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摘要：“鸡兔同笼”最早记录于我国的古书《孙子算经》之中。为了体现其数学文化历史与独特的解决问题方法，不同版本的小学数学课本都把它纳入其中。本文简单阐述了“鸡兔同笼”的教学构思。
关键词：鸡兔同笼;小学数学;教学;
中图分类号：G4 文献标识码：A 文章编号：（2021）-13-211
“鸡兔同笼”是我国古代数学的经典趣题，重在培养学生的数学思维能力。解决“鸡兔同笼”问题的方法有很多，如“画图、列举、假设、方程”等，每种方法都有各自的教学价值。
一、回归学生起点，引导学生掌握列举法
教师先出示题目：鸡兔同笼，从上面数，有8个头，从下面数有26只脚，鸡和兔各有几只？随之出示以下表格，让学生根据表格寻找规律。
这一个教学环节的要点是让学生按照一定的顺序，从易到难初步感受数字的变化，并在同类事物的对比中发现变化的规律（变与不变的量各是什么）。学生回答出的结论是：（1）鸡和兔都有一个头，但鸡有2只脚，兔有4只脚。（2）鸡减少1只，兔增加1只，总脚数就增加2只。接着，笔者出示前两列数字（8，0，16）（7，1，18），并提问：鸡的只数从8只到7只减少1，就把鸡抓1只出来，少了几只脚;兔的只数从0到1只增加1只，多了几只脚？学生表示这么一出一进地交换，脚的总数就增加了2只。再从右往左观察，得出1只鸡和1只兔的脚数差2，减少的总脚数里有几个2，就要把几只兔换成几只鸡。最后，笔者与学生共同总结总脚数的增减变化，可以通过鸡和兔的互换来实现，总脚数之间相差的数里有几个2，就要换几只。
教师需要通过对教材内容进行重组，在课堂上呈现非典型“鸡兔同笼”问题，让学生回归到学习最原始的状态，从未知开始，尝试画一画、举一举的方法解决问题，在解决问题的过程中慢慢积累经验，在经验中一步一步地优化、提升。放慢脚步，拉长并放大列举、画图等基本方法的学习与体验过程，拉长了列举法的体验，学生原生态的思考、探索、分享、实践有了时间与空间的保障，有序思考，观察、分析、归纳、创新、发现并不断调整等综合能力都得到充分发展。这样的学习过程，既守住了学生学习的底线，更让许多数学核心素养在学习过程中得到了培养。
二、假设法模型解决问题
出示古代“鸡兔同笼”原题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？这时列表法、画图法就会显得比较麻烦，而假设法依然不受数据大小的局限，不仅加深学生对假设法解决问题的理解，同时验证了假设法的可行之处及优势所在，学生感悟到模型思想的形成过程，建构了解决鸡兔同笼问题的假设法模型。
例如：方法一：假设全是鸡。
脚：35×2=70（只）少了94-70=24（只）——求总相差数
兔：24÷（4-2）=12（头）——4-2为单相差数
鸡：35-12=23（头）
方法二：假设全是兔。
脚：35×4=140（只）多了140-94==46（只）——求总相差数
鸡：46÷（4-2）=23（头）——4-2为单相差数
兔：35-23=12（头）
总结方法：1.先计算假设的腿数与实际腿数的相差数，称之为总相差数。2.用总相差数除以单相差数（也就是一只兔和一只鸡相差的腿数，这里的相差数根据不同的问题而不同）。如果先假设兔，那么第二步先求出的是鸡的只数，反之先假设的是鸡，先求出来的是兔的只数。3.求出一种的数量，另一种数量用总数量减去已求即可解决问题了。因此，假设法的模型方法也可以归纳为三步法——①乘②除③减，引导学生总结方法，并理解方法的形成过程，从模型思想到模型方法再到模型思想的学习体验过程是学生数学素养的培养过程。
理解假设法中的总相差数与单相差数目的就是为了解决类似鸡兔同笼问题的关键所在，在不一样的“鸡兔同笼”问题中可以找到相同的思维元素，找到关键的相同点，才能真正形成普遍性的模型方法，这样的模型建构才是有价值的，这样的模型思想才是属于学生内化的数学素养。
三、变换角度假设，感悟各算法的异同
以上都是从满足8个头的条件进行假设的（头的数量少，方便调整）。教师还可以引导学生变换角度继续思考：“我们还能从其他条件出发进行假设吗？”当然，我们也可以从脚的只数出发进行假设：假设26只脚全是鸡的脚，然后调整。不过脚的数量复杂，调整起来也更麻烦些。
“鸡兔同笼”问题还有许多解法。如“抬腿法”，解题思路与记载在《孙子算经》中的解题方法“半足法”相同：上置头，下置足，半其足，以头除足，以足除头即得（脚数除以2，结果减头数得兔，再用总头数减兔，得鸡）。除了《孙子算经》，中国古代数学书籍《算法统宗》中也记载了一道“鸡兔同笼”的问题，还有一个同类型的“米麦问题”。《算法统宗》采用的解题方法是与“半足法”不同的“倍头法”和“四头法”，即：倍头减足折半是兔（头数乘2，足数减掉乘积后除以2得兔）;四头减足折半是鸡（4乘头数，减掉足数除以2得鸡）。整理算法后我们发现，“半足法”是从满足脚的条件出发的假设法，而“倍头法”“四头法”则是从满足头的条件出发的假设法。
总之，对于初接触此类问题的学生来说，列举法无疑是最自然的方法。本课以“鸡兔同笼”问题为载体，教学最能被广泛迁移的列举法。给予学生充分的感悟时间，丰富体验，为“假设法”的产生与理解奠定基础。有效促进学生面对陌生问题时形成“先试试看”的思维方式和勇于嘗试的思维品质。针对不同学生的差异，教师应采用多种教导方式培养学生解题思维。“鸡兔同笼”问题的价值不是解题的技巧，而是借助其趣味性提升学生的思维深度，领悟其中蕴含的数学思想方法。本课基于目标定位，以生为本，重组材料，重构课堂，关注群体背后的个体，着眼结果背后的过程，让学生的数学思维得到生长。
参考文献
[1]王军仁.返璞归真，彰显教学本色——“鸡兔同笼”磨课实践与思考[J].小学数学教育，2018（11）：25-28.
关键词：鸡兔同笼;小学数学;教学;
中图分类号：G4 文献标识码：A 文章编号：（2021）-13-211
“鸡兔同笼”是我国古代数学的经典趣题，重在培养学生的数学思维能力。解决“鸡兔同笼”问题的方法有很多，如“画图、列举、假设、方程”等，每种方法都有各自的教学价值。
一、回归学生起点，引导学生掌握列举法
教师先出示题目：鸡兔同笼，从上面数，有8个头，从下面数有26只脚，鸡和兔各有几只？随之出示以下表格，让学生根据表格寻找规律。
这一个教学环节的要点是让学生按照一定的顺序，从易到难初步感受数字的变化，并在同类事物的对比中发现变化的规律（变与不变的量各是什么）。学生回答出的结论是：（1）鸡和兔都有一个头，但鸡有2只脚，兔有4只脚。（2）鸡减少1只，兔增加1只，总脚数就增加2只。接着，笔者出示前两列数字（8，0，16）（7，1，18），并提问：鸡的只数从8只到7只减少1，就把鸡抓1只出来，少了几只脚;兔的只数从0到1只增加1只，多了几只脚？学生表示这么一出一进地交换，脚的总数就增加了2只。再从右往左观察，得出1只鸡和1只兔的脚数差2，减少的总脚数里有几个2，就要把几只兔换成几只鸡。最后，笔者与学生共同总结总脚数的增减变化，可以通过鸡和兔的互换来实现，总脚数之间相差的数里有几个2，就要换几只。
教师需要通过对教材内容进行重组，在课堂上呈现非典型“鸡兔同笼”问题，让学生回归到学习最原始的状态，从未知开始，尝试画一画、举一举的方法解决问题，在解决问题的过程中慢慢积累经验，在经验中一步一步地优化、提升。放慢脚步，拉长并放大列举、画图等基本方法的学习与体验过程，拉长了列举法的体验，学生原生态的思考、探索、分享、实践有了时间与空间的保障，有序思考，观察、分析、归纳、创新、发现并不断调整等综合能力都得到充分发展。这样的学习过程，既守住了学生学习的底线，更让许多数学核心素养在学习过程中得到了培养。
二、假设法模型解决问题
出示古代“鸡兔同笼”原题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？这时列表法、画图法就会显得比较麻烦，而假设法依然不受数据大小的局限，不仅加深学生对假设法解决问题的理解，同时验证了假设法的可行之处及优势所在，学生感悟到模型思想的形成过程，建构了解决鸡兔同笼问题的假设法模型。
例如：方法一：假设全是鸡。
脚：35×2=70（只）少了94-70=24（只）——求总相差数
兔：24÷（4-2）=12（头）——4-2为单相差数
鸡：35-12=23（头）
方法二：假设全是兔。
脚：35×4=140（只）多了140-94==46（只）——求总相差数
鸡：46÷（4-2）=23（头）——4-2为单相差数
兔：35-23=12（头）
总结方法：1.先计算假设的腿数与实际腿数的相差数，称之为总相差数。2.用总相差数除以单相差数（也就是一只兔和一只鸡相差的腿数，这里的相差数根据不同的问题而不同）。如果先假设兔，那么第二步先求出的是鸡的只数，反之先假设的是鸡，先求出来的是兔的只数。3.求出一种的数量，另一种数量用总数量减去已求即可解决问题了。因此，假设法的模型方法也可以归纳为三步法——①乘②除③减，引导学生总结方法，并理解方法的形成过程，从模型思想到模型方法再到模型思想的学习体验过程是学生数学素养的培养过程。
理解假设法中的总相差数与单相差数目的就是为了解决类似鸡兔同笼问题的关键所在，在不一样的“鸡兔同笼”问题中可以找到相同的思维元素，找到关键的相同点，才能真正形成普遍性的模型方法，这样的模型建构才是有价值的，这样的模型思想才是属于学生内化的数学素养。
三、变换角度假设，感悟各算法的异同
以上都是从满足8个头的条件进行假设的（头的数量少，方便调整）。教师还可以引导学生变换角度继续思考：“我们还能从其他条件出发进行假设吗？”当然，我们也可以从脚的只数出发进行假设：假设26只脚全是鸡的脚，然后调整。不过脚的数量复杂，调整起来也更麻烦些。
“鸡兔同笼”问题还有许多解法。如“抬腿法”，解题思路与记载在《孙子算经》中的解题方法“半足法”相同：上置头，下置足，半其足，以头除足，以足除头即得（脚数除以2，结果减头数得兔，再用总头数减兔，得鸡）。除了《孙子算经》，中国古代数学书籍《算法统宗》中也记载了一道“鸡兔同笼”的问题，还有一个同类型的“米麦问题”。《算法统宗》采用的解题方法是与“半足法”不同的“倍头法”和“四头法”，即：倍头减足折半是兔（头数乘2，足数减掉乘积后除以2得兔）;四头减足折半是鸡（4乘头数，减掉足数除以2得鸡）。整理算法后我们发现，“半足法”是从满足脚的条件出发的假设法，而“倍头法”“四头法”则是从满足头的条件出发的假设法。
总之，对于初接触此类问题的学生来说，列举法无疑是最自然的方法。本课以“鸡兔同笼”问题为载体，教学最能被广泛迁移的列举法。给予学生充分的感悟时间，丰富体验，为“假设法”的产生与理解奠定基础。有效促进学生面对陌生问题时形成“先试试看”的思维方式和勇于嘗试的思维品质。针对不同学生的差异，教师应采用多种教导方式培养学生解题思维。“鸡兔同笼”问题的价值不是解题的技巧，而是借助其趣味性提升学生的思维深度，领悟其中蕴含的数学思想方法。本课基于目标定位，以生为本，重组材料，重构课堂，关注群体背后的个体，着眼结果背后的过程，让学生的数学思维得到生长。
参考文献
[1]王军仁.返璞归真，彰显教学本色——“鸡兔同笼”磨课实践与思考[J].小学数学教育，2018（11）：25-28.