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摘 要：代数思想是数学思想的重要内容之一，它有助于学生理解现实世界中的数量关系和变化规律，有助于学生数学思考、解决问题等多方面能力的发展。小学数学教学中，教师应基于学生的认知水平、生活经验，有意识地培养学生运用数量关系进行思考，运用字母符号进行表达，有机渗透代数思想，以实现从算术思维向代数思维的跨越。
关键词：小学数学 代数思想 符号意识
《义务教育数学课程标准（2011年版）》把“双基”扩展为“四基”，充分肯定了数学基本思想在义务教育阶段数学学习中的重要地位。应该说，这是数学课程目标现代化演变的一个重要特征。代数思想是数学思想的重要内容之一，它有助于学生理解现实世界中的数量关系和变化规律，有助于学生数学思考、解决问题等多方面能力的发展。对小学生来说，由算术到代数是一个较难的思维提升过程。如何在教学中适当渗透代数思想
呢？下面结合《用字母表示数》一课的教学谈一点我的尝试和认识。
一、基于旧知，激活经验，感悟“变”与“不变”的思想
对于“用字母表示数”，学生在之前的学习中有过接触，但这种认识是散乱、模糊的，缺乏系统的学习和明确的提炼。因此，课前我让学生回忆和梳理有关“用字母表示数”的知识，并在小组内汇报交流，旨在激活学生已有的知识经验——
师 有关“用字母表示数”，在之前的学习中我们有过接触，课前同学们也进行了回忆和梳理，下面我们一起来交流一下。
生 扑克牌中A=1，J=11，Q=12，K=13。
生 我们遇到过找规律的题目，如2，4，6，m，10，12，14，n，18。这里的m表示8，n表示16。
生 我们四年级学过的数对（a，4）中，a可以表示第1列，也可以表示第2列、第3列，等等。
生 字母还可以表示运算律、计算公式，比如a+b=b+a，S=a×h，S=（a+b）×h÷2……
师 这里的a、b、h可以表示哪些数呢？
……
这样的梳理，打破了学生惯有的思维：原来我们不仅可以用具体的数来表示事物，或者进行相关运算，还可以“以符号来替代数”进行表达或运算；原来符号不仅可以表示恒定不变的量，还可以表示普通的规则（运算律）中的变量，表示一组相关变量关系（计算公式）中的变量，还可以取不同的值。实例让学生感受到：同一个量可以用不同的字母来表示，如可以用a来表示第几列，还可以用b或其他字母来表示；不同的量也可以用同一个字母来表示，如可以用a来表示第几列，还可以用它来表示加数、平面图形的底边等；而且同样是a，有时只能表示某一个确定的数，有时则能表示任何自然数或者任意数。
这里的从“数”到“符号”、从“不变”到“变”的感悟，正是学生初步形成代数思想的重要基础，对于学生从算术思维跨越到代数思维起着关键的转折作用；同时，渗透其中的方程思想、集合思想也有效地开阔了学生的思维方式。
二、基于生活，关注建模，实现从“数”到“式”的飞跃
国外学者R.Sutherland等人指出，代数是表示一般性（或普遍性）的一种方法，是对实际情形的一种建模。学生学习代数，首先必须将实际生活情境中的问题转化为数学问题，通过对数量关系的操作与观察，将问题转译成代数式子。这种抽象化、符号化的操作是进一步学习代数的基本技能，但对小学生来说还是有困难的。因此，教学中我尝试通过以下两个路径，帮助学生实现从“数”到“式”的认知上的飞跃。
（一）从具体到抽象，适度概括，形成符号意识
培养符号意识是学生代数思维形成的起点。以往的学习中，学生习惯用算术思维去解决问题：在一定的情境中，通过具体的数字运算从已知量得出未知量。而代数思维是一种形式的符号操作，它是去情境的，需要学生用符号或者符号组成的代数式、方程等去表示数学中的对象或结构。显然，从思维发展的角度看，这样的思考更具一般性，对学生的抽象概括水平要求更高，更有助于培养学生的高层次思维。为了帮助学生跨越这个障碍，我设计了如下教学环节——
师 摆1个三角形需要3根小棒；摆2个三角形用小棒的根数是2×3；摆3个三角形用小棒的根数是（）×3……
照这样说下去，我们可以提出多少个这样的问题？三角形的个数与所用小棒根数有什么关系？
（学生回答。）
师 摆a个三角形用小棒的根数是（）。
生 a×3。
师 为什么可以用a×3来表示？这里的a表示什么？它可以是哪些数？
生 任意自然数。
师 a×3表示什么？
生 数量、数量关系。
师 你觉得用a×3这个含有字母的式子表示小棒的根数怎样？
生 简洁、明了，把所有情况都概括进去了。
师 三角形的个数只能用a表示吗？如果用b表示三角形的个数，可不可以？那摆b个三角形用小棒的根数就是b×3。用别的字母可以吗？
……
这是学生第一次真正直面既熟悉又陌生的“代数符号”。教学结合直观图，依据由个别到一般的归纳思路，先给出数的式子，再由个别现象到一般情况，用含有字母的式子来概括。由具体数值到字母，由字母到代数式，由扶到放，逐步一般化和形式化，形成数学模型，将自然语言表示的条件写成符号形式，完成从具体数字运算到抽象符号操作的过渡，培养了学生的符号意识。在此过程中，学生体验到：同一个量可以用不同的字母表示（即不同符号可以表示同一个数）；a×3、b×3这样的代数式既可以表示某个数量，又可以表示量与量之间的逻辑关系；既可以表示运算的过程，又可以表示运算的结果。代数概念的这种双重性，也决定了它的“可操作性”。在后面字母的“代入求值”及代数式的化简中，学生对此还会有更深刻的体会。
（二）从抽象到具体，深度诠释，激發应用意识 學生对代数思想的认识不是一蹴而就的，它需要一个逐步理解的过程。学生初步掌握了从具体情境中抽象出数量关系和变化规律并使用符号来表示的技能，也许只是一种简单的模仿；要真正理解这些符号所表示的意义和结构，还需进一步深度消化。以两数之积的模型为例，教学中我设计了以下环节——
师 想一想：生活中还遇到哪些能用“a×3”表示的问题？
生 一个组有a人，3个组一共有a×3人。
生 一行放a盆花，3行一共放a×3盆花。
……
师 是啊，像这样的例子很多。比如：（1）红花有a朵，黄花的朵数是红花的3倍，黄花有a×3朵。a可以是？a×3表示？a×3既可以表示黄花的朵数，也反映了黄花和红花朵数之间的关系。（2）一本练习本a元，买3本练习本应付a×3元。a可以是自然数，也可以是小数。a×3表示什么？怎么表示总价？单价×数量，这就是3个量之间的关系。（3）汽车每小时行驶a千米，3小时行驶a×3千米。 a可以是？a×3表示？谁来说说？
……
两数之积的模型是学生易于接受的模型，生活中的原型也比较丰富。教师在学生举例的基础上有意识地展示“倍数关系”“单价、数量、总价”“速度、时间、路程”这三类常见数量关系的现实问题。学生的解释与教师的追问，赋予“a×3”这个代数式更生动、具体的意义：当我们代入数值a=2时，a×3经过运算就得到6；不论a取何值，a×3都代表一个整体（或称“共性结构”），在一定的背景下都有着确定的含义；它是一个结果，同时也体现了运算的程序（结构）。两数之和（差）的模型结构也是如此。
这种事物关系与代数式的互译练习，有助于学生真正理解代数式的含义，实现“数—式”的思维转化。相信有了这样的经验，在新的问题情境中，学生更容易寻找、表达数学概念及其关系，也会更自觉、主动地按一定的程序使用更具一般化、抽象化的代数符号（式子）去解决问题。
三、基于关系，凸显本质，渗透函数和方程思想
函数和方程都是代数思想的核心，函数是研究数量关系和变化规律的数学模型，方程本质上是函数的逆运算。在《用字母表示数》的教学中，如果教师能有意识地引导学生把研究对象看成相应的整体性数学结构，分析量与量关系的本质特征，将更有利于学生对这两种思想的体悟。关于这一内容的教学环节如下——
师 你们都会用含有字母的式子来表示数量或数量关系了？那老师来考考大家。
（出示《青蛙歌》，见图1。）
对于这个趣味练习，不少教师课堂上都有过尝试，也常遭遇尴尬：学生通常会用不同字母表示题中的未知数，如a只青蛙b张嘴，c只眼睛d条腿，等等。这说明学生对于“可以用字母表示未知数”“同一题中，不同的量应用不同的字母来表示”已有了深刻的感知。但也带来了负迁移，那就是对量与量之间的关系缺乏关注。这就需要教师通过实例引导学生对题中青蛙只数与嘴、眼睛、腿数量之间的关系结构进行分析，从而抽象出2a、4a这两个单项式。同时，当a表示任一自然数时，都可以通过运算找到一个对应的数值来表示嘴、眼睛、腿的数量；只数多了，嘴、眼睛、腿的数量也随之变化，但不管怎么变，其数量间2倍与4倍的关系是不变的。也就是说，式子的值随着字母取值的变化而变化。这种变量间的相互依存、一一对应关系，正是函数思想的重要内涵。而字母的取值范围，其数学背景就是求函数的定义域。教学教材“例2”的教学过程如下——
师 已经行驶了50千米，剩下的千米数是（280—50）； 已经行驶了74.5千米，剩下的千米数是（280-74.5）；已经行驶了b千米，剩下的千米数是（280-b）。这里的b表示什么？它可以是哪些数？这些式子都表示什么？
（学生作答。）
师 当b=120时，剩下多少千米？怎么算的？当b=200时呢？
（学生计算。）
师 对比一下，有什么发现？哪个数量不变，哪个数量是变化的？
（学生作答。）
师 当剩下20千米时，说明已经行驶了多少千米？剩下10千米呢？
……
这一组追问，重在让学生感受280-b随着b的变化而变化，在总路程不变的情况下，行驶的路程越长，剩下的路程越短。当b为某一具体数量时，280-b也对应一个具体的数值；当280-b为某一确定的值时，也能求出对应的b的值。这其中的函数与方程的思想正是解决问题的核心所在，对于学生从整体上把握这类问题，概括和表示这类知识的共同特征，刻画数量关系或规律，是十分有益的。
当然，鉴于代数思想的自身特点以及学生的认知能力和思维活动水平，小学阶段代数思想的教学形态主要还是渗透。平时的教学中，教师要有意识地在知识发生、发展、拓展应用等环节中训练学生的思维方式，逐步引导学生运用数量关系进行思考，用字母代替具体数值进行思考，让未知数参与运算，将数的概念及其运算法则抽象化和公式化，等等，不断提高他们对代数思想的感悟水平以及抽象思维的能力，为初中数学学习打下坚实的基础。
参考文献：
[1] 朱童兰.在小学算术教学中渗透代数思想的分析与研究[D].上海师范大学，2017.
关键词：小学数学 代数思想 符号意识
《义务教育数学课程标准（2011年版）》把“双基”扩展为“四基”，充分肯定了数学基本思想在义务教育阶段数学学习中的重要地位。应该说，这是数学课程目标现代化演变的一个重要特征。代数思想是数学思想的重要内容之一，它有助于学生理解现实世界中的数量关系和变化规律，有助于学生数学思考、解决问题等多方面能力的发展。对小学生来说，由算术到代数是一个较难的思维提升过程。如何在教学中适当渗透代数思想
呢？下面结合《用字母表示数》一课的教学谈一点我的尝试和认识。
一、基于旧知，激活经验，感悟“变”与“不变”的思想
对于“用字母表示数”，学生在之前的学习中有过接触，但这种认识是散乱、模糊的，缺乏系统的学习和明确的提炼。因此，课前我让学生回忆和梳理有关“用字母表示数”的知识，并在小组内汇报交流，旨在激活学生已有的知识经验——
师 有关“用字母表示数”，在之前的学习中我们有过接触，课前同学们也进行了回忆和梳理，下面我们一起来交流一下。
生 扑克牌中A=1，J=11，Q=12，K=13。
生 我们遇到过找规律的题目，如2，4，6，m，10，12，14，n，18。这里的m表示8，n表示16。
生 我们四年级学过的数对（a，4）中，a可以表示第1列，也可以表示第2列、第3列，等等。
生 字母还可以表示运算律、计算公式，比如a+b=b+a，S=a×h，S=（a+b）×h÷2……
师 这里的a、b、h可以表示哪些数呢？
……
这样的梳理，打破了学生惯有的思维：原来我们不仅可以用具体的数来表示事物，或者进行相关运算，还可以“以符号来替代数”进行表达或运算；原来符号不仅可以表示恒定不变的量，还可以表示普通的规则（运算律）中的变量，表示一组相关变量关系（计算公式）中的变量，还可以取不同的值。实例让学生感受到：同一个量可以用不同的字母来表示，如可以用a来表示第几列，还可以用b或其他字母来表示；不同的量也可以用同一个字母来表示，如可以用a来表示第几列，还可以用它来表示加数、平面图形的底边等；而且同样是a，有时只能表示某一个确定的数，有时则能表示任何自然数或者任意数。
这里的从“数”到“符号”、从“不变”到“变”的感悟，正是学生初步形成代数思想的重要基础，对于学生从算术思维跨越到代数思维起着关键的转折作用；同时，渗透其中的方程思想、集合思想也有效地开阔了学生的思维方式。
二、基于生活，关注建模，实现从“数”到“式”的飞跃
国外学者R.Sutherland等人指出，代数是表示一般性（或普遍性）的一种方法，是对实际情形的一种建模。学生学习代数，首先必须将实际生活情境中的问题转化为数学问题，通过对数量关系的操作与观察，将问题转译成代数式子。这种抽象化、符号化的操作是进一步学习代数的基本技能，但对小学生来说还是有困难的。因此，教学中我尝试通过以下两个路径，帮助学生实现从“数”到“式”的认知上的飞跃。
（一）从具体到抽象，适度概括，形成符号意识
培养符号意识是学生代数思维形成的起点。以往的学习中，学生习惯用算术思维去解决问题：在一定的情境中，通过具体的数字运算从已知量得出未知量。而代数思维是一种形式的符号操作，它是去情境的，需要学生用符号或者符号组成的代数式、方程等去表示数学中的对象或结构。显然，从思维发展的角度看，这样的思考更具一般性，对学生的抽象概括水平要求更高，更有助于培养学生的高层次思维。为了帮助学生跨越这个障碍，我设计了如下教学环节——
师 摆1个三角形需要3根小棒；摆2个三角形用小棒的根数是2×3；摆3个三角形用小棒的根数是（）×3……
照这样说下去，我们可以提出多少个这样的问题？三角形的个数与所用小棒根数有什么关系？
（学生回答。）
师 摆a个三角形用小棒的根数是（）。
生 a×3。
师 为什么可以用a×3来表示？这里的a表示什么？它可以是哪些数？
生 任意自然数。
师 a×3表示什么？
生 数量、数量关系。
师 你觉得用a×3这个含有字母的式子表示小棒的根数怎样？
生 简洁、明了，把所有情况都概括进去了。
师 三角形的个数只能用a表示吗？如果用b表示三角形的个数，可不可以？那摆b个三角形用小棒的根数就是b×3。用别的字母可以吗？
……
这是学生第一次真正直面既熟悉又陌生的“代数符号”。教学结合直观图，依据由个别到一般的归纳思路，先给出数的式子，再由个别现象到一般情况，用含有字母的式子来概括。由具体数值到字母，由字母到代数式，由扶到放，逐步一般化和形式化，形成数学模型，将自然语言表示的条件写成符号形式，完成从具体数字运算到抽象符号操作的过渡，培养了学生的符号意识。在此过程中，学生体验到：同一个量可以用不同的字母表示（即不同符号可以表示同一个数）；a×3、b×3这样的代数式既可以表示某个数量，又可以表示量与量之间的逻辑关系；既可以表示运算的过程，又可以表示运算的结果。代数概念的这种双重性，也决定了它的“可操作性”。在后面字母的“代入求值”及代数式的化简中，学生对此还会有更深刻的体会。
（二）从抽象到具体，深度诠释，激發应用意识 學生对代数思想的认识不是一蹴而就的，它需要一个逐步理解的过程。学生初步掌握了从具体情境中抽象出数量关系和变化规律并使用符号来表示的技能，也许只是一种简单的模仿；要真正理解这些符号所表示的意义和结构，还需进一步深度消化。以两数之积的模型为例，教学中我设计了以下环节——
师 想一想：生活中还遇到哪些能用“a×3”表示的问题？
生 一个组有a人，3个组一共有a×3人。
生 一行放a盆花，3行一共放a×3盆花。
……
师 是啊，像这样的例子很多。比如：（1）红花有a朵，黄花的朵数是红花的3倍，黄花有a×3朵。a可以是？a×3表示？a×3既可以表示黄花的朵数，也反映了黄花和红花朵数之间的关系。（2）一本练习本a元，买3本练习本应付a×3元。a可以是自然数，也可以是小数。a×3表示什么？怎么表示总价？单价×数量，这就是3个量之间的关系。（3）汽车每小时行驶a千米，3小时行驶a×3千米。 a可以是？a×3表示？谁来说说？
……
两数之积的模型是学生易于接受的模型，生活中的原型也比较丰富。教师在学生举例的基础上有意识地展示“倍数关系”“单价、数量、总价”“速度、时间、路程”这三类常见数量关系的现实问题。学生的解释与教师的追问，赋予“a×3”这个代数式更生动、具体的意义：当我们代入数值a=2时，a×3经过运算就得到6；不论a取何值，a×3都代表一个整体（或称“共性结构”），在一定的背景下都有着确定的含义；它是一个结果，同时也体现了运算的程序（结构）。两数之和（差）的模型结构也是如此。
这种事物关系与代数式的互译练习，有助于学生真正理解代数式的含义，实现“数—式”的思维转化。相信有了这样的经验，在新的问题情境中，学生更容易寻找、表达数学概念及其关系，也会更自觉、主动地按一定的程序使用更具一般化、抽象化的代数符号（式子）去解决问题。
三、基于关系，凸显本质，渗透函数和方程思想
函数和方程都是代数思想的核心，函数是研究数量关系和变化规律的数学模型，方程本质上是函数的逆运算。在《用字母表示数》的教学中，如果教师能有意识地引导学生把研究对象看成相应的整体性数学结构，分析量与量关系的本质特征，将更有利于学生对这两种思想的体悟。关于这一内容的教学环节如下——
师 你们都会用含有字母的式子来表示数量或数量关系了？那老师来考考大家。
（出示《青蛙歌》，见图1。）
对于这个趣味练习，不少教师课堂上都有过尝试，也常遭遇尴尬：学生通常会用不同字母表示题中的未知数，如a只青蛙b张嘴，c只眼睛d条腿，等等。这说明学生对于“可以用字母表示未知数”“同一题中，不同的量应用不同的字母来表示”已有了深刻的感知。但也带来了负迁移，那就是对量与量之间的关系缺乏关注。这就需要教师通过实例引导学生对题中青蛙只数与嘴、眼睛、腿数量之间的关系结构进行分析，从而抽象出2a、4a这两个单项式。同时，当a表示任一自然数时，都可以通过运算找到一个对应的数值来表示嘴、眼睛、腿的数量；只数多了，嘴、眼睛、腿的数量也随之变化，但不管怎么变，其数量间2倍与4倍的关系是不变的。也就是说，式子的值随着字母取值的变化而变化。这种变量间的相互依存、一一对应关系，正是函数思想的重要内涵。而字母的取值范围，其数学背景就是求函数的定义域。教学教材“例2”的教学过程如下——
师 已经行驶了50千米，剩下的千米数是（280—50）； 已经行驶了74.5千米，剩下的千米数是（280-74.5）；已经行驶了b千米，剩下的千米数是（280-b）。这里的b表示什么？它可以是哪些数？这些式子都表示什么？
（学生作答。）
师 当b=120时，剩下多少千米？怎么算的？当b=200时呢？
（学生计算。）
师 对比一下，有什么发现？哪个数量不变，哪个数量是变化的？
（学生作答。）
师 当剩下20千米时，说明已经行驶了多少千米？剩下10千米呢？
……
这一组追问，重在让学生感受280-b随着b的变化而变化，在总路程不变的情况下，行驶的路程越长，剩下的路程越短。当b为某一具体数量时，280-b也对应一个具体的数值；当280-b为某一确定的值时，也能求出对应的b的值。这其中的函数与方程的思想正是解决问题的核心所在，对于学生从整体上把握这类问题，概括和表示这类知识的共同特征，刻画数量关系或规律，是十分有益的。
当然，鉴于代数思想的自身特点以及学生的认知能力和思维活动水平，小学阶段代数思想的教学形态主要还是渗透。平时的教学中，教师要有意识地在知识发生、发展、拓展应用等环节中训练学生的思维方式，逐步引导学生运用数量关系进行思考，用字母代替具体数值进行思考，让未知数参与运算，将数的概念及其运算法则抽象化和公式化，等等，不断提高他们对代数思想的感悟水平以及抽象思维的能力，为初中数学学习打下坚实的基础。
参考文献：
[1] 朱童兰.在小学算术教学中渗透代数思想的分析与研究[D].上海师范大学，2017.