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比较中外小学数学教育发现，我国的小学数学教学大都侧重于学生计算能力的培养，而在学生应用能力的培养上面则显得较为薄弱。因此，《义务教育数学课程标准》不断改版，逐渐开始出现“模型思想”等词汇。模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部联系的基本途径。
一、充分感知，积累表象，培养建模基础
数学模型所注意的对象是大多数都具有共性的一类事物。所以，教师要先给学生提供丰富的感性材料，尽量多地让学生从各个方面去了解事物间的各种关系，从而达到对这类事物全面认识的效果，也为数学模型的正确建立奠定必要的基础。
比如，“凑十法”这个数学模型的建立过程便是一个持续感知和累积的过程。首先，通过9加一位数的教学，让学生基本掌握“凑十”的思路和方法，并且引导他们运用不同的方法计算。最后，在进行8、7、6、5加一位数的教学时，要鼓励学生采用自己最擅长的方法进行计算。让学生通过观察、比较、探索、推理等过程，体会到“凑十法”的本质，为建立“凑十法”数学模型打下牢固的基础，做好充足的准备。
又如，在“割草”问题中，花园公司老板为了选择优秀员工，获取了一些员工的部分工作资料作为参考。老板有这些员工在去年12月、今年1月和2月的工作信息，包括每位员工每月的工作时间、除草量、销售其他产品的销售额以及每月驾驶除草机的公里数。草坪有三种不同大小的规模，还有其他因素影响。在这个过程中，学生就开始充分感知问题，积累表象。首先，学生们都会不由自主地去观察所提供的信息，从信息中获取一些重要的资料。在这个过程中让学生分组讨论，建模过程本身就是一个小组合作学习的过程，它需要具备一定的生活经验和一些数学知识。有的学生认为一项或几项表现出色的人就应该被选上。如，有的学生认为赵平应当被选上，因为他的工作时间最长，每月驾驶割草机的公里数也较高，钱赚得也不少……这个想法符合大多数学生的想法。
与此同时，也有部分学生从其他角度分析。例如，有学生从专长的角度来选择，孙新最适合销售，因为他的销售业绩高;钱进更适合割小草坪，等等。因为缺少更多信息，学生就用自己的生活经验去猜测，弥补这些信息。选专门从事某一项自己最专长的工作，如公司主要以除草为主，所以选有除草专长的员工，等等。还有的学生考虑了根据工作任务的重要程度来决定选谁。
在这个阶段，学生们各抒己见，因为没有明确的方法去解决这个问题，学生的思维都局限于过去的学习经验。从这个方面分析，因为小学生从数学知识的储备和生活经验上来说，都是有局限的，他们只能从已知条件中获得一些有限的信息。
二、组织跃进，抽象本质，完成模型构建
将实际问题抽象成数学模型，是数学教学的任务之一。但详细生动的数学课堂情境仅仅是为建立数学模型提供了可能，若是忽略了从具体到概括的巧妙过渡，这样的过程就称不上是数学模型构建了。
比如“平行与相交”的问题。只让学生感知路灯、操场跑道、电线杆上的电线、门的左右两条边、课桌的桌角、练习本的横线等例子，而没有透过现象看本质的过程。当学生从实例中提炼出“平行线”这个数学模型时，展现在大家面前的肯定是那些各种各样的具体的实物，而不是我们想要他们得到的那些具备概括意义的数学模型。“平行”这个问题的实质就是“在同一平面，使两条直线之间的距离始终保持不变，这样的两条直线称之为平行”。教师应该把学生注意到的重点从实例变为“平行”问题的实质，让学生感受到质的飞跃的学习过程。在这一过程中，教师应引导学生通过比较、分析、归纳等一系列的思维活动并从中提取出本质，揭示该对象的本质特征。
在“割草”问题中，学生会在讨论的过程中逐渐发现需要计算平均数。根据学生对问题的理解，有的学生从感性的角度去分析，有的学生从理性的角度去分析。这没有谁对谁错，只要言之有理，能让他人信服即可。显然从感性的角度去分析该问题的学生很难拿出让别人信服的证据，最终讨论出一个合理的假设，进行建模。
有学生想到要将这个过程数学化，并对同组学生的观点提出了质疑。这个过程虽然像个辩论会，但在这个过程中，实际上是一次思维的碰撞。最终学生们根据自己的经验和数学知识，做出了用“平均数”模型来解决问题的假设。
三、重视思想，提炼方法，优化建模过程
无论是概念的建立、规律的探索，还是问题的解决，核心问题都在于数学思维方法的建立。在学生讨论的过程中，自然而然地就会从实际问题过渡到数学问题。不是必要情况下，教师不要发表自己的观点，让学生去争论。只有这样，才能使他们对建模感受更深刻、对建模更感兴趣。
比如，在“圆的周长”的课堂教学中，在建立“周长公式”数学模型时，要重点突出该模型相对应的“数学思想方法”的建模过程。一是转化思想，就是将未知的转变为已知的，这与过去的知识学习经验相同;二是“化曲为直”思想，该思想是对其他思想的提炼与概括，能够促进数学模型的建立。
在“割草”问题中，最重要的方法就是运用平均数的知识，帮助解决问题。在逐步讨论中，开始有学生通过寻找数据中的各种关系或者是趋势，来确定选择哪个员工。如有的学生想到了除草量与工作时间之间的关系，应该选除草量大但工作时间短的员工。有学生认为，应该选择那种用时少，赚钱多的员工。但是也出现了其他想法，有学生认为，如果给员工更多的工作时间，他们可以赚更多的钱。还有的组把时间用在考虑工作时间和赚钱的关系上。最终，通过学生的激烈讨论，得出了一个能让大多数人信服的结论，就是用比率（驾驶公里数/每小时）来进行建模。
四、回归生活，变换情境，拓展模型外延
人类的认知过程是从感性认识到理性认识的周而复始、螺旋上升的过程。从实际的问题体验概括提取，初步建立起对应的数学模型，并非学生认知的结束，还要让学生将数学模型还原实际问题，使得已经建成的数学模型继续扩大和升级。
比如，作为一个初步建立的“鸡兔同笼”数学模型，它是通过“鸡”和“兔子”来研究和解决问题而建立的模型。但是，在建立模型的过程中不能将所有类似的东西耗尽，教师应引导学生继续扩大调查范围并分析在不同情况下该模型的稳定性。可以列举“某班出游划船，全班共有24人，已知大船坐6人，小船坐4人，该班一共租了5条船，请问大船、小船各租了几条？”“在数学竞赛中，答对一题得10分，答错一题扣5分，满分为100分，已知甲学生一共得了85分，请问他答对了几道题、答错了几道题？”等几个问题供学生研究，使模型不断丰富和扩展。
又如，“割草”问题模型，可以使用在其他关于平均数的问题模型中。如，算平均人数、平均增长率等。在生活中，有很多实际问题都会用到平均数的知识，只要教师善于发现、归纳、总结，将这些问题收集起来，在教学平均数的时候就可以拿出来加以设计，成为教学实例。
模型思想在小学课堂中的运用，有利于培养学生的建模意识和能力。数学建模可能更适合在数学活动课上进行，让学生大胆发表自己的想法，有助于培養学生分析问题的能力、模型思想、应用能力，学生的能力会在建模的过程中得到发展。
（作者单位：江苏省南通市北城小学）
（责任编辑 晓寒）
一、充分感知，积累表象，培养建模基础
数学模型所注意的对象是大多数都具有共性的一类事物。所以，教师要先给学生提供丰富的感性材料，尽量多地让学生从各个方面去了解事物间的各种关系，从而达到对这类事物全面认识的效果，也为数学模型的正确建立奠定必要的基础。
比如，“凑十法”这个数学模型的建立过程便是一个持续感知和累积的过程。首先，通过9加一位数的教学，让学生基本掌握“凑十”的思路和方法，并且引导他们运用不同的方法计算。最后，在进行8、7、6、5加一位数的教学时，要鼓励学生采用自己最擅长的方法进行计算。让学生通过观察、比较、探索、推理等过程，体会到“凑十法”的本质，为建立“凑十法”数学模型打下牢固的基础，做好充足的准备。
又如，在“割草”问题中，花园公司老板为了选择优秀员工，获取了一些员工的部分工作资料作为参考。老板有这些员工在去年12月、今年1月和2月的工作信息，包括每位员工每月的工作时间、除草量、销售其他产品的销售额以及每月驾驶除草机的公里数。草坪有三种不同大小的规模，还有其他因素影响。在这个过程中，学生就开始充分感知问题，积累表象。首先，学生们都会不由自主地去观察所提供的信息，从信息中获取一些重要的资料。在这个过程中让学生分组讨论，建模过程本身就是一个小组合作学习的过程，它需要具备一定的生活经验和一些数学知识。有的学生认为一项或几项表现出色的人就应该被选上。如，有的学生认为赵平应当被选上，因为他的工作时间最长，每月驾驶割草机的公里数也较高，钱赚得也不少……这个想法符合大多数学生的想法。
与此同时，也有部分学生从其他角度分析。例如，有学生从专长的角度来选择，孙新最适合销售，因为他的销售业绩高;钱进更适合割小草坪，等等。因为缺少更多信息，学生就用自己的生活经验去猜测，弥补这些信息。选专门从事某一项自己最专长的工作，如公司主要以除草为主，所以选有除草专长的员工，等等。还有的学生考虑了根据工作任务的重要程度来决定选谁。
在这个阶段，学生们各抒己见，因为没有明确的方法去解决这个问题，学生的思维都局限于过去的学习经验。从这个方面分析，因为小学生从数学知识的储备和生活经验上来说，都是有局限的，他们只能从已知条件中获得一些有限的信息。
二、组织跃进，抽象本质，完成模型构建
将实际问题抽象成数学模型，是数学教学的任务之一。但详细生动的数学课堂情境仅仅是为建立数学模型提供了可能，若是忽略了从具体到概括的巧妙过渡，这样的过程就称不上是数学模型构建了。
比如“平行与相交”的问题。只让学生感知路灯、操场跑道、电线杆上的电线、门的左右两条边、课桌的桌角、练习本的横线等例子，而没有透过现象看本质的过程。当学生从实例中提炼出“平行线”这个数学模型时，展现在大家面前的肯定是那些各种各样的具体的实物，而不是我们想要他们得到的那些具备概括意义的数学模型。“平行”这个问题的实质就是“在同一平面，使两条直线之间的距离始终保持不变，这样的两条直线称之为平行”。教师应该把学生注意到的重点从实例变为“平行”问题的实质，让学生感受到质的飞跃的学习过程。在这一过程中，教师应引导学生通过比较、分析、归纳等一系列的思维活动并从中提取出本质，揭示该对象的本质特征。
在“割草”问题中，学生会在讨论的过程中逐渐发现需要计算平均数。根据学生对问题的理解，有的学生从感性的角度去分析，有的学生从理性的角度去分析。这没有谁对谁错，只要言之有理，能让他人信服即可。显然从感性的角度去分析该问题的学生很难拿出让别人信服的证据，最终讨论出一个合理的假设，进行建模。
有学生想到要将这个过程数学化，并对同组学生的观点提出了质疑。这个过程虽然像个辩论会，但在这个过程中，实际上是一次思维的碰撞。最终学生们根据自己的经验和数学知识，做出了用“平均数”模型来解决问题的假设。
三、重视思想，提炼方法，优化建模过程
无论是概念的建立、规律的探索，还是问题的解决，核心问题都在于数学思维方法的建立。在学生讨论的过程中，自然而然地就会从实际问题过渡到数学问题。不是必要情况下，教师不要发表自己的观点，让学生去争论。只有这样，才能使他们对建模感受更深刻、对建模更感兴趣。
比如，在“圆的周长”的课堂教学中，在建立“周长公式”数学模型时，要重点突出该模型相对应的“数学思想方法”的建模过程。一是转化思想，就是将未知的转变为已知的，这与过去的知识学习经验相同;二是“化曲为直”思想，该思想是对其他思想的提炼与概括，能够促进数学模型的建立。
在“割草”问题中，最重要的方法就是运用平均数的知识，帮助解决问题。在逐步讨论中，开始有学生通过寻找数据中的各种关系或者是趋势，来确定选择哪个员工。如有的学生想到了除草量与工作时间之间的关系，应该选除草量大但工作时间短的员工。有学生认为，应该选择那种用时少，赚钱多的员工。但是也出现了其他想法，有学生认为，如果给员工更多的工作时间，他们可以赚更多的钱。还有的组把时间用在考虑工作时间和赚钱的关系上。最终，通过学生的激烈讨论，得出了一个能让大多数人信服的结论，就是用比率（驾驶公里数/每小时）来进行建模。
四、回归生活，变换情境，拓展模型外延
人类的认知过程是从感性认识到理性认识的周而复始、螺旋上升的过程。从实际的问题体验概括提取，初步建立起对应的数学模型，并非学生认知的结束，还要让学生将数学模型还原实际问题，使得已经建成的数学模型继续扩大和升级。
比如，作为一个初步建立的“鸡兔同笼”数学模型，它是通过“鸡”和“兔子”来研究和解决问题而建立的模型。但是，在建立模型的过程中不能将所有类似的东西耗尽，教师应引导学生继续扩大调查范围并分析在不同情况下该模型的稳定性。可以列举“某班出游划船，全班共有24人，已知大船坐6人，小船坐4人，该班一共租了5条船，请问大船、小船各租了几条？”“在数学竞赛中，答对一题得10分，答错一题扣5分，满分为100分，已知甲学生一共得了85分，请问他答对了几道题、答错了几道题？”等几个问题供学生研究，使模型不断丰富和扩展。
又如，“割草”问题模型，可以使用在其他关于平均数的问题模型中。如，算平均人数、平均增长率等。在生活中，有很多实际问题都会用到平均数的知识，只要教师善于发现、归纳、总结，将这些问题收集起来，在教学平均数的时候就可以拿出来加以设计，成为教学实例。
模型思想在小学课堂中的运用，有利于培养学生的建模意识和能力。数学建模可能更适合在数学活动课上进行，让学生大胆发表自己的想法，有助于培養学生分析问题的能力、模型思想、应用能力，学生的能力会在建模的过程中得到发展。
（作者单位：江苏省南通市北城小学）
（责任编辑 晓寒）