐一排除从而找到质数的方法（如下图）。学生通过2、3、5倍数的特征进行判断，95是5的倍数，87是3的倍数，这两个数都能判断出除了1和它本身以外，还有其他的因数。所以排除这两个数，因此确定89是质数。
3.根据概念直接选择
学生利用质数的概念对其中的质数直接做出判断。（如下图）
4.不严密的推理
判断这三个数是不是2、3、5的倍数，如果都不是就是质数，反之就不是质数（如下图）。很显然学生只考虑了质数2、3、5，其他的没有考虑，致使这种判断有失偏颇，实质上是一种不严密的推理，有时得到的答案是错误的。
以上四种方法在各年级的占比如下表。
年级 正确人数 方法1人数及占比 方法2人数及占比 方法3人数及占比 方法4人数及占比
五 44 11（25%） 13（29.54%） 14（31.82%） 6（13.64%）
六 52 6（11.54%） 32（61.54%） 10（19.23%） 4（7.69%）
【结果分析】
通过对答题结果分析，特别是对学生“把你的想法写出来”中暴露出来的思维过程剖析，我们不难发现，不同年级在知识记忆、解决策略（方法）和思维水平方面都呈现出很大的不同。
1.知识记忆影响推理水平率
从知识角度看，这道题考查的主要是质数、合数的概念及判断方法。因测试的时间节点正好在五年级学习“因数和倍数”这个单元之后，而六年级学生却没有开始小学阶段的总复习。因此，在年级的总得分率上，五年级高于六年级。这恰好验证了艾宾浩斯遗忘规律。
2.解题策略占比因年级而不同
五年級学生采用列举法、排除法和直接利用概念选择的方法占比差不多，看不出哪种方法的优势。而六年级则有61.54%的学生选择了排除法，即排除法在六年级学生中，会被更多人使用。
3.思维水平随着年级整体递增
在学生所采用的4种方法中，体现的思维水平也是不同的。大致可以分为三个层次：第一层次为第4种方法，使用这种方法的学生往往概念理解不当、推理不严密。概念是判断的基础，而判断又是推理的基础，因此，概念是影响正确推理的重要保障，概念不清直接影响正确推理。第二层次为第3种和第1种方法。这两种方法都能够根据质数的概念做出相应的判断。在选择质数的过程中，也经历了较为完整的三段论推理的过程：“因为质数是只有1和它本身两个因数的数，而89只有1和它本身两个因数，所以89是质数”。相对于第3种方法，采用第1种方法的同学思维更加严谨，逐一判断每个数的因数个数，最后选出其中的质数。第三层次为第2种方法，即排除法，主要找到某个数有除了1和它本身之外的因数，就可以确定它为合数，因此就能把这个数排除掉。使用这种方法的学生呈现出的思维水平最高：一是概念理解准确，能够灵活运用概念;二是思维过程简洁;三是能够确保答案准确。相对于其他方法，判断一个更大的数是不是质数，采用这种方法更有效。因此排除法也是体现了较高思维水平的方法。
【我的思考】
推理是数学的基本思维方式，能进行推理是理解数学的关键。知识固然重要，但能把自己的推理过程清晰地表达出来，则是知识内化的外在表现，也是发展学生推理能力的关键。如何提升学生的推理水平？怎样引导学生逐步由思维严谨性到思维灵活性再到思维创造性？在实际教学中，我们不妨从以下几个方面努力：
1.立足本质，挖掘推理素材
质数和合数这一内容是在奇数与偶数及2、3、5倍数特征的基础上进行教学的。由于本单元概念较多，加上奇数与偶数这部分内容的负迁移作用，使得学生对奇数和质数的概念产生混淆，因此教学时，基于学生已有经验，可适当将教材中隐藏的推理素材进行重组，实现教学和素材有效组合。教学时让学生分别用12个和13个小正方形摆长方形，看看一共有几种不同的摆法。通过操作引发学生思考：为什么12个小正方形能摆出不同的长方形，而13个小正方形却只能摆出一种？这时适时引入质数、合数的概念，从而使学生认识到12是一个合数，3种摆法对应是12的3组因数（1、12，2、6，3、4）。而13是一个质数，只有一种摆法，因此只有1和13两个因数。从而厘清了质数和合数的本质内涵，从直观的角度赋予质数、合数本质的意义。随后呈现1～20各数的表格，让学生圈出质数，并说说剩下的数为什么不是质数。在此基础上呈现30～50各数的表格，继续让学生圈出质数，看看能不能依据20以内的质数做出判断。比如2、3、5、7、11、13、17、19是质数，33、35、37、39……是不是也是质数，进而发现33、35、39并不是质数。由此可以知道，奇数并不一定是质数。接着让学生猜测所有的偶数是不是合数，引导学生举例判断。由于偶数都是2的倍数，所以偶数都是合数（2除外）。进一步厘清了奇数和质数、合数与偶数之间的联系和区别，同时经历了“猜想—举例—验证”的推理过程，提升了学生的推理能力。 2.暴露思维，经历推理过程
推理能力的培养不是一蹴而就的，而是一个循序渐进的过程。而在这一过程中，培养学生进行有根据的表达推理，利用多种方法辅助推理，是培养推理能力的首要任务，将会收到事半功倍的效果。学生的思维向纵深化发展，使其知其然更知其所以然。
（1）有序表达自己的推理过程。有序思考，是学生思维清晰、简洁的表现。只会做题讲不出所以然，是机械、记忆学习的表现。比如有些学生靠记忆熟背了100以内的质数表，判断一个数是否是质数速度很快，但是一旦数超过了100就无从下手，更不要说表述自己推理的过程了。而说的过程正是學生自信、大胆的表现。首先，要敢说。针对测试题，可以先让学生从易到难说说自己对95、89、87这三个数的判断，即使不全面、不准确，甚至是错误的想法，教师都要表示理解和接纳，这是走向表达的第一步。其次，要会说。学生说出自己真实的想法后，可以引导其在小组、全班相互交流、学习的基础上，补充、完善自己的想法，或修正，或“正误”，从而学会正确地表达思考的过程。最后，有序说。这里的“序”可以是知识的序，也可以是思维的序。学生可能按照三个数呈现的顺序依次判断，按照思维的序，则是先从2、3、5的倍数开始判断，即先易后难。从“敢说”到“会说”到“有序”说，是学生思维的不断深化，是知识在头脑中的不断重组和建构。
（2）多种方法辅助推理。受思维发展水平和年龄的限制，小学生的推理能力仍需要借助一些直观的手段帮助其理解知识、应用知识，这样的方法可以是操作、画图等。多种方法辅助推理，能培养学生思维的条理性，养成从证据到推理的思维习惯。在说的基础上，让学生想办法证明自己对上面三个数的判断。学生可能想到的方法有反例（即排除法）、计算、查阅质数表等，如此可以深化对知识的理解，又能为学生的演绎推理奠定基础。
3.巧用反例，体验合情推理的或然性
推理，尤其是合情推理，结论是好似为真的，具有或然性。因此引导学生体验推理的或然性尤为重要，避免学生进入认为只要猜想—验证结论就是正确的这一误区。例如：判断551和553这两个数时，学生很容易将这两个数归为质数，这就暴露了学习中的问题，直观判断551和553只有1和它本身两个因数，其主要原因是551和553都是奇数。这时正是体验推理或然性的良好时机。此时，教师先不急于评价，让学生通过自己的方法来验证这一结论，即排除法。从而发现551有因数19，553有因数7。这样的教学使学生意识到，单凭自己的观察、猜测和已有经验进行判断，往往容易出现错误。一切猜想和判断都要建立在严密的推理之上，要注重全面、理性的验证，否则结果很有可能是或然的。
培养、发展学生的推理能力，需要基于学生已有的认知发展水平。关注学生是如何想的、如何学的，充分暴露学生的思维过程，立足学科本质，找到教学的起点，针对思维的不同层次提升学生的推理水平，从而提升数学核心素养。
【参考文献】
[1]郑毓信.数学思维与小学数学[M].南京：江苏教育出版社，2008.
[2]史宁中.数学思想概论（第4辑）：数学中的归纳推理[M].长春：东北师范大学出版社，2015.
[3]史宁中.数学基本思想18讲[M].北京：北京师范大学出版社，2016.
【关键词】逻辑推理 选择质数 思维过程
【缘起】
选择题是小学数学测试中的常见题型，具体的解决方法有多种，例如解题确认法（将所给问题解答出来，到所给选项中选择正确答案）、排除法（将错误的选项逐一排除，从而确认正确的选项）、代入法（将所给选项逐一放到问题中，将未知变已知，从而确认正确的选项）、估测法（遇到一时无法解决的问题随意选择一个选项）等。在实际做选择题时，学生采用了怎样的方法？不同年级的学生面对同一问题，又有怎样不同的思维水平？我们在一次测试中，将同一道选择题放在了五、六年级，并要求学生写出具体的想法，题目如下：
95、89和87这三个数中，哪一个是质数？你是怎样判断的？把你的想法写下来。
【测试结果】
测试对象：五、六年级每个年级随机抽取一个班级。其中五年级47人，六年级65人，共112人。
测试结果分析：
五年级学生测试的正确率是93.6%，而六年级学生测试正确率却是80%。很多学生虽然答案是正确的，但对于怎样判断的说不出所以然，或者直接不写想法，这样的学生占比是16.3%。
本题主要让学生运用知识判断一个数是不是质数，是一道基础题，却出现了这样的结果。是学生对知识本身不理解？还是六年级学生对这部分知识有所遗忘？带着这些疑问，笔者对参测学生的真实想法进行了梳理和分类。学生大致采用了三种方法来解决这个问题。
1.一一列举
所谓一一列举，就是将每个数的所有因数全部写出来，从而找到问题的答案（如下图）。此题学生将95、89、87四个数的因数一一列举出来，根据质数的定义（一个数只有1和它本身两个因数，这样的数叫质数）判断89是质数。
2.排除法
从确定的合数想起，把合数逐一排除从而找到质数的方法（如下图）。学生通过2、3、5倍数的特征进行判断，95是5的倍数，87是3的倍数，这两个数都能判断出除了1和它本身以外，还有其他的因数。所以排除这两个数，因此确定89是质数。
3.根据概念直接选择
学生利用质数的概念对其中的质数直接做出判断。（如下图）
4.不严密的推理
判断这三个数是不是2、3、5的倍数，如果都不是就是质数，反之就不是质数（如下图）。很显然学生只考虑了质数2、3、5，其他的没有考虑，致使这种判断有失偏颇，实质上是一种不严密的推理，有时得到的答案是错误的。
以上四种方法在各年级的占比如下表。
年级 正确人数 方法1人数及占比 方法2人数及占比 方法3人数及占比 方法4人数及占比
五 44 11（25%） 13（29.54%） 14（31.82%） 6（13.64%）
六 52 6（11.54%） 32（61.54%） 10（19.23%） 4（7.69%）
【结果分析】
通过对答题结果分析，特别是对学生“把你的想法写出来”中暴露出来的思维过程剖析，我们不难发现，不同年级在知识记忆、解决策略（方法）和思维水平方面都呈现出很大的不同。
1.知识记忆影响推理水平率
从知识角度看，这道题考查的主要是质数、合数的概念及判断方法。因测试的时间节点正好在五年级学习“因数和倍数”这个单元之后，而六年级学生却没有开始小学阶段的总复习。因此，在年级的总得分率上，五年级高于六年级。这恰好验证了艾宾浩斯遗忘规律。
2.解题策略占比因年级而不同
五年級学生采用列举法、排除法和直接利用概念选择的方法占比差不多，看不出哪种方法的优势。而六年级则有61.54%的学生选择了排除法，即排除法在六年级学生中，会被更多人使用。
3.思维水平随着年级整体递增
在学生所采用的4种方法中，体现的思维水平也是不同的。大致可以分为三个层次：第一层次为第4种方法，使用这种方法的学生往往概念理解不当、推理不严密。概念是判断的基础，而判断又是推理的基础，因此，概念是影响正确推理的重要保障，概念不清直接影响正确推理。第二层次为第3种和第1种方法。这两种方法都能够根据质数的概念做出相应的判断。在选择质数的过程中，也经历了较为完整的三段论推理的过程：“因为质数是只有1和它本身两个因数的数，而89只有1和它本身两个因数，所以89是质数”。相对于第3种方法，采用第1种方法的同学思维更加严谨，逐一判断每个数的因数个数，最后选出其中的质数。第三层次为第2种方法，即排除法，主要找到某个数有除了1和它本身之外的因数，就可以确定它为合数，因此就能把这个数排除掉。使用这种方法的学生呈现出的思维水平最高：一是概念理解准确，能够灵活运用概念;二是思维过程简洁;三是能够确保答案准确。相对于其他方法，判断一个更大的数是不是质数，采用这种方法更有效。因此排除法也是体现了较高思维水平的方法。
【我的思考】
推理是数学的基本思维方式，能进行推理是理解数学的关键。知识固然重要，但能把自己的推理过程清晰地表达出来，则是知识内化的外在表现，也是发展学生推理能力的关键。如何提升学生的推理水平？怎样引导学生逐步由思维严谨性到思维灵活性再到思维创造性？在实际教学中，我们不妨从以下几个方面努力：
1.立足本质，挖掘推理素材
质数和合数这一内容是在奇数与偶数及2、3、5倍数特征的基础上进行教学的。由于本单元概念较多，加上奇数与偶数这部分内容的负迁移作用，使得学生对奇数和质数的概念产生混淆，因此教学时，基于学生已有经验，可适当将教材中隐藏的推理素材进行重组，实现教学和素材有效组合。教学时让学生分别用12个和13个小正方形摆长方形，看看一共有几种不同的摆法。通过操作引发学生思考：为什么12个小正方形能摆出不同的长方形，而13个小正方形却只能摆出一种？这时适时引入质数、合数的概念，从而使学生认识到12是一个合数，3种摆法对应是12的3组因数（1、12，2、6，3、4）。而13是一个质数，只有一种摆法，因此只有1和13两个因数。从而厘清了质数和合数的本质内涵，从直观的角度赋予质数、合数本质的意义。随后呈现1～20各数的表格，让学生圈出质数，并说说剩下的数为什么不是质数。在此基础上呈现30～50各数的表格，继续让学生圈出质数，看看能不能依据20以内的质数做出判断。比如2、3、5、7、11、13、17、19是质数，33、35、37、39……是不是也是质数，进而发现33、35、39并不是质数。由此可以知道，奇数并不一定是质数。接着让学生猜测所有的偶数是不是合数，引导学生举例判断。由于偶数都是2的倍数，所以偶数都是合数（2除外）。进一步厘清了奇数和质数、合数与偶数之间的联系和区别，同时经历了“猜想—举例—验证”的推理过程，提升了学生的推理能力。 2.暴露思维，经历推理过程
推理能力的培养不是一蹴而就的，而是一个循序渐进的过程。而在这一过程中，培养学生进行有根据的表达推理，利用多种方法辅助推理，是培养推理能力的首要任务，将会收到事半功倍的效果。学生的思维向纵深化发展，使其知其然更知其所以然。
（1）有序表达自己的推理过程。有序思考，是学生思维清晰、简洁的表现。只会做题讲不出所以然，是机械、记忆学习的表现。比如有些学生靠记忆熟背了100以内的质数表，判断一个数是否是质数速度很快，但是一旦数超过了100就无从下手，更不要说表述自己推理的过程了。而说的过程正是學生自信、大胆的表现。首先，要敢说。针对测试题，可以先让学生从易到难说说自己对95、89、87这三个数的判断，即使不全面、不准确，甚至是错误的想法，教师都要表示理解和接纳，这是走向表达的第一步。其次，要会说。学生说出自己真实的想法后，可以引导其在小组、全班相互交流、学习的基础上，补充、完善自己的想法，或修正，或“正误”，从而学会正确地表达思考的过程。最后，有序说。这里的“序”可以是知识的序，也可以是思维的序。学生可能按照三个数呈现的顺序依次判断，按照思维的序，则是先从2、3、5的倍数开始判断，即先易后难。从“敢说”到“会说”到“有序”说，是学生思维的不断深化，是知识在头脑中的不断重组和建构。
（2）多种方法辅助推理。受思维发展水平和年龄的限制，小学生的推理能力仍需要借助一些直观的手段帮助其理解知识、应用知识，这样的方法可以是操作、画图等。多种方法辅助推理，能培养学生思维的条理性，养成从证据到推理的思维习惯。在说的基础上，让学生想办法证明自己对上面三个数的判断。学生可能想到的方法有反例（即排除法）、计算、查阅质数表等，如此可以深化对知识的理解，又能为学生的演绎推理奠定基础。
3.巧用反例，体验合情推理的或然性
推理，尤其是合情推理，结论是好似为真的，具有或然性。因此引导学生体验推理的或然性尤为重要，避免学生进入认为只要猜想—验证结论就是正确的这一误区。例如：判断551和553这两个数时，学生很容易将这两个数归为质数，这就暴露了学习中的问题，直观判断551和553只有1和它本身两个因数，其主要原因是551和553都是奇数。这时正是体验推理或然性的良好时机。此时，教师先不急于评价，让学生通过自己的方法来验证这一结论，即排除法。从而发现551有因数19，553有因数7。这样的教学使学生意识到，单凭自己的观察、猜测和已有经验进行判断，往往容易出现错误。一切猜想和判断都要建立在严密的推理之上，要注重全面、理性的验证，否则结果很有可能是或然的。
培养、发展学生的推理能力，需要基于学生已有的认知发展水平。关注学生是如何想的、如何学的，充分暴露学生的思维过程，立足学科本质，找到教学的起点，针对思维的不同层次提升学生的推理水平，从而提升数学核心素养。
【参考文献】
[1]郑毓信.数学思维与小学数学[M].南京：江苏教育出版社，2008.
[2]史宁中.数学思想概论（第4辑）：数学中的归纳推理[M].长春：东北师范大学出版社，2015.
[3]史宁中.数学基本思想18讲[M].北京：北京师范大学出版社，2016.