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[摘要]教学中经常会遇到一些高频错误的问题，教师要及时寻求错误的根源，及时发现自身不足及学生思维的门槛，积极寻求解决问题的方法，让学生在经历剖析问题的过程中有所收获。
[关键词]高频错误 思维门槛 解惑释疑
在教学中，常会遇到一些高频出错、“久治不愈”的问题。虽然教师苦口婆心，想方设法地讲解这些问题，但有些学生总是不断重复着“错误的故事”。
一、“祸”从题出
收集学生做过的练习，发现有些类型的题出题率高，出错率也高。如题目：100千克大豆，可榨油39千克。1千克大豆榨油多少千克？1千克油需要多少千克大豆？
再次复习时，学生们很自信地说已经掌握解题方法了。笔者承诺学生，当天的练习中会出现类似题型，若正确率高，可免做家庭作业。学生们（包括平时基础很差的学生）听到这样的消息，眼睛里透露出必胜的光芒。
最后批阅的结果比预期的正确率还要低。学生满眼的失落，出错的学生眼睛里是无奈：明明我上课听懂了啊，怎么又错了呢？正确的学生眼睛里除了失落，还有抱怨：都是那些做错的同学惹的祸！
反复做，反复错，到底是谁惹的“祸”？
二、“祸”源于“惑”
在课堂中，学生出错是必然，也是资源。作为教师，找到这些错误的原因尤为重要。那么“祸”源于哪里呢？
（一）师之惑
1.教师忽略解读教材
学习中有的错误是源自学生，但有些错误是教师自身原因所致。教师对教材的解读范围过于狭窄，也会给学生的学习带来困扰。把本学段的6册教材都通读一遍的教师不多，把小学12册教材通读并发掘教材的教师更是寥寥无几。因此，对于一些知识，教师不知道是从哪里来的，而是只盯着眼前的一节课，没有用长远的眼光看问题，这种蜻蜓点水式的教学是走不进学生心灵深处的。
2.教学偏重解题技能
虽然课程改革轰轰烈烈地开展了多年，但一线教师迫于各种压力，依然把成绩放在首位。提高成绩的简单方法便是题海战术，重视技能训练。虽然“粗暴”，但见效快。因此，解决问题的教学依然过于偏向知识的学习和传授，学生被动地习得基本知识和基本技能。这样直接被灌输的知识不会轻易“长进”大脑里，学生更不会变通应用知识。
（二）生之惑
1.思维有定式
思维定式是指学生用一种固定的思路和习惯去思考、解决问题。学生一旦形成思维定式，在问题解决中就容易机械模仿，套用模式和被动记忆。
在日常教学中，教师呈现的问题一般为标准样式的问题，而在实际应用中，问题的形式却千变万化。六年级学习了分数连乘的问题后，当遇到题目中出现两个分数时，不少学生不加分析，直接用连乘。比如：王大伯家的菜地，种青菜的面积是3/4公顷，种白菜的面积比种青菜的少1/3公顷，种萝卜的面积是种白菜面积的4/5，种萝卜的面积是多少公顷？学生习惯性地将三个数连乘计算结果，出错率达到61.5%。
可见，学生的思维只在表层，并未深入，只关注了形式，并未涉及本质。
2.迁移有难度
数学知识的迁移，不仅是将数学知识进行简单的搬迁、移动，而是要在搬迁、移动的过程中，加入更多思考的成分，使得数学知识得以理解、掌握、应用。
在解决分数实际问题时，试着把题目中的小数换成整数，或者换作可以整除的问题，这样，部分有困惑的学生就可以轻而易举地解决了。比如学生解决“6/7米长的铁丝，平均分成6段，每段长多少米”问题时有一定困难，但改为“12米长的铁丝，平均分成6段，每段长多少米”问题学生便很熟悉。看来数据的形式也是阻碍学生解决问题的原因之一。从整数到分数，对于思维能力较弱的学生而言是一条鸿沟。由于对分数的本质没有透彻的理解，学生知识的迁移存在困难，解决上述榨油类问题更是难上加难。
三、“错”有所获
教学或学习中出现错误是必然的，教师要正确面对并从内心接纳这些错误。从错误的现象中寻找问题的本源，寻求解决问题的策略，在经历剖析错误的过程中有所收获。
（一）理清知识脉络，把握知识本质
数学是整体的、结构的、有逻辑性的，抓住核心和关键，找出本质和联系，凸显整体和关联，数学学习就能化繁为简、化难为易。教师是传道授业解惑者，对传授知识应该有敬畏之心，必须清楚知道学生已经明白了什么，自己明白了什么，应根据教材的内容，认真思考“是什么”“从哪里来”“到哪里去”这些问题，然后选择贴切的“材”，立好恰当的“序”，让知识在合适的时空“生长”出来。
经典的榨油问题，学生备感头疼，总是分不清到底用哪个量除以哪个量，确切地说，是学生在分析数量间关系时运算模型识别不敏锐，而该能力的培养关键在除法意义的建构初期。问题的根本可以追溯到二年级的“平均分”问题。当学生在整数学习中积累了足够丰富的经验后，在五年级遇到小数和六年級遇到分数实际问题时就可以借助这些经验解决相关问题。
（二）选择合适的策略
1.加强数量关系教学，以不变应万变
马云鹏教授提到将数量关系作为小学数学核心内容之一，指向学生问题解决能力的培养，可能是小学阶段落实问题解决能力培养目标的有效出路。只有加强数量关系的教学，学生在面对各种变式时，才能举一反三，迎刃而解。
在教学中，笔者尝试着把榨油的题目情境改为行程问题：小华3小时步行4千米，平均每小时行（ ）千米，行1千米要（ ）小时。通过调查发现，这种问题的正确率明显高于榨油问题。原因便是改编后的题目数量关系更加明显。如果平时注重数量关系教学，学生初次遇到榨油问题时就提炼出数量关系式，有了数量关系式的依托，再遇到小数、分数时就不至于手忙脚乱了。
2.依托变式练习，打破思维定式
所谓“变式”，即在教学中用不同的直观材料或事例说明事物的本质属性。恰当、适量的变式能防止思维定式与认知偏差。因此，要打破学生的思维定式，教师就要尽可能拓宽学生视野，设计一些变式练习，改变问题的角度，深化知识理解，凸显知识本质。具体做法如下： （1）变数字
根据学生的思维现状，学生对于小数除法、分数除法等知识的提取有难度，练习中可以通过只变化数字，让学生理清数量关系，摸清知识本质。
①一根绳子8米，平均截成4段，每段长多少米？
②一根绳子4米，平均截成8段，每段长多少米？
③一根绳子3米，平均截成7段，每段长多少米？
④一根绳子3/4米，平均截成4段，每段长多少米？
通过以上4道题的练习，引导学生对比、沟通，发现不论数字怎么变化，数量关系“总长度=段数-每段的长度”总是不变。再进一步归纳总结，发现此类问题的根本是平均分的数量关系——总数□份数=每份的数量。
（2）变情境
教师要善于创设情境，引导学生学会对比分析，真正把握问题的数学本质，从而灵活运用相关数学模型解决问题。
比如工程类的问题：甲乙两个修路队合修一条2000米的公路，需要10天完成，甲队每天修120米，乙队每天修多少米？可以改成行程类的问题：甲乙两人从相距2000米的A、B两地同时出发，10分钟相遇。已知甲每分钟行120米，乙每分钟行多少米？还可以改成购物情境的问题：学校共花了2000元购买了10套桌椅（一张桌子和一把椅子为一套），一张桌子120元，一把椅子多少元？
这些问题叙述的情境变了，但问题本质不变。在这样的變式中，学生对于“工程类”的数量关系就可以获得更广泛的概括和理解。
（3）变问题
一根绳子长5米，第一次用去2/5，第二次用去1/3米，用去多少米，
一根绳子长5米，第一次用去2/5，第二次用去2/5米，这根绳子比原来短了多少米？
看似两道题问题不一样，问题的本质却相同，可以建立同一个等量关系，即第一次用去的 第二次用去的二用去的米数（比原来短的米数）。
在这样的变式练习中引导学生打破思维定式，弄清问题的本质，厘清、内化问题的内涵，从而找到隐含的数量关系和所需数据，顺利解决问题。
3.多维度反思，注重除疑解惑
自主反思是检验学生在学习过程中是否做到学会学习的一个重要标准。教师要引导学生多维度反思，在反思中质疑。对于榨油问题，虽然出错率高，但如果学生养成反思的习惯，正确率将会极大提升。如可以引导学生结合生活实际思考：100千克大豆榨油39千克，1千克大豆榨出的油的重量肯定比1千克少。如果求1千克大豆榨油多少千克列式为100/39，所得结果大于1，因此可以判断这样列式是错误的。
除了在解题过程中反思，还可以在订正作业时进一步反思。有的学生订正时只注重结果，或者只是模仿结果。此时，教师不要急于点拨，要引导学生主动进行反思，可以让学生说一说自己思维遇到瓶颈的情况，找到错误根源，订正时写出错误的原因，真正解除疑惑，理解知识的本质，寻找问题的核心，将思维推向深处。
总之，当在教学中我们遇到匪夷所思的久治不愈的“错误”时，我们要深刻反思，多角度分析原因，及时发现教师自身不足及学生思维的门槛，积极寻求解决问题的方法，让学生的思维在解惑释疑中得到真正发展。
[关键词]高频错误 思维门槛 解惑释疑
在教学中，常会遇到一些高频出错、“久治不愈”的问题。虽然教师苦口婆心，想方设法地讲解这些问题，但有些学生总是不断重复着“错误的故事”。
一、“祸”从题出
收集学生做过的练习，发现有些类型的题出题率高，出错率也高。如题目：100千克大豆，可榨油39千克。1千克大豆榨油多少千克？1千克油需要多少千克大豆？
再次复习时，学生们很自信地说已经掌握解题方法了。笔者承诺学生，当天的练习中会出现类似题型，若正确率高，可免做家庭作业。学生们（包括平时基础很差的学生）听到这样的消息，眼睛里透露出必胜的光芒。
最后批阅的结果比预期的正确率还要低。学生满眼的失落，出错的学生眼睛里是无奈：明明我上课听懂了啊，怎么又错了呢？正确的学生眼睛里除了失落，还有抱怨：都是那些做错的同学惹的祸！
反复做，反复错，到底是谁惹的“祸”？
二、“祸”源于“惑”
在课堂中，学生出错是必然，也是资源。作为教师，找到这些错误的原因尤为重要。那么“祸”源于哪里呢？
（一）师之惑
1.教师忽略解读教材
学习中有的错误是源自学生，但有些错误是教师自身原因所致。教师对教材的解读范围过于狭窄，也会给学生的学习带来困扰。把本学段的6册教材都通读一遍的教师不多，把小学12册教材通读并发掘教材的教师更是寥寥无几。因此，对于一些知识，教师不知道是从哪里来的，而是只盯着眼前的一节课，没有用长远的眼光看问题，这种蜻蜓点水式的教学是走不进学生心灵深处的。
2.教学偏重解题技能
虽然课程改革轰轰烈烈地开展了多年，但一线教师迫于各种压力，依然把成绩放在首位。提高成绩的简单方法便是题海战术，重视技能训练。虽然“粗暴”，但见效快。因此，解决问题的教学依然过于偏向知识的学习和传授，学生被动地习得基本知识和基本技能。这样直接被灌输的知识不会轻易“长进”大脑里，学生更不会变通应用知识。
（二）生之惑
1.思维有定式
思维定式是指学生用一种固定的思路和习惯去思考、解决问题。学生一旦形成思维定式，在问题解决中就容易机械模仿，套用模式和被动记忆。
在日常教学中，教师呈现的问题一般为标准样式的问题，而在实际应用中，问题的形式却千变万化。六年级学习了分数连乘的问题后，当遇到题目中出现两个分数时，不少学生不加分析，直接用连乘。比如：王大伯家的菜地，种青菜的面积是3/4公顷，种白菜的面积比种青菜的少1/3公顷，种萝卜的面积是种白菜面积的4/5，种萝卜的面积是多少公顷？学生习惯性地将三个数连乘计算结果，出错率达到61.5%。
可见，学生的思维只在表层，并未深入，只关注了形式，并未涉及本质。
2.迁移有难度
数学知识的迁移，不仅是将数学知识进行简单的搬迁、移动，而是要在搬迁、移动的过程中，加入更多思考的成分，使得数学知识得以理解、掌握、应用。
在解决分数实际问题时，试着把题目中的小数换成整数，或者换作可以整除的问题，这样，部分有困惑的学生就可以轻而易举地解决了。比如学生解决“6/7米长的铁丝，平均分成6段，每段长多少米”问题时有一定困难，但改为“12米长的铁丝，平均分成6段，每段长多少米”问题学生便很熟悉。看来数据的形式也是阻碍学生解决问题的原因之一。从整数到分数，对于思维能力较弱的学生而言是一条鸿沟。由于对分数的本质没有透彻的理解，学生知识的迁移存在困难，解决上述榨油类问题更是难上加难。
三、“错”有所获
教学或学习中出现错误是必然的，教师要正确面对并从内心接纳这些错误。从错误的现象中寻找问题的本源，寻求解决问题的策略，在经历剖析错误的过程中有所收获。
（一）理清知识脉络，把握知识本质
数学是整体的、结构的、有逻辑性的，抓住核心和关键，找出本质和联系，凸显整体和关联，数学学习就能化繁为简、化难为易。教师是传道授业解惑者，对传授知识应该有敬畏之心，必须清楚知道学生已经明白了什么，自己明白了什么，应根据教材的内容，认真思考“是什么”“从哪里来”“到哪里去”这些问题，然后选择贴切的“材”，立好恰当的“序”，让知识在合适的时空“生长”出来。
经典的榨油问题，学生备感头疼，总是分不清到底用哪个量除以哪个量，确切地说，是学生在分析数量间关系时运算模型识别不敏锐，而该能力的培养关键在除法意义的建构初期。问题的根本可以追溯到二年级的“平均分”问题。当学生在整数学习中积累了足够丰富的经验后，在五年级遇到小数和六年級遇到分数实际问题时就可以借助这些经验解决相关问题。
（二）选择合适的策略
1.加强数量关系教学，以不变应万变
马云鹏教授提到将数量关系作为小学数学核心内容之一，指向学生问题解决能力的培养，可能是小学阶段落实问题解决能力培养目标的有效出路。只有加强数量关系的教学，学生在面对各种变式时，才能举一反三，迎刃而解。
在教学中，笔者尝试着把榨油的题目情境改为行程问题：小华3小时步行4千米，平均每小时行（ ）千米，行1千米要（ ）小时。通过调查发现，这种问题的正确率明显高于榨油问题。原因便是改编后的题目数量关系更加明显。如果平时注重数量关系教学，学生初次遇到榨油问题时就提炼出数量关系式，有了数量关系式的依托，再遇到小数、分数时就不至于手忙脚乱了。
2.依托变式练习，打破思维定式
所谓“变式”，即在教学中用不同的直观材料或事例说明事物的本质属性。恰当、适量的变式能防止思维定式与认知偏差。因此，要打破学生的思维定式，教师就要尽可能拓宽学生视野，设计一些变式练习，改变问题的角度，深化知识理解，凸显知识本质。具体做法如下： （1）变数字
根据学生的思维现状，学生对于小数除法、分数除法等知识的提取有难度，练习中可以通过只变化数字，让学生理清数量关系，摸清知识本质。
①一根绳子8米，平均截成4段，每段长多少米？
②一根绳子4米，平均截成8段，每段长多少米？
③一根绳子3米，平均截成7段，每段长多少米？
④一根绳子3/4米，平均截成4段，每段长多少米？
通过以上4道题的练习，引导学生对比、沟通，发现不论数字怎么变化，数量关系“总长度=段数-每段的长度”总是不变。再进一步归纳总结，发现此类问题的根本是平均分的数量关系——总数□份数=每份的数量。
（2）变情境
教师要善于创设情境，引导学生学会对比分析，真正把握问题的数学本质，从而灵活运用相关数学模型解决问题。
比如工程类的问题：甲乙两个修路队合修一条2000米的公路，需要10天完成，甲队每天修120米，乙队每天修多少米？可以改成行程类的问题：甲乙两人从相距2000米的A、B两地同时出发，10分钟相遇。已知甲每分钟行120米，乙每分钟行多少米？还可以改成购物情境的问题：学校共花了2000元购买了10套桌椅（一张桌子和一把椅子为一套），一张桌子120元，一把椅子多少元？
这些问题叙述的情境变了，但问题本质不变。在这样的變式中，学生对于“工程类”的数量关系就可以获得更广泛的概括和理解。
（3）变问题
一根绳子长5米，第一次用去2/5，第二次用去1/3米，用去多少米，
一根绳子长5米，第一次用去2/5，第二次用去2/5米，这根绳子比原来短了多少米？
看似两道题问题不一样，问题的本质却相同，可以建立同一个等量关系，即第一次用去的 第二次用去的二用去的米数（比原来短的米数）。
在这样的变式练习中引导学生打破思维定式，弄清问题的本质，厘清、内化问题的内涵，从而找到隐含的数量关系和所需数据，顺利解决问题。
3.多维度反思，注重除疑解惑
自主反思是检验学生在学习过程中是否做到学会学习的一个重要标准。教师要引导学生多维度反思，在反思中质疑。对于榨油问题，虽然出错率高，但如果学生养成反思的习惯，正确率将会极大提升。如可以引导学生结合生活实际思考：100千克大豆榨油39千克，1千克大豆榨出的油的重量肯定比1千克少。如果求1千克大豆榨油多少千克列式为100/39，所得结果大于1，因此可以判断这样列式是错误的。
除了在解题过程中反思，还可以在订正作业时进一步反思。有的学生订正时只注重结果，或者只是模仿结果。此时，教师不要急于点拨，要引导学生主动进行反思，可以让学生说一说自己思维遇到瓶颈的情况，找到错误根源，订正时写出错误的原因，真正解除疑惑，理解知识的本质，寻找问题的核心，将思维推向深处。
总之，当在教学中我们遇到匪夷所思的久治不愈的“错误”时，我们要深刻反思，多角度分析原因，及时发现教师自身不足及学生思维的门槛，积极寻求解决问题的方法，让学生的思维在解惑释疑中得到真正发展。