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1 教材分析
《几何概型》是高中数学人教版必修三第三章第三节第一课时的内容，是普通高中在新课程改革的基础上，新增的学习内容，可以看作是古典概型的推广。它将古典概型的试验结果从有限个拓广到无限个，它是继学生在了解和学习了随机事件的概率以及古典概型之后，新引入的一类基本的概率模型，在概率论中有着十分重要的地位和作用。该部分的知识内容将事件发生的概率与构成事件区域的长度（面积或体积）成比例的模型，称之为“几何概型”。在新课程理念的驱动下，教师的教学实践具有非常强的生动性和形象性，以更加有效地激发学生在具体的学习实践中的参与意识，让学生在对学习过程的具体而生动的参与体验的过程中，实现对学习对象的有效理解和把握。几何概型教学与游戏教学相结合，在教学设计的过程中，将几何概型的特点、规律等与概率游戏有效地结合起来，让学生在丰富而有趣的有效实践中，更加直观形象地获得对游戏的丰富而生动的体验过程，从而实现对学习对象的有效理解和把握。
2 教学目标
（1）在理解的基础上掌握几何概型的定义，并能够初步识别简单的几何概型，准确求解概率。
（2）在具体的游戏参与实践中，展开问题探究与实践，通过对比、类比等方法，找到解决几何概型问题的有效方案。
（3）培养学生用数学的眼光分析和看待生活中的问题的习惯，以科学的态度和方法去分析和评价身边的随机现象。培养学生科学的世界观。
3 教学重难点
（1）重点：掌握几何概型的判断方法，以及几何概型中概率的一般公式。
（2）难点：把实验的基本事件和随机事件与某一特定区域及其子区域对应，確定适当的几何范围，并在此过程中，学生的数学建模的有效构建。
4 教学过程
4.1 快问快答，点燃兴趣
师：老师给大家三分钟的时间回顾我们上节课学习的知识，时间到了，我们就开展快问快答游戏，每一个学生的口型必须跟上，才能够在游戏中过关，大家准备好了吗？
（1）古典概型的两个特点。
（2）计算古典概型的公式。
4.2 情境创设，助力兴趣
师：在生活中，我们常常会遇到结果有无穷多的情形，如一条线段或一个面上的任意一点，再如早上学生到校的时间是6：30——7：10之间的任何一个时刻.....，在具体的实验中我们能够发现，得到的结果是无限多个，而且这种新的发现要求我们在具体的学习过程中，通过一种新的方法来求解。首先我们来玩一个游戏，幸运大转盘。
师：大家一边玩一边记录下，在游戏过程中，谁胜利的的次数更多？
生：肯定是代表A区域的学生赢的次数多。
师：事实和大家估计得是否一致呢？
生：是的。
生：A获胜的概率是3/4，由字母A所对应的扇形的面积和整个圆的面积之比是3/4.
师：为什么这样比呢？
生：指针指向哪一个区域内的可能性是均等的，这可以作为基本事件，指针指向圆盘中的任何一个A区域内的范围的事件为A，那么事件的发生的概率P（B）=3/4。
4.3 小组合作，知识建构
小组合作竞赛，在紧张而有序的学习氛围中，交流以下问题：
（1）几何概型的定义
（2）几何概型的特点
（3）几何概型的计算公式
（4）几何概型和古典概型的异同
A组：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何模型，简称为几何概型。
B组：（1）试验中所有可能出现的结果即基本事件有无限多个。
（2）每个基本事件出现的可能性相等。
C组：P（A）=构成A事件的区域长度（面积或提及）/试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
D组：古典概型与几何概型的相同点即基本事件发生的等可能性。
E组：不同点是古典概型的基本事件个数的是有限的，而几何概型的基本事件的个数是无限的;他们的求得的方法也是不同的，古典概型需要通过列举法求得，而几何概型则通过对区域内的几何度量求得。
4.4 实践应用，深化认识
（1）长度相关类型
某人午休醒来，发现表停了，他打开收音机，想通过电台报时调表，求他等待的时间不多于10分钟的概率。
（2）与面积有关的题型
在1万km2的海域中有40km2的大陆架驻藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻探到油层面的概率是多少？
（3）与角度相关德计算
在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM的长小于AC的长的概率。
5 教学反思
5.1 用游戏点燃兴趣的火焰
游戏教学法在高中数学教学实践中的有效运用，能够将复杂的知识简单化、形象化，从而更加有助于学生的认识和理解体验，在具体的教学设计的过程中，教师利用教学对象与游戏的关联点，将知识性的元素创造性地加入到游戏的过程中，让学生在轻松愉悦的游戏氛围中，潜移默化地感受和体验知识和理论在具体的实践中的有效渗透，同时学生对数据的分析理解力、对数学知识的抽象能力以及数学建模等能力，在生动的游戏实践中得到有效地建构。
第一环节的快问快答游戏，在游戏机制的驱动下，学生的思维和兴趣能够得到有效地调动，他们必然会因游戏本身的趣味性和竞争性而自主地行动起来，加上这部分的游戏考察的内容仅为简单的记忆型问题，对学生来说没有太大的难度，因而该游戏情境的创设能够激发学生在具体的学习实践中的有效记忆参与，促进学生对学习效果的高效理解和把握。
在第二环节的游戏过程中，将几何概型教学的内容与转盘游戏有机地结合起来，能够有效地调动学生对游戏过程的参与兴趣，打破传统课堂的学生被动的接受式学习的弊端，让学生在具体而生动的对学习活动的参与实践的过程中，去形象地探索和感知具体的几何概型的求解方式，游戏教学法将抽象、深奥、难以理解的数学知识具体化、浅显化，并进一步使学生感知到几何概型是一种区别于古典概型的一种新的概率类型。让学生在对游戏过程的理解和体验的过程中，直观形象地感知其中的内涵，不仅仅有很强的趣味性，同时也增强了学生对学习过程的高效参与，提高了学生在具体的学习实践中对学习过程的有效理解和认识的程度，使得学习的效果得以更加有效地凸显，同时，在具体的游戏实践的参与过程中，有效地培养了学生用数学的眼光分析和看待生活中的数学问题的习惯，有效地促进了学生的数学抽象能力、逻辑推理能力、直观想象能力等核心素养的培养。5.2 用实践促进学生感知
在具体的学习实践中，游戏与学生具体而生动的小组竞赛游戏结合起来，让学生在小组竞争机制的驱动下，积极地加入到对学习对象的探索、发现、归纳、总结等的过程中，从而使数学建模、数学推理、数学抽象等能力在具体的学生学习实践中得到有效地构建。在具体而生动的学习参与实践中，实现学生的核心素养的有效培养。
因此，在第三部分的小组合作学习实践中，学习组内部是相互合作、相互促进的协同一致的关系，而小组和小组之间则形成了一种无形的竞争氛围，小组与小组之间要展开实力与实力的较量，展开智力与智力的较量，因而，在趣味化的学习实践的开展过程中，学生们在小组竞争的模式的支配下，必然会自觉地、主动地加入到小组内部的团结合作学习实践中去，在具体的对学习对象的讨论和参与的过程中，在多元化的交流体验过程中，实现对学习对象的科学而有效地把握，同时学生们的知识模型也在相互的交流实践中得到有效地建构，有效地促进了学生的数据分析、数学推理等能力的发展。
实践是检验真理的唯一标准，在具体的理论与实践相结合的实践中，学生的几何概型理论能够在与实践具体结合的学习实践中得到有效地建构，从而有效地促进学生的数学建模素养的有效发展。学生的学习过程与实践运用的结合能够有效地提高学生对知识和理论等的理解的程度和深度，从而有效地培养学生用数学的眼光分析和看待生活中的问题的习惯的有效培养，使数学思维在具体的实践应用的过程中得到有效地构建。
（作者单位：兰州新区高级中学）
《几何概型》是高中数学人教版必修三第三章第三节第一课时的内容，是普通高中在新课程改革的基础上，新增的学习内容，可以看作是古典概型的推广。它将古典概型的试验结果从有限个拓广到无限个，它是继学生在了解和学习了随机事件的概率以及古典概型之后，新引入的一类基本的概率模型，在概率论中有着十分重要的地位和作用。该部分的知识内容将事件发生的概率与构成事件区域的长度（面积或体积）成比例的模型，称之为“几何概型”。在新课程理念的驱动下，教师的教学实践具有非常强的生动性和形象性，以更加有效地激发学生在具体的学习实践中的参与意识，让学生在对学习过程的具体而生动的参与体验的过程中，实现对学习对象的有效理解和把握。几何概型教学与游戏教学相结合，在教学设计的过程中，将几何概型的特点、规律等与概率游戏有效地结合起来，让学生在丰富而有趣的有效实践中，更加直观形象地获得对游戏的丰富而生动的体验过程，从而实现对学习对象的有效理解和把握。
2 教学目标
（1）在理解的基础上掌握几何概型的定义，并能够初步识别简单的几何概型，准确求解概率。
（2）在具体的游戏参与实践中，展开问题探究与实践，通过对比、类比等方法，找到解决几何概型问题的有效方案。
（3）培养学生用数学的眼光分析和看待生活中的问题的习惯，以科学的态度和方法去分析和评价身边的随机现象。培养学生科学的世界观。
3 教学重难点
（1）重点：掌握几何概型的判断方法，以及几何概型中概率的一般公式。
（2）难点：把实验的基本事件和随机事件与某一特定区域及其子区域对应，確定适当的几何范围，并在此过程中，学生的数学建模的有效构建。
4 教学过程
4.1 快问快答，点燃兴趣
师：老师给大家三分钟的时间回顾我们上节课学习的知识，时间到了，我们就开展快问快答游戏，每一个学生的口型必须跟上，才能够在游戏中过关，大家准备好了吗？
（1）古典概型的两个特点。
（2）计算古典概型的公式。
4.2 情境创设，助力兴趣
师：在生活中，我们常常会遇到结果有无穷多的情形，如一条线段或一个面上的任意一点，再如早上学生到校的时间是6：30——7：10之间的任何一个时刻.....，在具体的实验中我们能够发现，得到的结果是无限多个，而且这种新的发现要求我们在具体的学习过程中，通过一种新的方法来求解。首先我们来玩一个游戏，幸运大转盘。
师：大家一边玩一边记录下，在游戏过程中，谁胜利的的次数更多？
生：肯定是代表A区域的学生赢的次数多。
师：事实和大家估计得是否一致呢？
生：是的。
生：A获胜的概率是3/4，由字母A所对应的扇形的面积和整个圆的面积之比是3/4.
师：为什么这样比呢？
生：指针指向哪一个区域内的可能性是均等的，这可以作为基本事件，指针指向圆盘中的任何一个A区域内的范围的事件为A，那么事件的发生的概率P（B）=3/4。
4.3 小组合作，知识建构
小组合作竞赛，在紧张而有序的学习氛围中，交流以下问题：
（1）几何概型的定义
（2）几何概型的特点
（3）几何概型的计算公式
（4）几何概型和古典概型的异同
A组：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何模型，简称为几何概型。
B组：（1）试验中所有可能出现的结果即基本事件有无限多个。
（2）每个基本事件出现的可能性相等。
C组：P（A）=构成A事件的区域长度（面积或提及）/试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
D组：古典概型与几何概型的相同点即基本事件发生的等可能性。
E组：不同点是古典概型的基本事件个数的是有限的，而几何概型的基本事件的个数是无限的;他们的求得的方法也是不同的，古典概型需要通过列举法求得，而几何概型则通过对区域内的几何度量求得。
4.4 实践应用，深化认识
（1）长度相关类型
某人午休醒来，发现表停了，他打开收音机，想通过电台报时调表，求他等待的时间不多于10分钟的概率。
（2）与面积有关的题型
在1万km2的海域中有40km2的大陆架驻藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻探到油层面的概率是多少？
（3）与角度相关德计算
在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM的长小于AC的长的概率。
5 教学反思
5.1 用游戏点燃兴趣的火焰
游戏教学法在高中数学教学实践中的有效运用，能够将复杂的知识简单化、形象化，从而更加有助于学生的认识和理解体验，在具体的教学设计的过程中，教师利用教学对象与游戏的关联点，将知识性的元素创造性地加入到游戏的过程中，让学生在轻松愉悦的游戏氛围中，潜移默化地感受和体验知识和理论在具体的实践中的有效渗透，同时学生对数据的分析理解力、对数学知识的抽象能力以及数学建模等能力，在生动的游戏实践中得到有效地建构。
第一环节的快问快答游戏，在游戏机制的驱动下，学生的思维和兴趣能够得到有效地调动，他们必然会因游戏本身的趣味性和竞争性而自主地行动起来，加上这部分的游戏考察的内容仅为简单的记忆型问题，对学生来说没有太大的难度，因而该游戏情境的创设能够激发学生在具体的学习实践中的有效记忆参与，促进学生对学习效果的高效理解和把握。
在第二环节的游戏过程中，将几何概型教学的内容与转盘游戏有机地结合起来，能够有效地调动学生对游戏过程的参与兴趣，打破传统课堂的学生被动的接受式学习的弊端，让学生在具体而生动的对学习活动的参与实践的过程中，去形象地探索和感知具体的几何概型的求解方式，游戏教学法将抽象、深奥、难以理解的数学知识具体化、浅显化，并进一步使学生感知到几何概型是一种区别于古典概型的一种新的概率类型。让学生在对游戏过程的理解和体验的过程中，直观形象地感知其中的内涵，不仅仅有很强的趣味性，同时也增强了学生对学习过程的高效参与，提高了学生在具体的学习实践中对学习过程的有效理解和认识的程度，使得学习的效果得以更加有效地凸显，同时，在具体的游戏实践的参与过程中，有效地培养了学生用数学的眼光分析和看待生活中的数学问题的习惯，有效地促进了学生的数学抽象能力、逻辑推理能力、直观想象能力等核心素养的培养。5.2 用实践促进学生感知
在具体的学习实践中，游戏与学生具体而生动的小组竞赛游戏结合起来，让学生在小组竞争机制的驱动下，积极地加入到对学习对象的探索、发现、归纳、总结等的过程中，从而使数学建模、数学推理、数学抽象等能力在具体的学生学习实践中得到有效地构建。在具体而生动的学习参与实践中，实现学生的核心素养的有效培养。
因此，在第三部分的小组合作学习实践中，学习组内部是相互合作、相互促进的协同一致的关系，而小组和小组之间则形成了一种无形的竞争氛围，小组与小组之间要展开实力与实力的较量，展开智力与智力的较量，因而，在趣味化的学习实践的开展过程中，学生们在小组竞争的模式的支配下，必然会自觉地、主动地加入到小组内部的团结合作学习实践中去，在具体的对学习对象的讨论和参与的过程中，在多元化的交流体验过程中，实现对学习对象的科学而有效地把握，同时学生们的知识模型也在相互的交流实践中得到有效地建构，有效地促进了学生的数据分析、数学推理等能力的发展。
实践是检验真理的唯一标准，在具体的理论与实践相结合的实践中，学生的几何概型理论能够在与实践具体结合的学习实践中得到有效地建构，从而有效地促进学生的数学建模素养的有效发展。学生的学习过程与实践运用的结合能够有效地提高学生对知识和理论等的理解的程度和深度，从而有效地培养学生用数学的眼光分析和看待生活中的问题的习惯的有效培养，使数学思维在具体的实践应用的过程中得到有效地构建。
（作者单位：兰州新区高级中学）