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一、定义域(值域)的确定要注意变量的演变过程。
关于定义域的确定原则，高中现行教材主要有两条要求:①使解析式本身有意义;②使实际问题(应用问题)本身有意义。但对变量有演变转化的情形强调不够，学生在运用中常存疑惑。
例l已知，求。
[分析]
令 ，当x＞0时，x≥2;当x＜0时，x≤-2。
∴f(x)= x4-4x2+2。 即：f(x)= x4-4x2+2 定义域为{x|x≥2或x≤-2}。不少同学求解时因忽视变量的演变过程，常把定义域误作R。
例2对于函数f(x) = ax2+bx+c (a≠0)作x=h(t)的代换，则总不改变函数f(x)值域的代换是（）。
A、h(t)=3tB、h(t)=|t|C、h(t)=costD、h(t)=log2t
[分析]的定义域是R，值域是{y|y≥}或{y|y≤}；不改变值域的充要条件是：对值域内任一点y0，在作x=h(t)的代换后总能保证f[h(t)]= y0有实数解。选项A、B、C、不符合要求，故选D。学生在选择时容易产生模糊，主要是对变量的转换所引起的相关变化认识不足。
二、单调性(最值)问题要注意在非区间上的必要拓广
单调性问题主要定义在区间上(高中现行教材)，学生在非区间上的运用能力比较薄弱，在这方面应适当加强。
例3设函数f(x)=x2+px (x∈N+)，
(I)如果f(x)是单调递增函数，求实数P的取值范围。
(II)当x∈[1，k]时，如果f(x)的最大值f(x)max=f(1)=f(k)，则f(x)恒小于0。
[分析] (I)二次函数主要定义在R上，在非区间上它的性质会有一些差异，如不一定存在顶点和对称轴，在“对称轴”的两侧也可能存在一致的单调性。不少同学受定势思维的影响这样求解：对称轴，∵f(x)是增函数，且x∈N+，∴≤1，即p≥-2。显然这是不周全的，事实上，x是非区间上的离散点，当≤1或-1＜2-()
（“对称轴”在1与2之间且靠近1）时，都有f (x)是增函数，所以正确的答案是P≥-2或P >-3即：P>-3(注：x∈N+时f (x)其实不存在对称轴，为方便求解仍借助这一概念)。
(II) x∈[1， k]且x∈N+ ， f(x)max=f(1)=f(k)，则-1=k-()(这时，f(x)存在对称轴)，所以p=-(k+l)， f(x)= x2-(k+1)x， f(x) > 0时，有x∈(O，k+l)，故f(x)在x∈[1，k]时恒小于0。
例4某公司生产报警系统装置，每月产量最多100台，最少50台，生产x台的收入函数R (x)=3000x-20x2(单位:元)，其成本函数为C(x)=500x+ 4000(单位:元)，求利润p(x)的最大值和最小值
[分析]P(x)=R(x) -C(x)=-20x2+2500x- 4000(x∈ [50 ，100]且x∈N+)，P(x)=-20{x-)2+82125，∵x=∈N+，∴p(x)max≠82125(元)，
∴当x=62或63时，p(x)max=74120(元)。而x∈[50，62]且x∈N+时，p(x)递增，x∈[63 ， 100]且x∈N+时，p(x)递减，
∴P(x)min=46000(元)。
三、对称性问题要注意联系和转化
由函数的奇偶性及图象的平移可得到一些重要的结论。
如①y=f(x)(指图象)关于直线x=a对称y=f(x+a)关于y轴对称(偶函数) f(-x+a)=f(x+a)(不是f(x+a)=f[-(x+a)] )；②y=f(x)与y=f(-x)关于y轴对称:y=f(x+a)与y=f(-x+a)关于y轴对称；y=f(x-a)与y=f(a-x)关于x=a对称；③y=f(-x)与y=f-1(-x)关于y=-x对称;y= f(x+a)与y= f-1(x+a)关于y= x+a对称；y=-f(x+a)与y=-f-1(x+a)关于y=-x-a对称。至于点对称或其它情形的对称，同学们可以类似写出，并结合图象切实理解。
例5函数y=f(-x，+a)与y=f-1(-x-a) (a>0)的图象()
A：关于y=x对称B：关于y=-x对称C: y=-x+a对称D：关于y=-x-a对称
[分析]由于y=f(x)与y=f-1(x)关于y=x对称，y=f(x)与y=f(-x)关于y轴对称，y=f-1(x)与y=f -1(-x)关于y轴对称，可以推出y=f-1(x)与y=f-1(-x)关于y=-x对称，然后把y=f(-x)向右平移a个单位得到y=f(-x+a)的图象，把y=f-1(-x)的图象向左平移a个单位得到y=f-1(-x-a)的图象，对称轴仍为y=-x。或者由上述③可知y=f(-x-a)与y=f-1(-x-a)关于y=-x-a对称，把y=f(-x-a)向右平移2a个单位得y=f(-x+a)的图象，所以对称轴为y=-x.故应选B(可以把f{x)设为特殊函数如f(x)=2x作图求解)。
例6已知定义在R上的函数y=f(x)满足下列三个条件:
①对于任意x∈R，都有f(x+4)=f(x)；②对于任意的O≤x1 ＜x2≤2，都有f(x1) 〔分析〕由①得到f(x)是以4为周期的函数，由②可知x∈[0，2]是增函数，由③可得f(x)关于x=2对称(这是求解的关键)，不妨设f(x)在[0，2]上为f(x)=x(如图1)，易知f(x)在[4，6]上递增，在[6，8]上递减，且关于x=6对称，∴f(4.5)=f(7.5) 四、分段函数问题要注意利用“界点”(分段点)的特殊功能
分段函数的分段点在解决问题时往往有“窥斑见豹”的作用，对把握图象的整体情况，寻求解题捷径至关重要。
例7函数f(x)= 2x -1， g(x)=1-x2，构造函数F(X)，定义如下:
当|f(x)| ≥g(x)时，F(X)=|f(x)|，当|f(x)|< g(x)时，F (x)=-g(x)，那么F(x)( )。
A、有最大值1，无最小值; B、有最小值0，无最大值;
C、有最小值一1，无最大值；D、无最小值，也无最大值。
易知F(x)的最小值为F(0)=-1，无最大值。
A、奇函数且为周期函数B、偶函数且为周期函数
C、非奇非偶且非周期函数D、偶函数且非周期函数
[分析]当x是有理数时，-x也是有理数，则f(-x)=1=f(x)，当x是无理数时，-x也是无理数.则f(-x)=0=f(x)，所以，x∈R时，总有f(-x)=f(x)，即f(x)是偶函数。设T是一个有理数，把T视为分段函数的界点，当x+T是有理数时，则x是有理数，有f(x+T)=0=f(x)，当x+T是无理数时，则x是无理数，有f(x+T)=0=f(x)，所以x∈R时，都有f(x+T)=f(x)，（下转第92页）（上接第88页）即f(x)是以有理数T为周期的函数.故应选B。
例9设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1， x∈R。
(I) 当界点a =0时，f(x)为偶函数；当a≠0时，f(x)是非奇非偶函数。
②当界点a∈（-，）时，fmin (x)= f(a)=a2+1。③当界点a∈[，+∞）时，f(x)min= f(-)=a+。
五、求解某些不确定性函数问题时要注意抓住函数的改变量
例10如图3，四个高为H的容器 A， B， C，D，盛水深度为h，水的体积为v，函数v=f(h)的图象大致为图4，则
[分析]这类试题属于不确定性函数问题，一般采用“取横比纵”的方法，在横轴上截取自变量的相等改变量△h，再观察和比较纵轴上函数的改变△V的大小，若△V较大，则函数变化较大(图象较陡急)，反之，则函数变化较小(图象较平缓)，本题中的自变量h逐渐增大时，对相等的改变量△h，函数的改变量△V由小变大，故应选B。
例11如图5，阴影部分的面积S是h的函数(O≤h≤H)，则函数的大致图象是图6的()。
[分析]本题选项都不符合题意，是有毛病的题目。从图5可知，当h由0逐渐增大时，S逐渐0减小，且对相等的改变量△h，函数的改变量△S由小变大(图象由缓变急)，当h超过H0时，△S由大变小(图象由急变缓)，函数的大致图象如图7所示。
关于定义域的确定原则，高中现行教材主要有两条要求:①使解析式本身有意义;②使实际问题(应用问题)本身有意义。但对变量有演变转化的情形强调不够，学生在运用中常存疑惑。
例l已知，求。
[分析]
令 ，当x＞0时，x≥2;当x＜0时，x≤-2。
∴f(x)= x4-4x2+2。 即：f(x)= x4-4x2+2 定义域为{x|x≥2或x≤-2}。不少同学求解时因忽视变量的演变过程，常把定义域误作R。
例2对于函数f(x) = ax2+bx+c (a≠0)作x=h(t)的代换，则总不改变函数f(x)值域的代换是（）。
A、h(t)=3tB、h(t)=|t|C、h(t)=costD、h(t)=log2t
[分析]的定义域是R，值域是{y|y≥}或{y|y≤}；不改变值域的充要条件是：对值域内任一点y0，在作x=h(t)的代换后总能保证f[h(t)]= y0有实数解。选项A、B、C、不符合要求，故选D。学生在选择时容易产生模糊，主要是对变量的转换所引起的相关变化认识不足。
二、单调性(最值)问题要注意在非区间上的必要拓广
单调性问题主要定义在区间上(高中现行教材)，学生在非区间上的运用能力比较薄弱，在这方面应适当加强。
例3设函数f(x)=x2+px (x∈N+)，
(I)如果f(x)是单调递增函数，求实数P的取值范围。
(II)当x∈[1，k]时，如果f(x)的最大值f(x)max=f(1)=f(k)，则f(x)恒小于0。
[分析] (I)二次函数主要定义在R上，在非区间上它的性质会有一些差异，如不一定存在顶点和对称轴，在“对称轴”的两侧也可能存在一致的单调性。不少同学受定势思维的影响这样求解：对称轴，∵f(x)是增函数，且x∈N+，∴≤1，即p≥-2。显然这是不周全的，事实上，x是非区间上的离散点，当≤1或-1＜2-()
（“对称轴”在1与2之间且靠近1）时，都有f (x)是增函数，所以正确的答案是P≥-2或P >-3即：P>-3(注：x∈N+时f (x)其实不存在对称轴，为方便求解仍借助这一概念)。
(II) x∈[1， k]且x∈N+ ， f(x)max=f(1)=f(k)，则-1=k-()(这时，f(x)存在对称轴)，所以p=-(k+l)， f(x)= x2-(k+1)x， f(x) > 0时，有x∈(O，k+l)，故f(x)在x∈[1，k]时恒小于0。
例4某公司生产报警系统装置，每月产量最多100台，最少50台，生产x台的收入函数R (x)=3000x-20x2(单位:元)，其成本函数为C(x)=500x+ 4000(单位:元)，求利润p(x)的最大值和最小值
[分析]P(x)=R(x) -C(x)=-20x2+2500x- 4000(x∈ [50 ，100]且x∈N+)，P(x)=-20{x-)2+82125，∵x=∈N+，∴p(x)max≠82125(元)，
∴当x=62或63时，p(x)max=74120(元)。而x∈[50，62]且x∈N+时，p(x)递增，x∈[63 ， 100]且x∈N+时，p(x)递减，
∴P(x)min=46000(元)。
三、对称性问题要注意联系和转化
由函数的奇偶性及图象的平移可得到一些重要的结论。
如①y=f(x)(指图象)关于直线x=a对称y=f(x+a)关于y轴对称(偶函数) f(-x+a)=f(x+a)(不是f(x+a)=f[-(x+a)] )；②y=f(x)与y=f(-x)关于y轴对称:y=f(x+a)与y=f(-x+a)关于y轴对称；y=f(x-a)与y=f(a-x)关于x=a对称；③y=f(-x)与y=f-1(-x)关于y=-x对称;y= f(x+a)与y= f-1(x+a)关于y= x+a对称；y=-f(x+a)与y=-f-1(x+a)关于y=-x-a对称。至于点对称或其它情形的对称，同学们可以类似写出，并结合图象切实理解。
例5函数y=f(-x，+a)与y=f-1(-x-a) (a>0)的图象()
A：关于y=x对称B：关于y=-x对称C: y=-x+a对称D：关于y=-x-a对称
[分析]由于y=f(x)与y=f-1(x)关于y=x对称，y=f(x)与y=f(-x)关于y轴对称，y=f-1(x)与y=f -1(-x)关于y轴对称，可以推出y=f-1(x)与y=f-1(-x)关于y=-x对称，然后把y=f(-x)向右平移a个单位得到y=f(-x+a)的图象，把y=f-1(-x)的图象向左平移a个单位得到y=f-1(-x-a)的图象，对称轴仍为y=-x。或者由上述③可知y=f(-x-a)与y=f-1(-x-a)关于y=-x-a对称，把y=f(-x-a)向右平移2a个单位得y=f(-x+a)的图象，所以对称轴为y=-x.故应选B(可以把f{x)设为特殊函数如f(x)=2x作图求解)。
例6已知定义在R上的函数y=f(x)满足下列三个条件:
①对于任意x∈R，都有f(x+4)=f(x)；②对于任意的O≤x1 ＜x2≤2，都有f(x1)
分段函数的分段点在解决问题时往往有“窥斑见豹”的作用，对把握图象的整体情况，寻求解题捷径至关重要。
例7函数f(x)= 2x -1， g(x)=1-x2，构造函数F(X)，定义如下:
当|f(x)| ≥g(x)时，F(X)=|f(x)|，当|f(x)|< g(x)时，F (x)=-g(x)，那么F(x)( )。
A、有最大值1，无最小值; B、有最小值0，无最大值;
C、有最小值一1，无最大值；D、无最小值，也无最大值。
易知F(x)的最小值为F(0)=-1，无最大值。
A、奇函数且为周期函数B、偶函数且为周期函数
C、非奇非偶且非周期函数D、偶函数且非周期函数
[分析]当x是有理数时，-x也是有理数，则f(-x)=1=f(x)，当x是无理数时，-x也是无理数.则f(-x)=0=f(x)，所以，x∈R时，总有f(-x)=f(x)，即f(x)是偶函数。设T是一个有理数，把T视为分段函数的界点，当x+T是有理数时，则x是有理数，有f(x+T)=0=f(x)，当x+T是无理数时，则x是无理数，有f(x+T)=0=f(x)，所以x∈R时，都有f(x+T)=f(x)，（下转第92页）（上接第88页）即f(x)是以有理数T为周期的函数.故应选B。
例9设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1， x∈R。
(I) 当界点a =0时，f(x)为偶函数；当a≠0时，f(x)是非奇非偶函数。
②当界点a∈（-，）时，fmin (x)= f(a)=a2+1。③当界点a∈[，+∞）时，f(x)min= f(-)=a+。
五、求解某些不确定性函数问题时要注意抓住函数的改变量
例10如图3，四个高为H的容器 A， B， C，D，盛水深度为h，水的体积为v，函数v=f(h)的图象大致为图4，则
[分析]这类试题属于不确定性函数问题，一般采用“取横比纵”的方法，在横轴上截取自变量的相等改变量△h，再观察和比较纵轴上函数的改变△V的大小，若△V较大，则函数变化较大(图象较陡急)，反之，则函数变化较小(图象较平缓)，本题中的自变量h逐渐增大时，对相等的改变量△h，函数的改变量△V由小变大，故应选B。
例11如图5，阴影部分的面积S是h的函数(O≤h≤H)，则函数的大致图象是图6的()。
[分析]本题选项都不符合题意，是有毛病的题目。从图5可知，当h由0逐渐增大时，S逐渐0减小，且对相等的改变量△h，函数的改变量△S由小变大(图象由缓变急)，当h超过H0时，△S由大变小(图象由急变缓)，函数的大致图象如图7所示。