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摘 要:控制变量实验在数学教学中有着广泛的应用。恰到好处地应用数学实验,让学生进行探究和发现,可以调动学生思维的积极性,培养学生良好的观察能力,使学生领悟数学知识的本质,构建相对完整的认知结构,为学生今后的学习提供可持续发展的丰厚基础。
关键词:数学实验;控制变量;合情推理;数形对照表
中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1009-010X(2010)01-0045-03
一、问题提出
在平面直角坐标系的教学实践和教研中发现:由于教材上只给出了比较简单的描述,限于初中的学习范围与学生的接受能力,许多学生对平面直角坐标系的建立,坐标轴的作用,象限符号,点的坐标的几何意义,点的横纵坐标变化与点的位置变化的关系等知识理解起来有一定的困难,存在偏差,容易造成学生对有序实数对与坐标平面内的点一一对应关系认知上的不足,只限于机械地记忆结论,形成了静态的认识,从而在解决具体问题时就会产生思维障碍,影响解题能力的提高。这势必会影响学生数形结合思想的形成及对函数图象的理解和应用。
二、问题成因
一方面,在教学过程中,教师不顾学生的实际情况(即基础)或不能觉察到学生的思维困难之处,而是任由教师按自己的思路或知识逻辑进行灌输式教学,过于强调接受学习、死记硬背、机械训练,到学生自己去解决问题时往往会感到无所适从;另一方面,思想方法的形成比知识的掌握更需要一个漫长的过程,当新的知识与学生原有的知识结构、思想方法不相符或者新旧知识和方法中间缺乏必要的“媒介点”时,这些新知识方法就会被排斥或经“校正”后吸收。
三、解决策略
布鲁纳的认识发展理论告诉我们,学习本身是一种认识过程,在这个过程中,个体的学习总是要通过已知的内部认知结构,对“从外到内”的输入信息进行整理加工,以一种易于掌握的形式加以储存,也就是说学生能从原有的知识结构中提取最有效的旧知识来吸纳新知识,即找到新旧知识的“媒介点”,这样,新旧知识在学生的头脑中发生积极的相互作用和联系,导致原有知识结构的不断分化和重新组合,使学生获得新知识,帮助学生抓住其本质,了解它的变形和发展及与其它问题的联系,促进新知识的掌握和数学思想方法的形成。
平面直角坐标这节课的概念较多,结论较为抽象,教师应该给学生一个“直观”的背景,一个思维的空间, 一个适应的过程。 通过数学课堂实验这种方式,运用控制变量法分别改变横纵坐标的符号、绝对值,横向、纵向改变点的位置,引导学生运用坐标纸、刻度尺开展数学实验,共同合作,积极思维,观察点的位置的变化;观察横纵坐标的符号、绝对值的变化,鼓励学生总结自己的发现,大胆猜想结论。让学生一点一滴地理解点的位置的变化与横、纵坐标值的变化的内在关系,进而促进学生数学认知结构的意义建构,帮助学生本质地理解概念及数形结合的思想和方法。
四、直角坐标数学实验设计
1.实验设计指导思想。
一个实数由性质符号、绝对值两部分构成,一对有序实数对(点的坐标)由横纵坐标的符号、绝对值四个因素控制;坐标平面内的点的位置有上下左右四个变动方式,运用控制变量法,将其它的因素进行控制(使其影响相同),而只改变其中的某一个因素,从而研究这个因素对事物(点的位置、点的坐标)的影响。
2.实验目的。
通过试验,使学生经历运用控制变量的探索过程,体会研究多变量问题的一般方法,能逐步理解坐标平面内的点和有序实数对之间的一一对应关系,会用象限和坐标轴说明直角坐标系内点的位置,并会根据点的位置,确定点的横坐标、纵坐标的符号、绝对值。掌握确定已知点关于坐标轴(或原点)的对称点的方法。充分体会建立平面直角坐标系必要性和数形结合的思想。培养学生发现问题,主动探索问题的能力。在与同伴的合作交流中,培养学生的观察能力。深入地理解概念。渗透数形结合的思想,培养学生思维的严谨性和深刻性。
3.实验知识基础。
学生了解直角坐标系的定义,形成了x轴、y轴,原点是x轴、y轴的交点等初步的数学概念,会根据已知点的坐标标出点的位置,已知点的位置找求出点的坐标。
4.研究方法。
与同伴合作,利用准备好的坐标纸、直尺等工具,按要求给坐标找点,给点找坐标。观察出现的数学事实,归纳总结结论。填好数形对照表。
5.实验方法。
控制变量,定性分析,点的位置与它的横、纵坐标的关系。
6.实验步骤。
实验一:静态认识横、纵坐标的符号与点的相应位置之间的关系。
(1)两个同学分别给出横、纵坐标为零的几个点的坐标,一人只描横坐标为零的点。另一人只描纵坐标为零的点。比较点的位置。发现结论:横坐标为零的点都在y轴上;纵坐标为零的点都在x轴上。两人交换,分别给出在x轴、y轴上的几个点,写出点的坐标。观察横、纵坐标的特征,归纳结论:在x轴上的点,横坐标为零;在y轴上的点,纵坐标为零。
(2)两个同学自己给出几个点的坐标(纵坐标不限),要求一人给出点的横坐标全为负,另一人给出点的横坐标全为正。分别利用坐标纸描点并观察点的位置,能得出什么结论。学生从中发现:横坐标为正的点都在y轴右侧, 横坐标为负的点都在y轴左侧。直观感受:y轴是横坐标为正、为负点的分界线。交换检验: y轴左、右侧的点的横坐标的符号情况,能得出什么结论。
(4)教师给出象限名称后,学生运用上述实验结论进行合情推理,可以得出:第一象限的点在y轴右侧、x轴上方,横坐标为正,纵坐标为正,所以象限符号为( , )。第二象限的点在y轴左侧、x轴上方,横坐标为负,纵坐标为正,所以象限符号为(-, )。依次类推出四个象限内的点的符号特征。填出数形对照表:
通过实验归纳,总结出了点的位置与坐标相应的代数规律,渗透了数与形的结合思想。培养了学生由特殊到一般的抽象思维能力。
实验二:动态认识横纵坐标数值的变化与点的位置移动之间的关系。
(1)控制点的纵坐标为一个固定的数值,让点的横坐标的值由小变大,如(-5,2);(-4,2);(-2,2);(0,2);(1,2);(2,2)(5,2);(7,2)。观察点的位置变化的规律;通过对比几组学生所画的图象。学生的分组讨论后,可总结如下:横坐标数值的大小控制点的左右,横坐标越小的点,位置越靠左;横坐标越大的点,位置越靠右。纵坐标不变,点的高低不变,所以纵坐标相同的点形成平行于x轴的直线。
(2)给出一条平行x轴的直线,让学生从左向右找出点,写出点的坐标。观察横纵坐标变化的规律,经小组讨论可以得出:点的位置从左向右依次变化的过程中,横坐标依次变大。点的位置越靠右,横坐标越大。点的高低不变,纵坐标数值不变;平行x轴的直线上的点的特征是:纵坐标相同。
(3)①控制点的横坐标为一个固定的数值,让点的纵坐标的值由小变大,观察点的位置变化的规律,可以得到什么结论;②给出一条平行y轴的直线,从低到高找点并写出它们的坐标,观察横纵坐标变化的规律,又可以得到什么结论。体会数形的对应关系:纵坐标控制点的高低,纵坐标越大的点,位置越靠上;横坐标不变,点的左右不变,所以横坐标相同的点形成平行y轴的直线。做完这实验后,通过观察可以总结出:平行于y轴的直线上的点,其横坐标相同,纵坐标为任意实数。
总结填表:对于点A( ) 、B( )(制出数形对照表)
(5)分别在两张坐标纸上做出横坐标相同,纵坐标符号为正(负),绝对值不同的点,如;(-2,4);(-2,5);(-2,6)或(1,-3)(1,-5);(1,-7)等,度量并比较它们在坐标系中的位置,发现纵坐标为正(负)的几个点,虽然都在x轴的上(下)方,但离x轴的距离不同,纵坐标绝对值较大的点离x轴较远,纵坐标绝对值较小的点离x轴的距离较近。可以得出:点的纵坐标的绝对值就是点到x轴的距离(纵坐标的绝对值刻画了点偏离x轴的程度)。
类似地画出纵坐标相同,横坐标绝对值不同的点,度量并比较它们在坐标系中的位置,发现横坐标的绝对值表示点到y轴的距离(刻画了点偏离y轴的程度)。
(6)结合几何知识进行猜想:横纵坐标绝对值相等的点的位置,并验证自己的猜想。总结填表:
经历以上的实验过程,并结合实验结果对规律进行的总结,每一步都渗透数形结合思想,并让学生体会数学知识的形成过程。使学生逐步体会出平面内的点与有序实数对之间的一一对应关系。大部分学生可以理解和掌握数形对照表中的结论,形成见形想数,遇数思形的思维模式。在解决具体问题时得心应手。部分思维能力较强的学生在此基础上,经由教师引导,通过合情推理,可以领悟到:连线平行于x轴的两点,左右不同,高低不变,是由两点横坐标变化引起的。所以它们之间的距离应看横坐标相差多少;同理,连线平行于y轴的两点之间的距离,应是纵坐标的差的绝对值。点向右(左)移动多少个单位长度,它的横坐标就增大(减少)多少;点向上(下)移动多少个单位长度,它的纵坐标就增大(减少)多少。点上下移动,只有纵坐标变化;右(左)移动,它的横坐标变化。平行于x轴的线段的中点,既不偏左也不偏右,它的横坐标与两个端点的横坐标相比,既不偏大也不偏小,必为两端点横坐标的平均数;平行于y轴的线段的中点的纵坐标,必为两端点纵坐标的平均数。进一步还可以探讨:任意两点之间的线段中点坐标和距离的求法;点关于平行坐标轴的直线的对称点的求法。可以做到:“使不同学生得到不同的发展,人人学到有价值的数学”。
以上实验设计,倡导学生主动参与、乐于研究、勤于动手。力图从数学的本质特点和学生的认知特点出发,通过数学实验这种教与学的方式,影响学生数学认知结构的意义建构,帮助学生本质地理解数学,培养数学精神。加强了学生的基础性学力,又提高了学生的发展性学力和创造性学力,充分体现以学生发展为本的基本理念。
关键词:数学实验;控制变量;合情推理;数形对照表
中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1009-010X(2010)01-0045-03
一、问题提出
在平面直角坐标系的教学实践和教研中发现:由于教材上只给出了比较简单的描述,限于初中的学习范围与学生的接受能力,许多学生对平面直角坐标系的建立,坐标轴的作用,象限符号,点的坐标的几何意义,点的横纵坐标变化与点的位置变化的关系等知识理解起来有一定的困难,存在偏差,容易造成学生对有序实数对与坐标平面内的点一一对应关系认知上的不足,只限于机械地记忆结论,形成了静态的认识,从而在解决具体问题时就会产生思维障碍,影响解题能力的提高。这势必会影响学生数形结合思想的形成及对函数图象的理解和应用。
二、问题成因
一方面,在教学过程中,教师不顾学生的实际情况(即基础)或不能觉察到学生的思维困难之处,而是任由教师按自己的思路或知识逻辑进行灌输式教学,过于强调接受学习、死记硬背、机械训练,到学生自己去解决问题时往往会感到无所适从;另一方面,思想方法的形成比知识的掌握更需要一个漫长的过程,当新的知识与学生原有的知识结构、思想方法不相符或者新旧知识和方法中间缺乏必要的“媒介点”时,这些新知识方法就会被排斥或经“校正”后吸收。
三、解决策略
布鲁纳的认识发展理论告诉我们,学习本身是一种认识过程,在这个过程中,个体的学习总是要通过已知的内部认知结构,对“从外到内”的输入信息进行整理加工,以一种易于掌握的形式加以储存,也就是说学生能从原有的知识结构中提取最有效的旧知识来吸纳新知识,即找到新旧知识的“媒介点”,这样,新旧知识在学生的头脑中发生积极的相互作用和联系,导致原有知识结构的不断分化和重新组合,使学生获得新知识,帮助学生抓住其本质,了解它的变形和发展及与其它问题的联系,促进新知识的掌握和数学思想方法的形成。
平面直角坐标这节课的概念较多,结论较为抽象,教师应该给学生一个“直观”的背景,一个思维的空间, 一个适应的过程。 通过数学课堂实验这种方式,运用控制变量法分别改变横纵坐标的符号、绝对值,横向、纵向改变点的位置,引导学生运用坐标纸、刻度尺开展数学实验,共同合作,积极思维,观察点的位置的变化;观察横纵坐标的符号、绝对值的变化,鼓励学生总结自己的发现,大胆猜想结论。让学生一点一滴地理解点的位置的变化与横、纵坐标值的变化的内在关系,进而促进学生数学认知结构的意义建构,帮助学生本质地理解概念及数形结合的思想和方法。
四、直角坐标数学实验设计
1.实验设计指导思想。
一个实数由性质符号、绝对值两部分构成,一对有序实数对(点的坐标)由横纵坐标的符号、绝对值四个因素控制;坐标平面内的点的位置有上下左右四个变动方式,运用控制变量法,将其它的因素进行控制(使其影响相同),而只改变其中的某一个因素,从而研究这个因素对事物(点的位置、点的坐标)的影响。
2.实验目的。
通过试验,使学生经历运用控制变量的探索过程,体会研究多变量问题的一般方法,能逐步理解坐标平面内的点和有序实数对之间的一一对应关系,会用象限和坐标轴说明直角坐标系内点的位置,并会根据点的位置,确定点的横坐标、纵坐标的符号、绝对值。掌握确定已知点关于坐标轴(或原点)的对称点的方法。充分体会建立平面直角坐标系必要性和数形结合的思想。培养学生发现问题,主动探索问题的能力。在与同伴的合作交流中,培养学生的观察能力。深入地理解概念。渗透数形结合的思想,培养学生思维的严谨性和深刻性。
3.实验知识基础。
学生了解直角坐标系的定义,形成了x轴、y轴,原点是x轴、y轴的交点等初步的数学概念,会根据已知点的坐标标出点的位置,已知点的位置找求出点的坐标。
4.研究方法。
与同伴合作,利用准备好的坐标纸、直尺等工具,按要求给坐标找点,给点找坐标。观察出现的数学事实,归纳总结结论。填好数形对照表。
5.实验方法。
控制变量,定性分析,点的位置与它的横、纵坐标的关系。
6.实验步骤。
实验一:静态认识横、纵坐标的符号与点的相应位置之间的关系。
(1)两个同学分别给出横、纵坐标为零的几个点的坐标,一人只描横坐标为零的点。另一人只描纵坐标为零的点。比较点的位置。发现结论:横坐标为零的点都在y轴上;纵坐标为零的点都在x轴上。两人交换,分别给出在x轴、y轴上的几个点,写出点的坐标。观察横、纵坐标的特征,归纳结论:在x轴上的点,横坐标为零;在y轴上的点,纵坐标为零。
(2)两个同学自己给出几个点的坐标(纵坐标不限),要求一人给出点的横坐标全为负,另一人给出点的横坐标全为正。分别利用坐标纸描点并观察点的位置,能得出什么结论。学生从中发现:横坐标为正的点都在y轴右侧, 横坐标为负的点都在y轴左侧。直观感受:y轴是横坐标为正、为负点的分界线。交换检验: y轴左、右侧的点的横坐标的符号情况,能得出什么结论。
(4)教师给出象限名称后,学生运用上述实验结论进行合情推理,可以得出:第一象限的点在y轴右侧、x轴上方,横坐标为正,纵坐标为正,所以象限符号为( , )。第二象限的点在y轴左侧、x轴上方,横坐标为负,纵坐标为正,所以象限符号为(-, )。依次类推出四个象限内的点的符号特征。填出数形对照表:
通过实验归纳,总结出了点的位置与坐标相应的代数规律,渗透了数与形的结合思想。培养了学生由特殊到一般的抽象思维能力。
实验二:动态认识横纵坐标数值的变化与点的位置移动之间的关系。
(1)控制点的纵坐标为一个固定的数值,让点的横坐标的值由小变大,如(-5,2);(-4,2);(-2,2);(0,2);(1,2);(2,2)(5,2);(7,2)。观察点的位置变化的规律;通过对比几组学生所画的图象。学生的分组讨论后,可总结如下:横坐标数值的大小控制点的左右,横坐标越小的点,位置越靠左;横坐标越大的点,位置越靠右。纵坐标不变,点的高低不变,所以纵坐标相同的点形成平行于x轴的直线。
(2)给出一条平行x轴的直线,让学生从左向右找出点,写出点的坐标。观察横纵坐标变化的规律,经小组讨论可以得出:点的位置从左向右依次变化的过程中,横坐标依次变大。点的位置越靠右,横坐标越大。点的高低不变,纵坐标数值不变;平行x轴的直线上的点的特征是:纵坐标相同。
(3)①控制点的横坐标为一个固定的数值,让点的纵坐标的值由小变大,观察点的位置变化的规律,可以得到什么结论;②给出一条平行y轴的直线,从低到高找点并写出它们的坐标,观察横纵坐标变化的规律,又可以得到什么结论。体会数形的对应关系:纵坐标控制点的高低,纵坐标越大的点,位置越靠上;横坐标不变,点的左右不变,所以横坐标相同的点形成平行y轴的直线。做完这实验后,通过观察可以总结出:平行于y轴的直线上的点,其横坐标相同,纵坐标为任意实数。
总结填表:对于点A( ) 、B( )(制出数形对照表)
(5)分别在两张坐标纸上做出横坐标相同,纵坐标符号为正(负),绝对值不同的点,如;(-2,4);(-2,5);(-2,6)或(1,-3)(1,-5);(1,-7)等,度量并比较它们在坐标系中的位置,发现纵坐标为正(负)的几个点,虽然都在x轴的上(下)方,但离x轴的距离不同,纵坐标绝对值较大的点离x轴较远,纵坐标绝对值较小的点离x轴的距离较近。可以得出:点的纵坐标的绝对值就是点到x轴的距离(纵坐标的绝对值刻画了点偏离x轴的程度)。
类似地画出纵坐标相同,横坐标绝对值不同的点,度量并比较它们在坐标系中的位置,发现横坐标的绝对值表示点到y轴的距离(刻画了点偏离y轴的程度)。
(6)结合几何知识进行猜想:横纵坐标绝对值相等的点的位置,并验证自己的猜想。总结填表:
经历以上的实验过程,并结合实验结果对规律进行的总结,每一步都渗透数形结合思想,并让学生体会数学知识的形成过程。使学生逐步体会出平面内的点与有序实数对之间的一一对应关系。大部分学生可以理解和掌握数形对照表中的结论,形成见形想数,遇数思形的思维模式。在解决具体问题时得心应手。部分思维能力较强的学生在此基础上,经由教师引导,通过合情推理,可以领悟到:连线平行于x轴的两点,左右不同,高低不变,是由两点横坐标变化引起的。所以它们之间的距离应看横坐标相差多少;同理,连线平行于y轴的两点之间的距离,应是纵坐标的差的绝对值。点向右(左)移动多少个单位长度,它的横坐标就增大(减少)多少;点向上(下)移动多少个单位长度,它的纵坐标就增大(减少)多少。点上下移动,只有纵坐标变化;右(左)移动,它的横坐标变化。平行于x轴的线段的中点,既不偏左也不偏右,它的横坐标与两个端点的横坐标相比,既不偏大也不偏小,必为两端点横坐标的平均数;平行于y轴的线段的中点的纵坐标,必为两端点纵坐标的平均数。进一步还可以探讨:任意两点之间的线段中点坐标和距离的求法;点关于平行坐标轴的直线的对称点的求法。可以做到:“使不同学生得到不同的发展,人人学到有价值的数学”。
以上实验设计,倡导学生主动参与、乐于研究、勤于动手。力图从数学的本质特点和学生的认知特点出发,通过数学实验这种教与学的方式,影响学生数学认知结构的意义建构,帮助学生本质地理解数学,培养数学精神。加强了学生的基础性学力,又提高了学生的发展性学力和创造性学力,充分体现以学生发展为本的基本理念。