论文部分内容阅读
平面几何中的证明与计算等问题，大多数都能运用推理论证的方法完成，但有些证明与计算运用推理论证的方法需要作很多辅助线才能完成并且非常复杂，有时还无法找到突破口，这时不妨换一种视角：用坐标法来解决，也就是通过建立直角坐标系，将平面图形置于平面直角坐标系中，先用坐标和方程表示相应的几何元素，然后通过代数运算解决代数问题，最后解释代数运算结果的几何意义，得到几何问题的结论.本文以近几年的中考试题为例，通过对此类问题的解题思路分析，让学生在问题化解中体会“坐标法”的简捷性，数形结合与转化思想的重要性，以提升他们分析与解决此类问题的能力。
例1：（2007年·广东）在Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，连接EC，取EC的中点M，连接DM和BM.
（1）若点D在AC边上，点E在AB边上且不与点B重合，如图1：探索BM，DM的关系并给予证明;
（2）如果将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图2，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例;如果成立，请给予证明.
分析：用坐标法解几何题，首先要建立平面直角坐标系，根据图形的特点，使所建的坐标系越特殊越好，不要任意建立，本题中以A为坐标原点，AC所在直线为轴来建立;其次要把图中的各点的坐标表示出来（这一步很关键）;最后计算分析归纳.
解：（1）BM，DM的关系是互相垂直且相等，其理由如下：以A为原点，直线AC为轴，建立如图3所示的直角坐标系，连接BD.
设点D的坐标为，点C的坐标为，因为△ABC、△ADE均为等腰直角三角形，所以点E的坐标为，点B的坐标为，则点M的坐标为.∵，∴，∴BM=DM.又∵，∴，由勾股定理的逆定理得：∠BMD=90°，∴BM⊥DM.∴BM，DM的关系是互相垂直且相等.
（2）旋转后（1）中的结论仍成立.理由如下：以点A为坐标原点，直线AC为轴，建立如图4所示的平面直角坐标系，∵△ABC是等腰直角三角形，设点C的坐标为，则点B的坐标为.
设点D的坐标为，由题意得：.作DG⊥AC于G，作EF⊥GD的延长线于点F，连接BD.∵△ADE是等腰直角三角形，∴△ADG≌△DEF，∴DF=AG=，EF=DG=，∴点E的坐标为，点M的坐标为，∴，，∴，∴BM=DM，又∵，∴，∴∠BDM=90°，∴BM，DM的关系依然是BM⊥DM，且BM=DM.
点评：（1）本题第1问属于特殊情况，是比较常规的几何推理，不需要借助坐标就能轻松给出解答，但为了第2问顺利解决，还是用了坐标法，目的是启发同学们设出D，C的坐标后，想办法表示出B，E，M的坐标;（2）坐标法通过常规的代数运算，可以解决复杂的几何问题，同学们要多理解加深印象！
例2：（2017年·福建）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M为AB的中点，D是射线BC上的一个动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED，N为ED的中点，连接AN，MN。①如图6，当BD=2时，AN= ，NM与AB的位置关系是 ;②当时，①依题意补全图7;②判断（1）中NM与AB的位置关系是否发生变化，并证明你的结论;③连接ME，在点D运动的过程中，当BD的长为何值时，ME的长最小？最小值是多少？请直接写出结果。
分析：借助直角建立坐标系比较简单明了，求点的坐标时，注意过这点作坐标轴的垂线，利用全等或相似来确定横、纵坐标。
解：如图8，以C为坐标原点，直线CB为轴建立直角坐标系，则点A（0，4），点B（4，0），作EF⊥轴于点F.
∵M为AB的中点，∴点M的坐标为（2，2），设点D的坐标为，其中a≤4.根据题意可得：△ACD≌△EFA，∴EF=AC=4，AF=CD=a，∴FC=AF+AC=a+4，∴点E的坐标为（4，a+4），從而点N的坐标为。①当BD=2时，点D（2，0），则点E（4，6），点N（3，3）.∴.由点A（0，4），B（4，0）得直线AB的解析式为，由点M（2，2），点N（3，3）得直线MN的解析式为，.②①补全图形，如图9;②MN与AB的位置关系不变.理由如下：由点M（2，2），N得直线MN的解析式为，而直线AB仍然是，;③∵点M（2，2），点E（4，a+4），∴ME=，∴当a=-2时，ME的长有最小值，最小值为2，此时BD=4-a=4-（-2）=6.
点评：本题（1）、（2）问可由勾股定理求AN的长，可证△ACD∽△AMN得MN⊥AB，第（3）问的几何解法如下，供同学们参考比较.
通过以上两例的学习理解，用坐标法解几何题其基本步骤可概括为：第一步：建立合适直角坐标系，用坐标表示有关的量;第二步：进行相关的代数运算;第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系。
总之，平面几何中有关证明、计算等问题，如果运用平面几何的知识解决很难找到突破口时，就可考虑运用坐标方法来解决，将几何问题转化为代数问题，这不仅培养了数形结合和转化的数学思想，还为同学们进入高中学习解析几何打下了基础！
例1：（2007年·广东）在Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，连接EC，取EC的中点M，连接DM和BM.
（1）若点D在AC边上，点E在AB边上且不与点B重合，如图1：探索BM，DM的关系并给予证明;
（2）如果将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图2，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例;如果成立，请给予证明.
分析：用坐标法解几何题，首先要建立平面直角坐标系，根据图形的特点，使所建的坐标系越特殊越好，不要任意建立，本题中以A为坐标原点，AC所在直线为轴来建立;其次要把图中的各点的坐标表示出来（这一步很关键）;最后计算分析归纳.
解：（1）BM，DM的关系是互相垂直且相等，其理由如下：以A为原点，直线AC为轴，建立如图3所示的直角坐标系，连接BD.
设点D的坐标为，点C的坐标为，因为△ABC、△ADE均为等腰直角三角形，所以点E的坐标为，点B的坐标为，则点M的坐标为.∵，∴，∴BM=DM.又∵，∴，由勾股定理的逆定理得：∠BMD=90°，∴BM⊥DM.∴BM，DM的关系是互相垂直且相等.
（2）旋转后（1）中的结论仍成立.理由如下：以点A为坐标原点，直线AC为轴，建立如图4所示的平面直角坐标系，∵△ABC是等腰直角三角形，设点C的坐标为，则点B的坐标为.
设点D的坐标为，由题意得：.作DG⊥AC于G，作EF⊥GD的延长线于点F，连接BD.∵△ADE是等腰直角三角形，∴△ADG≌△DEF，∴DF=AG=，EF=DG=，∴点E的坐标为，点M的坐标为，∴，，∴，∴BM=DM，又∵，∴，∴∠BDM=90°，∴BM，DM的关系依然是BM⊥DM，且BM=DM.
点评：（1）本题第1问属于特殊情况，是比较常规的几何推理，不需要借助坐标就能轻松给出解答，但为了第2问顺利解决，还是用了坐标法，目的是启发同学们设出D，C的坐标后，想办法表示出B，E，M的坐标;（2）坐标法通过常规的代数运算，可以解决复杂的几何问题，同学们要多理解加深印象！
例2：（2017年·福建）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M为AB的中点，D是射线BC上的一个动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED，N为ED的中点，连接AN，MN。①如图6，当BD=2时，AN= ，NM与AB的位置关系是 ;②当时，①依题意补全图7;②判断（1）中NM与AB的位置关系是否发生变化，并证明你的结论;③连接ME，在点D运动的过程中，当BD的长为何值时，ME的长最小？最小值是多少？请直接写出结果。
分析：借助直角建立坐标系比较简单明了，求点的坐标时，注意过这点作坐标轴的垂线，利用全等或相似来确定横、纵坐标。
解：如图8，以C为坐标原点，直线CB为轴建立直角坐标系，则点A（0，4），点B（4，0），作EF⊥轴于点F.
∵M为AB的中点，∴点M的坐标为（2，2），设点D的坐标为，其中a≤4.根据题意可得：△ACD≌△EFA，∴EF=AC=4，AF=CD=a，∴FC=AF+AC=a+4，∴点E的坐标为（4，a+4），從而点N的坐标为。①当BD=2时，点D（2，0），则点E（4，6），点N（3，3）.∴.由点A（0，4），B（4，0）得直线AB的解析式为，由点M（2，2），点N（3，3）得直线MN的解析式为，.②①补全图形，如图9;②MN与AB的位置关系不变.理由如下：由点M（2，2），N得直线MN的解析式为，而直线AB仍然是，;③∵点M（2，2），点E（4，a+4），∴ME=，∴当a=-2时，ME的长有最小值，最小值为2，此时BD=4-a=4-（-2）=6.
点评：本题（1）、（2）问可由勾股定理求AN的长，可证△ACD∽△AMN得MN⊥AB，第（3）问的几何解法如下，供同学们参考比较.
通过以上两例的学习理解，用坐标法解几何题其基本步骤可概括为：第一步：建立合适直角坐标系，用坐标表示有关的量;第二步：进行相关的代数运算;第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系。
总之，平面几何中有关证明、计算等问题，如果运用平面几何的知识解决很难找到突破口时，就可考虑运用坐标方法来解决，将几何问题转化为代数问题，这不仅培养了数形结合和转化的数学思想，还为同学们进入高中学习解析几何打下了基础！