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【关键词】建模过程；长方形和正方形的面积；活动体验
【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2018）49-0058-03
数学模型是采用形式化的数学语言或符号，概括地或近似地表达系统规律的数学结构，是对实际问题的一种数学表述。学生学习数学的过程，实际上就是理解、把握和建立一系列数学模型的过程，这个过程即数学建模。一般来说，数学建模要经过模型准备、模型假设、模型求解、模型确立、模型应用等环节。数学建模的过程是学生主动建构知识的过程，也是学生深层次理解知识的过程。笔者试以苏教版三下《长方形和正方形的面积计算》一课的教学为例，谈谈自己的实践与思考。
一、模型准备：在情境中激发需求
师：新风小学打算给长方形足球场铺上草坪，你觉得采购草坪之前需要知道什么？
生：需要知道足球场的面积。
师：在我们以前的学习中，要知道一个长方形的面积，可以怎么办？
生：用面积单位去铺一铺。
师：有没有其他更好的办法呢，今天我们就来进一步研究。
模型准备是数学建模的首要环节，其主要目的是从生活现象中提炼出一个比较清晰的数学问题，以唤起学生的知识储备，激活学生的学习经验，激发学生的学习需求。教学伊始，教师创设“球场铺草坪”的问题情境，以“用面积单位铺一铺”的方法引发学生的认知冲突，有效激发学生对长方形面积计算的探究欲望。
二、模型假设：在拼摆中初步发现
师：我们先用一些1平方分米的小正方形摆出几个不同的长方形，你有什么发现。
指名3位学生摆长方形，其他学生观察并记录。教师根据学生的回答完成表格填写。
师：结合摆的过程观察表中的数据，你有什么发现？
生1：正方形的个数和长方形的面积相等。
生2：长乘宽就等于正方形的个数。
生3：长乘宽等于长方形的面积。
师：通过摆一摆、数一数，我们初步发现长方形的面积与它的长和宽是有关系的，长方形的面积可能等于长乘宽。
模型假设是对研究的问题进行适当的简化，初步提出一些合理的假设。自由拼摆长方形的活动，不仅丰富了学生感觉、知觉的经验，而且使学生初步体会到长方形的长、宽的数量与所需小正方形个数的关系，间接感受到长、宽的数量与长方形面积有关系。在摆、看、想、说的过程中，学生形成了对长方形面积计算的感性认识。
三、模型求解：在测量中深化认识
师（出示一个长15厘米、宽8厘米的长方形）：下面用1平方分米的正方形来摆一摆、量一量长方形的面积，谁来试一试？
师：通过动手操作我们发现用1平方分米的正方形不能正好摆完，那怎么办呢？
生：换成1平方厘米的小正方形去测量。
学生操作，教师巡视。
师：你们是怎么测量的？
生：我们小组是用小正方形铺满长方形，一共用了120个小正方形，所以长方形的面积就是120平方厘米。
师：他们小组是用小正方形将长方形铺满，根据每行个数和行数的乘积得到面积单位的个数，从而得到面积。
生：我们小组是沿着长方形的长、宽各摆一排，就知道一行可以摆15个，可以摆这样的8行，推算出铺满长方形需要（15×8）=120（个）小正方形，所以长方形的面积是120平方厘米。
师：对于这两种方法，你更欣赏哪一种？
生：欣赏第二种。因为沿着长和宽各摆一行，就可以算出小正方形的个数，面积也就知道了。
师：如果小正方形的个数只有两个，你还有办法测量吗？
学生小组合作操作，指名演示并说明思考过程。
师：用两个小正方形交叉移动，也能得出小正方形的总个数，进而知道长方形的面积。如果只有一个小正方形呢？
指名学生演示，教师相机指导并适时用小竖线作标记。
师（逐步呈现图1）：回顾刚才的操作过程，虽然使用的小正方形的数量越来越少，但是我们都在想办法先量出什么。
生1：量出了一行小正方形的个数和行数。
生2：量出长方形的长和宽。
师：像刚才这样量出一行个数和行数，我们也就知道了长方形的长和宽。
模型求解，就是对数学知识蕴含“道理”的本源追溯和“为什么是这样”的积极思辨。面积知识属于测量的范畴，测量长方形面积的活动中蕴含着某些规律，发现和总结规律有利于得出长方形的面积及计算公式。以长15厘米、宽8厘米的长方形为研究素材展开面积测量活动，并对条件加以限制，促使学生思考不断深入，让操作更具思维含量。同时，通过交流比较不同测量方法，使学生深刻地体会到长方形的面积与测量时所用的面积单位的数量有关，只要测量出长方形的长和宽就能求出其面积，得出长方形面积计算公式便水到渠成。
四、模型确立：在反思中归纳概括
师：（出示一个长7厘米、宽2厘米的长方形）你有没有什么辦法快速得到它的面积？
生：我量出长方形的长是7厘米，说明一行可以摆7个小正方形；宽是2厘米，说明可以摆这样的2行，一共是7×2=14（个）小正方形，面积就是14平方厘米。
师：你真会思考，直接用尺子测量出长和宽，同样能够得到长方形的面积。仔细观察最后一次用一个小正方形测量面积时留下的记号，与手中的直尺比一比，你发现了什么？
生：所作的标记就像一把尺子。
师：用小正方形去测量长方形的长、宽，与直接用尺子去测量长方形的长、宽相比，你觉得哪种方法更方便？
生：直接用尺子去测量长方形的长和宽更加方便。
师（出示课始足球场草坪问题）：要解决长方形足球场草坪的面积问题，你还想用1平方米的正方形去铺吗？ 生：只要知道长和宽就可以了。
教师出示长和宽的数据，学生解答并说清道理。
师：无论是用1平方分米、1平方厘米还是用1平方米中的面积单位去测量，我们发现长方形的面积都与什么有关？怎样求长方形的面积？
生：长方形的面积与它的长、宽有关，用长乘宽就能求出长方形的面积。
师：为什么长方形的面积等于长乘宽？
生：一行的个数对应着长，行数对应着宽，正方形的个数等于长方形的面积，所以长方形的面积等于长×宽。
师：如果用字母S、a和b分别表示长方形的面积、长和宽，计算公式可以怎样表示？
生：长方形的面积计算公式是S=a×b。
教师依次出示：长5厘米、宽3厘米的长方形，长4厘米、宽3厘米的长方形，边长为3厘米的正方形，学生依次口答算式和结果。
师：最后一个图形是正方形，你是怎样计算它的面积的？
生：正方形的面积等于边长乘边长。正方形是一种特殊的长方形，当长方形的长和宽相等时，长方形的长和宽也就变成了正方形的边长和边长。
生：一行的个数和行数是相等的，所以正方形的面积是边长乘边长。
师：如果用字母S和a分别表示正方形的面积和边长，面积计算公式可以怎样写？
生：正方形的面积计算公式是S=a×a。
师：回顾学习过程，长方形和正方形的面积计算公式是怎样推导出来的？
生：我们用一些小正方形去测量长方形的面积，发现长方形的面积与它的长和宽有关。后来，随着小正方形的个数变少，发现只要测量出长方形的长和宽就能求出它的面积。
模型确立就是模型假设经过验证以后确认是正确的，它是从猜想到结论的蜕变。计算长方形的面积，从“算面积单位的个数”到“算长乘宽”是学生认知上的一个跨越。教师巧妙地把一个面积单位度量长方形时留下的记号与直尺刻度建立起关系，学生在对比中形象地理解了“长方形的面积=长×宽”的道理。在回顾的基础上，教师引导学生及时对长方形的面积计算公式进行抽象和概括，促使学生的认识从感性上升到理性。而对于正方形面积计算公式的推导，教师是将其纳入“正方形是特殊的长方形”的范畴，通过说理和推理实现意义建构的。在此过程中，学生积累了具体问题抽象化、形式化及符号化的数学活动经验。
五、模型应用：在实践中内化提升
师（出示图片）：生活中很多物体的表面都是长方形或正方形的，求黑板和手帕的面积需要知道什么条件？
生1：黑板的面是长方形，因此需要知道黑板的长和宽。
生2：手帕的面是正方形，只要知道它的边长就可以了。
教师出示相应数据，学生独立完成并交流。
师：三个小朋友玩游戏，每人都用12根1分米长的小棒各摆了一个图形（如图2）。其中一个小朋友认为：摆图形都用了12根小棒，所以摆出的图形的面积一样大。你同意这种观点吗？
生1：不同意，因为每个图形计算出来的面积都不一样。
生2：我也不同意，用12根小棒摆图形只能说明图形的周长是相等的，而面积是不相等的。
师：用12根小棒摆出来的图形不管是长方形还是正方形，它们的周长是相等的，但是面积却是不相等的。
模型應用就是引导学生利用抽象出的数学模型解决实际问题。模型应用不是对数学模型的机械记忆与简单套用，而是以理解为基础的主动建构过程。教师设计了求黑板和手帕的面积、辨析求周长和面积等不同形式的实际问题，在问题解决过程中，学生进一步加深了对长方形和正方形面积计算公式的理解，促进了数学模型的内化，彰显了数学模型的实际价值。
（作者单位：1.江苏省无锡市惠山区教育局教研室；2.江苏省锡山高级中学实验学校第一小学）
【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2018）49-0058-03
数学模型是采用形式化的数学语言或符号，概括地或近似地表达系统规律的数学结构，是对实际问题的一种数学表述。学生学习数学的过程，实际上就是理解、把握和建立一系列数学模型的过程，这个过程即数学建模。一般来说，数学建模要经过模型准备、模型假设、模型求解、模型确立、模型应用等环节。数学建模的过程是学生主动建构知识的过程，也是学生深层次理解知识的过程。笔者试以苏教版三下《长方形和正方形的面积计算》一课的教学为例，谈谈自己的实践与思考。
一、模型准备：在情境中激发需求
师：新风小学打算给长方形足球场铺上草坪，你觉得采购草坪之前需要知道什么？
生：需要知道足球场的面积。
师：在我们以前的学习中，要知道一个长方形的面积，可以怎么办？
生：用面积单位去铺一铺。
师：有没有其他更好的办法呢，今天我们就来进一步研究。
模型准备是数学建模的首要环节，其主要目的是从生活现象中提炼出一个比较清晰的数学问题，以唤起学生的知识储备，激活学生的学习经验，激发学生的学习需求。教学伊始，教师创设“球场铺草坪”的问题情境，以“用面积单位铺一铺”的方法引发学生的认知冲突，有效激发学生对长方形面积计算的探究欲望。
二、模型假设：在拼摆中初步发现
师：我们先用一些1平方分米的小正方形摆出几个不同的长方形，你有什么发现。
指名3位学生摆长方形，其他学生观察并记录。教师根据学生的回答完成表格填写。
师：结合摆的过程观察表中的数据，你有什么发现？
生1：正方形的个数和长方形的面积相等。
生2：长乘宽就等于正方形的个数。
生3：长乘宽等于长方形的面积。
师：通过摆一摆、数一数，我们初步发现长方形的面积与它的长和宽是有关系的，长方形的面积可能等于长乘宽。
模型假设是对研究的问题进行适当的简化，初步提出一些合理的假设。自由拼摆长方形的活动，不仅丰富了学生感觉、知觉的经验，而且使学生初步体会到长方形的长、宽的数量与所需小正方形个数的关系，间接感受到长、宽的数量与长方形面积有关系。在摆、看、想、说的过程中，学生形成了对长方形面积计算的感性认识。
三、模型求解：在测量中深化认识
师（出示一个长15厘米、宽8厘米的长方形）：下面用1平方分米的正方形来摆一摆、量一量长方形的面积，谁来试一试？
师：通过动手操作我们发现用1平方分米的正方形不能正好摆完，那怎么办呢？
生：换成1平方厘米的小正方形去测量。
学生操作，教师巡视。
师：你们是怎么测量的？
生：我们小组是用小正方形铺满长方形，一共用了120个小正方形，所以长方形的面积就是120平方厘米。
师：他们小组是用小正方形将长方形铺满，根据每行个数和行数的乘积得到面积单位的个数，从而得到面积。
生：我们小组是沿着长方形的长、宽各摆一排，就知道一行可以摆15个，可以摆这样的8行，推算出铺满长方形需要（15×8）=120（个）小正方形，所以长方形的面积是120平方厘米。
师：对于这两种方法，你更欣赏哪一种？
生：欣赏第二种。因为沿着长和宽各摆一行，就可以算出小正方形的个数，面积也就知道了。
师：如果小正方形的个数只有两个，你还有办法测量吗？
学生小组合作操作，指名演示并说明思考过程。
师：用两个小正方形交叉移动，也能得出小正方形的总个数，进而知道长方形的面积。如果只有一个小正方形呢？
指名学生演示，教师相机指导并适时用小竖线作标记。
师（逐步呈现图1）：回顾刚才的操作过程，虽然使用的小正方形的数量越来越少，但是我们都在想办法先量出什么。
生1：量出了一行小正方形的个数和行数。
生2：量出长方形的长和宽。
师：像刚才这样量出一行个数和行数，我们也就知道了长方形的长和宽。
模型求解，就是对数学知识蕴含“道理”的本源追溯和“为什么是这样”的积极思辨。面积知识属于测量的范畴，测量长方形面积的活动中蕴含着某些规律，发现和总结规律有利于得出长方形的面积及计算公式。以长15厘米、宽8厘米的长方形为研究素材展开面积测量活动，并对条件加以限制，促使学生思考不断深入，让操作更具思维含量。同时，通过交流比较不同测量方法，使学生深刻地体会到长方形的面积与测量时所用的面积单位的数量有关，只要测量出长方形的长和宽就能求出其面积，得出长方形面积计算公式便水到渠成。
四、模型确立：在反思中归纳概括
师：（出示一个长7厘米、宽2厘米的长方形）你有没有什么辦法快速得到它的面积？
生：我量出长方形的长是7厘米，说明一行可以摆7个小正方形；宽是2厘米，说明可以摆这样的2行，一共是7×2=14（个）小正方形，面积就是14平方厘米。
师：你真会思考，直接用尺子测量出长和宽，同样能够得到长方形的面积。仔细观察最后一次用一个小正方形测量面积时留下的记号，与手中的直尺比一比，你发现了什么？
生：所作的标记就像一把尺子。
师：用小正方形去测量长方形的长、宽，与直接用尺子去测量长方形的长、宽相比，你觉得哪种方法更方便？
生：直接用尺子去测量长方形的长和宽更加方便。
师（出示课始足球场草坪问题）：要解决长方形足球场草坪的面积问题，你还想用1平方米的正方形去铺吗？ 生：只要知道长和宽就可以了。
教师出示长和宽的数据，学生解答并说清道理。
师：无论是用1平方分米、1平方厘米还是用1平方米中的面积单位去测量，我们发现长方形的面积都与什么有关？怎样求长方形的面积？
生：长方形的面积与它的长、宽有关，用长乘宽就能求出长方形的面积。
师：为什么长方形的面积等于长乘宽？
生：一行的个数对应着长，行数对应着宽，正方形的个数等于长方形的面积，所以长方形的面积等于长×宽。
师：如果用字母S、a和b分别表示长方形的面积、长和宽，计算公式可以怎样表示？
生：长方形的面积计算公式是S=a×b。
教师依次出示：长5厘米、宽3厘米的长方形，长4厘米、宽3厘米的长方形，边长为3厘米的正方形，学生依次口答算式和结果。
师：最后一个图形是正方形，你是怎样计算它的面积的？
生：正方形的面积等于边长乘边长。正方形是一种特殊的长方形，当长方形的长和宽相等时，长方形的长和宽也就变成了正方形的边长和边长。
生：一行的个数和行数是相等的，所以正方形的面积是边长乘边长。
师：如果用字母S和a分别表示正方形的面积和边长，面积计算公式可以怎样写？
生：正方形的面积计算公式是S=a×a。
师：回顾学习过程，长方形和正方形的面积计算公式是怎样推导出来的？
生：我们用一些小正方形去测量长方形的面积，发现长方形的面积与它的长和宽有关。后来，随着小正方形的个数变少，发现只要测量出长方形的长和宽就能求出它的面积。
模型确立就是模型假设经过验证以后确认是正确的，它是从猜想到结论的蜕变。计算长方形的面积，从“算面积单位的个数”到“算长乘宽”是学生认知上的一个跨越。教师巧妙地把一个面积单位度量长方形时留下的记号与直尺刻度建立起关系，学生在对比中形象地理解了“长方形的面积=长×宽”的道理。在回顾的基础上，教师引导学生及时对长方形的面积计算公式进行抽象和概括，促使学生的认识从感性上升到理性。而对于正方形面积计算公式的推导，教师是将其纳入“正方形是特殊的长方形”的范畴，通过说理和推理实现意义建构的。在此过程中，学生积累了具体问题抽象化、形式化及符号化的数学活动经验。
五、模型应用：在实践中内化提升
师（出示图片）：生活中很多物体的表面都是长方形或正方形的，求黑板和手帕的面积需要知道什么条件？
生1：黑板的面是长方形，因此需要知道黑板的长和宽。
生2：手帕的面是正方形，只要知道它的边长就可以了。
教师出示相应数据，学生独立完成并交流。
师：三个小朋友玩游戏，每人都用12根1分米长的小棒各摆了一个图形（如图2）。其中一个小朋友认为：摆图形都用了12根小棒，所以摆出的图形的面积一样大。你同意这种观点吗？
生1：不同意，因为每个图形计算出来的面积都不一样。
生2：我也不同意，用12根小棒摆图形只能说明图形的周长是相等的，而面积是不相等的。
师：用12根小棒摆出来的图形不管是长方形还是正方形，它们的周长是相等的，但是面积却是不相等的。
模型應用就是引导学生利用抽象出的数学模型解决实际问题。模型应用不是对数学模型的机械记忆与简单套用，而是以理解为基础的主动建构过程。教师设计了求黑板和手帕的面积、辨析求周长和面积等不同形式的实际问题，在问题解决过程中，学生进一步加深了对长方形和正方形面积计算公式的理解，促进了数学模型的内化，彰显了数学模型的实际价值。
（作者单位：1.江苏省无锡市惠山区教育局教研室；2.江苏省锡山高级中学实验学校第一小学）