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【摘要】本文将基于“推理能力、空间观念”这一视角,按“问题—论述—操作”的顺序对苏教版六年级下册“平面图形的周长和面积复习”这节课展开教学研究。通过研究阐明:在本节课中,如何让学生的推理能力得以“生长”,空间观念得以“扎根”,让数学素养的形成不再是“镜中月,水中花”。
【关键词】推理能力;空间观念;周长;面积
现阶段小学数学教育工作者均意识到,未来的小学数学教育将更注重学生在数学学习过程中数学思想方法的习得、问题解决能力的提升及数学素养的形成。但如果脫离了《2011版数学课程课准》(以下简称课标)中的“十大核心观念”,那么以上的期望便成了“镜中月,水中花”。笔者以苏教版六年级“平面图形的周长和面积复习”这节课作为研究对象,通过挖掘这节课中所能体现的核心观念,落实这些核心观念,让学生数学素养的提升在教学中不再是一句空话。
一、问题
在上本节课之前,笔者对学生进行了前测,通过对前测的分析我发现学生存在以下三个问题。
(一)公式的罗列缺少关联
通过对学生复习单的研究发现,约30%的学生能对图形面积公式建立起部分联系;约4%的学生能对公式建立起完整的联系,但联系的依据缺乏理性的支撑。这个调查显示,学生能够将图形面积公式罗列出来,但缺乏对公式进行内部关联的意识,对公式的形成与发展过程无深刻的印象,对探究公式过程中所运用的数学思想方法不甚了解。
(二)图形的变化缺少理性
通过“长方形拉成平行四边形后周长与面积的变化”“分割圆转化成长方形后周长与面积的变化”“长方体变成平行四边形体后正面周长和面积的变化”这三个问题对学生前测发现,第一项错误率约为19%,第二项错误率为39%,第三项错误率约为60%。这个调查显示,学生对图形变化前后周长与面积发生的变化仅停留在记忆的层面,缺乏用“变与不变”的理性思维去分析。
(三)面积的变换缺少想象
通过对学生“在边长1厘米的方格中画一个与三角形面积相等的梯形(要求写出解决这个问题的步骤)”调查发现,根据公式倒推并运用假设法求出梯形上、下底及高进行“等积变形”的约占90%,将三角形的底分一部分变成后来梯形的上底进行“等积变形”的约占3%。由此可以看出学生对图形面积的恒等变换仅停留在用数的角度去观察、思考,而对图形变化过程的想象则浅尝辄止。
二、论述
(一)归因
“学生对于公式记忆的碎片化”“对于图形变化缺少理性思维”以及“对于面积的恒等变换缺少想象”这三个问题实则反映了课标中两个核心观念落实得不到位,这两个核心观念分别是“空间观念”和“推理能力”。
(二)研讨
根据课标中“空间观念”的内涵,笔者认为教学应着力于“抽象”“描述图形的运动和变化”这些关键词句,而要落实这些关键词句,离不开本节课的另一个维度,即“推理能力”。因此,教师一方面必须引导学生对图形的相关概念进行抽象和概括,另一方面必须在图形的运动、变化中引导学生运用“变与不变”的方法去观察、思考、推理、验证,通过这两个方面的实施帮助学生发展推理能力,获得初步的空间观念。
综上所述,如果把“空间观念”比喻成这节课的血肉,那么推理能力则是这节课的骨干,两者应该是相互交织、共同发展的关系。
三、操作
(一)运用“两种推理”促使学生推理能力得以“生长”
1.运用合情推理描绘概念的“轮廓”。
在学生的心中已对平面图形周长和面积的概念建立起了形象化的表征,在总复习课中我们应尝试在学生的互动过程中运用归纳、类比等方法推出周长和面积的描述性概念。如,在学生复习好平面图形的周长公式后,笔者组织学生讨论“尽管这些图形的周长公式不同,但有没有相同的地方?(PPT顺势对所有图形的周长进行动画闪烁)”,学生发现所有平面图形的周长都是“一圈的长度”,因此笔者引导学生推出:平面图形一周的长度叫周长。依此方式,笔者又组织学生对面积概念展开了归纳。通过这样的推理过程可以让学生更加抽象、严谨地描绘周长和面积概念的“轮廓”。
2.运用演绎推理生长知识的“枝丫”。
平面图形面积公式的整理需对公式之间的相互关系建立起联系,这几乎是所有老师的共识。但不以教材中的面积复习模型展开教学,而以学生已有的经验将图形面积公式建立起联系展开教学的老师却占少数,因此,对于这一块的复习很多老师总有牵着学生走的感觉。笔者认为,平面图形面积公式可以让学生凭借已有的经验进行链接,通过发散性的思考、多角度的链接来培养学生的创新意识。如,笔者通过让学生思考“你觉得哪些图形面积公式之间是有联系的?请用箭头将它们建立起联系并说出你推导的过程”,实践显示,学生对不同公式体系的建构显示出推理的角度不一样,这样的过程可以使知识生长出“枝丫”。
(二)运用“变与不变”促使学生空间观念得以“扎根”
心理学上认为空间观念应包括知觉、想象和推理。笔者发现,学生的空间观念仅停留在感知方面,想象和推理不同步导致推理的过程不够严密,狭隘的“等积变形”过程束缚了学生的想象力。因此,笔者通过以下三个方面的教学措施让空间观念得以“扎根”。
1.紧扣“变与不变”思想,让感知更有靶向。
在图形的“等积变形”中,教师应激发学生的问题意识,引导学生在图形的转化过程中思考“什么变了,什么没变”,在实验中验证“变与不变”,最后再运用“变与不变”想象图形的恒等变换,通过这样的方式能使学生的感知更有靶向。
如:请以圆的半径为一个长度单位,画出转化后长方形的长大约是几个这样的长度单位,并用半径表示出长方形的面积公式。思考:在圆转化成长方形的过程中什么变了,什么没变?
实践显示,当学生带着“变与不变”对问题展开思考、猜想、推理、验证时,“圆到长方形的变换过程中周长变大,面积不变”这样的结论有助于被学生感知。
2.运用“数形结合”思想,让推理更严密。
在图形“等积变形”过程中,教师引导学生想象图形变化的同时还应及时地引导学生用“数”的方式去验证,只有“数形结合”才能使学生的推理更加严密。
如:对于“梯形转化成三角形”,教师要一边引导学生想象梯形变成三角形的过程,一边组织学生利用计算的方法展开验证,最后根据梯形的面积公式推理发现:(a+b)h÷2=(0+A)h÷2=Ah÷2(A=a+b)就是刚刚的变化过程。
3.丰富“等积变形”素材,让想象更发散。
实际上,上述图形的“等积变形”仅是图形恒等变形的一个方面,教师应丰富“等积变形”的素材,使学生多角度、多方式地运用“变与不变”展开发散性的想象。如,在上述梯形变换成三角形的案例中,可以增加“角度变化”这个维度,还可以对画好的三角形再次“等积变形”;又如,图形的“等积变形”除了切割、平移,还可以用旋转等方式进行变换。
综上所述,基于“空间观念”和“推理能力”的视角来开发、实施“平面图形周长和面积复习”这节课不仅有助于学生数学思想方法的获得、问题解决能力的提升,更有助于学生数学素养的形成。
【参考文献】
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2011年版)[S].北京:北京师范大学出版社,2012.
[2]王林.小学数学课程标准研究与实践[M].南京:江苏教育出版社,2011.
【关键词】推理能力;空间观念;周长;面积
现阶段小学数学教育工作者均意识到,未来的小学数学教育将更注重学生在数学学习过程中数学思想方法的习得、问题解决能力的提升及数学素养的形成。但如果脫离了《2011版数学课程课准》(以下简称课标)中的“十大核心观念”,那么以上的期望便成了“镜中月,水中花”。笔者以苏教版六年级“平面图形的周长和面积复习”这节课作为研究对象,通过挖掘这节课中所能体现的核心观念,落实这些核心观念,让学生数学素养的提升在教学中不再是一句空话。
一、问题
在上本节课之前,笔者对学生进行了前测,通过对前测的分析我发现学生存在以下三个问题。
(一)公式的罗列缺少关联
通过对学生复习单的研究发现,约30%的学生能对图形面积公式建立起部分联系;约4%的学生能对公式建立起完整的联系,但联系的依据缺乏理性的支撑。这个调查显示,学生能够将图形面积公式罗列出来,但缺乏对公式进行内部关联的意识,对公式的形成与发展过程无深刻的印象,对探究公式过程中所运用的数学思想方法不甚了解。
(二)图形的变化缺少理性
通过“长方形拉成平行四边形后周长与面积的变化”“分割圆转化成长方形后周长与面积的变化”“长方体变成平行四边形体后正面周长和面积的变化”这三个问题对学生前测发现,第一项错误率约为19%,第二项错误率为39%,第三项错误率约为60%。这个调查显示,学生对图形变化前后周长与面积发生的变化仅停留在记忆的层面,缺乏用“变与不变”的理性思维去分析。
(三)面积的变换缺少想象
通过对学生“在边长1厘米的方格中画一个与三角形面积相等的梯形(要求写出解决这个问题的步骤)”调查发现,根据公式倒推并运用假设法求出梯形上、下底及高进行“等积变形”的约占90%,将三角形的底分一部分变成后来梯形的上底进行“等积变形”的约占3%。由此可以看出学生对图形面积的恒等变换仅停留在用数的角度去观察、思考,而对图形变化过程的想象则浅尝辄止。
二、论述
(一)归因
“学生对于公式记忆的碎片化”“对于图形变化缺少理性思维”以及“对于面积的恒等变换缺少想象”这三个问题实则反映了课标中两个核心观念落实得不到位,这两个核心观念分别是“空间观念”和“推理能力”。
(二)研讨
根据课标中“空间观念”的内涵,笔者认为教学应着力于“抽象”“描述图形的运动和变化”这些关键词句,而要落实这些关键词句,离不开本节课的另一个维度,即“推理能力”。因此,教师一方面必须引导学生对图形的相关概念进行抽象和概括,另一方面必须在图形的运动、变化中引导学生运用“变与不变”的方法去观察、思考、推理、验证,通过这两个方面的实施帮助学生发展推理能力,获得初步的空间观念。
综上所述,如果把“空间观念”比喻成这节课的血肉,那么推理能力则是这节课的骨干,两者应该是相互交织、共同发展的关系。
三、操作
(一)运用“两种推理”促使学生推理能力得以“生长”
1.运用合情推理描绘概念的“轮廓”。
在学生的心中已对平面图形周长和面积的概念建立起了形象化的表征,在总复习课中我们应尝试在学生的互动过程中运用归纳、类比等方法推出周长和面积的描述性概念。如,在学生复习好平面图形的周长公式后,笔者组织学生讨论“尽管这些图形的周长公式不同,但有没有相同的地方?(PPT顺势对所有图形的周长进行动画闪烁)”,学生发现所有平面图形的周长都是“一圈的长度”,因此笔者引导学生推出:平面图形一周的长度叫周长。依此方式,笔者又组织学生对面积概念展开了归纳。通过这样的推理过程可以让学生更加抽象、严谨地描绘周长和面积概念的“轮廓”。
2.运用演绎推理生长知识的“枝丫”。
平面图形面积公式的整理需对公式之间的相互关系建立起联系,这几乎是所有老师的共识。但不以教材中的面积复习模型展开教学,而以学生已有的经验将图形面积公式建立起联系展开教学的老师却占少数,因此,对于这一块的复习很多老师总有牵着学生走的感觉。笔者认为,平面图形面积公式可以让学生凭借已有的经验进行链接,通过发散性的思考、多角度的链接来培养学生的创新意识。如,笔者通过让学生思考“你觉得哪些图形面积公式之间是有联系的?请用箭头将它们建立起联系并说出你推导的过程”,实践显示,学生对不同公式体系的建构显示出推理的角度不一样,这样的过程可以使知识生长出“枝丫”。
(二)运用“变与不变”促使学生空间观念得以“扎根”
心理学上认为空间观念应包括知觉、想象和推理。笔者发现,学生的空间观念仅停留在感知方面,想象和推理不同步导致推理的过程不够严密,狭隘的“等积变形”过程束缚了学生的想象力。因此,笔者通过以下三个方面的教学措施让空间观念得以“扎根”。
1.紧扣“变与不变”思想,让感知更有靶向。
在图形的“等积变形”中,教师应激发学生的问题意识,引导学生在图形的转化过程中思考“什么变了,什么没变”,在实验中验证“变与不变”,最后再运用“变与不变”想象图形的恒等变换,通过这样的方式能使学生的感知更有靶向。
如:请以圆的半径为一个长度单位,画出转化后长方形的长大约是几个这样的长度单位,并用半径表示出长方形的面积公式。思考:在圆转化成长方形的过程中什么变了,什么没变?
实践显示,当学生带着“变与不变”对问题展开思考、猜想、推理、验证时,“圆到长方形的变换过程中周长变大,面积不变”这样的结论有助于被学生感知。
2.运用“数形结合”思想,让推理更严密。
在图形“等积变形”过程中,教师引导学生想象图形变化的同时还应及时地引导学生用“数”的方式去验证,只有“数形结合”才能使学生的推理更加严密。
如:对于“梯形转化成三角形”,教师要一边引导学生想象梯形变成三角形的过程,一边组织学生利用计算的方法展开验证,最后根据梯形的面积公式推理发现:(a+b)h÷2=(0+A)h÷2=Ah÷2(A=a+b)就是刚刚的变化过程。
3.丰富“等积变形”素材,让想象更发散。
实际上,上述图形的“等积变形”仅是图形恒等变形的一个方面,教师应丰富“等积变形”的素材,使学生多角度、多方式地运用“变与不变”展开发散性的想象。如,在上述梯形变换成三角形的案例中,可以增加“角度变化”这个维度,还可以对画好的三角形再次“等积变形”;又如,图形的“等积变形”除了切割、平移,还可以用旋转等方式进行变换。
综上所述,基于“空间观念”和“推理能力”的视角来开发、实施“平面图形周长和面积复习”这节课不仅有助于学生数学思想方法的获得、问题解决能力的提升,更有助于学生数学素养的形成。
【参考文献】
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2011年版)[S].北京:北京师范大学出版社,2012.
[2]王林.小学数学课程标准研究与实践[M].南京:江苏教育出版社,2011.