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笔者在阅读《语数外学习》(高中版)2010年六月份中旬刊的《数列中的数学思想集萃》一文时，发现P15页中有如下的评注：不等式恒成立的常见问题是：f(x)≥a恒成立f(x)min≥a，f(x)≤a恒成立f(x)min≤a，f(x)＞g(x)恒成立［f(x)-g(x)］min＞0，或f(x)＞g(x)恒成立f(x)min＞g(x)max，可见解不等式恒成立问题的关键是求函数的最值.
阅读后,沉思良久.发现,上面的结论都是错误的.错误的原因:
(1) 一个函数能否取到最值与函数的定义域有关，即f(x)在定义域内不一定有最大值与最小值.因此，f(x)≥a恒成立或f(x)≤a恒成立，或f(x)＞g(x)恒成立，只能在特定的背景下作具体的分析，从而完成恒成立问题；
（2） f(x)＞g(x)恒成立f(x)min＞g(x)max更是天大的错误.
① f(x)＞g(x)恒成立是对同-x而言的.从图像看，f(x)＞g(x)f(x)的图像在g(x)图像的上方，决定了与两函数的最值无任何关系；
② 为说明f(x)＞g(x)恒成立f(x)min＞g(x)max是错误的,我们可以举一反例：如f(x)=-x+32，g(x)=1-x2,
如右图,当x∈［-1，1］时,f(x)min=f(1)=12,g(x)max=g(0)=1
显然,此时f(x)min＜g(x)max,
且f(x)的最小值与g(x)的最大值不是对同-x的.
但f(x)＞g(x)(-1≤x≤1)是恒成立的.
上述错误,不仅是原文的错误,也是我们许多课外资料在该问题上错误的集中反映.为正淆视听，我们将从不等式中的恒成立，不等式有解，数列中的恒成立，导数中有关的恒成立来澄清3个问题：① 恒成立（或有解）的原理；② 判断是恒成立或有解的问题；③ 能否取“=”号.最后再给出一个f(x)min＞g(x)max的生动的例子来结束此文.
一、 不等式中的恒成立
例1 对x∈
12，3，x+2x≤a恒成立，求a的取值范围.
评析:a为参数，x为主元，这就是含参数的不等式恒成立问题令f(x)=x+2x，即求f(x)max
易知，当x∈(0，2］时，f(x)为减函数；
当x∈［2，+∞）时，f(x)为增函数.
∴ 当x∈12,2时，f(x)max=f12=92；
当x∈2，3时，f(x)max=f(3)=113.
∴ x ∈12,3时，f(x)max=92，f(x)min=f(2)=22.
故a的取值范围是：a≥92，即a≥f(x)max.
变式1 对x≤12，3，x+2x≤a恒成立，求a的取值范围.
由上知，a2≤f(x)＜92，此时，f(x)无最大值，
但a的取值范围仍为：a≥92.
变式2 对x∈12，3，x+2x＜a恒成立，求a的取值范围.
同理，22≤f(x)＜92，虽然f(x)无最大值，但a的取值范围仍为：a≥92.
点评：这就是前述在特定的背景下作具体的分析之表现，变式2中的结论仍可取“=”号.
例2 若不等式2x-1＞m(x2-1)对满足-2≤m≤2的所有m都成立，求x的取值范围
评析:依题意，m为主元，则x为参数.
于是,原不等式可变为（x2-1）m-2x+1＜0
则原命题为：对m∈［-2，2］，(x2-1)m-2x+1＜0恒成立.
令f(x)=(x2-1)m-2x+1
方法：数形结合.如右图:
则f(-2)＜0 (1)
f(2)＜0 （2）
由（1）得x＜-1-72，或x＞-1+72
由（2）得1-32＜x＜1+32
由（1），（2）知，x的取值范围为-1+72，1+32.
点评：虽然是恒成立问题，但（1）、（2）都不能取“=”号.
例3 对x∈（1，2），不等式（x-1）2＜logxa，（0＜a≠1）恒成立，求a的取值范围.
评析:为求a的取值范围，可将不等式转化为函数，结合图像，便于寻找恒成立的条件.
令f(x)=(x-1)2，g(x)=logxa，
如右图，
显然，a＞1
则恒成立的条件为：
a＞1
g(2)≥f(2)1＜a≤2
即a的取值范围是(1，2］
点评：借助图像清楚地发现，即使是一个开区间，但照样可以取“=”号.
二、 不等式有解（或无解）问题
例4 已知关于x的不等式|2x-3|+|x-4|＜a有解，求a的取值范围.
评析:a为参数,这就是一个含参数的不等式有解的问题.
设f(x)=|2x-3|+|x-4|，y=a
则f(x)=7-3xx＜32
x+132≤x＜4
3x-7(x≥4)
如右图，作直线y=a，
从图像上看，
当x1＜x＜x2时，f(x)＜a，
即不等式有解，此时，a＞52.
即当a＞52时, 原不等式有解.
点评：此时结论中不能取“=”号.相应地,当a≤52时，原不等式无解.
若变为：关于x的不等式|2x-3|+|x-4|≤a有解，则a的取值范围为［52，+∞).
三、 不等式有解还是恒成立的判定问题
例5 若存在x∈［1，2］,使x2+2x+a≥0成立，求a的取值范围.
评析:原命题关于x的不等式x2+2x+a≥0在x∈［1，2］上至少有一个解，求a的取值范围.
① 先将参数a分离,a≥-x2-2x，x∈［1，2］
② 令f(x)=-x2-2x,x∈［1，2］，
由图知即求f(x)min，
这便是不等式有解与恒成立问题的区别之表现.
如右图:f(x)min=-8，∴ a≥-8
故a的取值范围为［-8,-∞).
点评： (1) 题意的理解——是不等式有解的问题还是恒成立问题；
（2） 方法的选择——数形结合；
（3） 结论中能否取“=”号.
此题还有一种解法：正难则反，先考虑原命题的否定，即不分离参数.
对x∈［1，2］，x2+2x+a＜0恒成立
令g(x)=x2+2x+a，如右图：
则g(2)＜0a＜-8.
故所求a的取值范围为a≥-8.
这种方法更适合参数不易分离的类似的问题.
变式: 若存在(1,2),使x2+2x+a＞0成立，则a的取值范围为（-8，+∞）.
例6 设f(x)=-13x3+12x2+2ax
（1） 若f(x)在23，+∞上存在单调递增区间，求a的取值范围;
（2） 当0＜a＜2时，f(x)在［1，4］上的最小值为-163，求f(x)在该区间上的最大值.
评析:关键是对（1）的理解.若理解为f′(x)=-x2+x+2a≥ 0在23,+∞上恒成立，则（1）变为f(x)在23,+∞上是单调递增函数，不满足题意.
故（1）应理解为:f′(x)=-x2+x+2a≥0在23,+∞上有解2a≥x2-x在23,+∞上有解
令y=x2-x，则对称轴：x=12，∴ y=x2-x在23,+∞上是增函数，
∴ x2-x＞49-23=-29.由图像可知:2a＞-29，
即a＞-19（注：这里不能取“=”号）.
故a的取值范围为-19，+∞.
（2） 0＜a＜2时，f′（x）=-x2+x+2a，x∈［1,4］时,
令f′（x）=0，则x2-x-2a=0
x1=1-1+8a2（舍），x2=1+1+8a2
1＜1+1+8a2＜1+172＜4
列表
x1(1,x2)x2(x2,4)4
f′(x)+0-
f(x)极大值
∴ f(x)max=f(x)极大值=f(x2)
f(1)=16+2a，f(4)=-403+8a，f(1)-f(4)=81-36a6＞0,
∴ f(1)＞f(4)，∴ f(x)min=f(4).
由 -403+8a=-163a=1，∴ f(x)max=f(x2)=f(2)=103
例7 已知二次函数设f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间［-1，1］内至少存在一个实数c，使f(c)＞0，求实数p的取值范围.
评析:此题的理解与例5相同，原命题关于的不等式f(x)＞0在x∈［-1，1］内至少有一个实数解.
此时，由于正面的情况较多，故采用正难则反的原则，
即对x∈［-1，1］，f(x)≤0恒成立f(-1)≤0
f(1)≤0
解得p≤-3，或p≥32
∴ 当-3＜p＜32时，在区间［-1,1］内至少存在一个实数c，使f(c)＞0，即实数p的取值范围为-3,32.
四、 数列中的恒成立问题
例8 已知Sn=n4(n+4)，bn=n+2n+3,若不等式4aSn＜bn对n∈N*都成立，求a的取值范围.
评析:由4aSn＜bna＜n2+6n+8n2+3n对n∈N*都成立.
令f(n)=n2+6n+8n2+3n，则f(n)=1+3n+8n2+3n＞1
∴ a≤1,即a的取值范围是（-∞，1］.
点评：这里可以取“=”号.
例9 已知数列{an}满足a1=2，an=2an-1+2n+1(n≥2，n∈N*)
（3） 设bn=an2n，证明数列{bn}是等差数列，并求bn;
（4） 数列{bn}满足（1），数列{cn}满足cn=2n+1，且对任意正整数n，不等式abn+4≤1+1c11+1c2…1+1cn恒成立，求正数a的取值范围.
评析: （1） 由an=2an-1+2n+1(n≥2,n∈N*)an2n=an-12n-1+2
则bn=bn-1+2，即bn-bn-1=2(常数)
∴ 数列{bn}是等差数列,首项为a12=1，公差为2
∴ bn=2n-1，n∈N*.
则an=（2n-1）·2n，n∈N*
（2） 原不等式a≤1+1c11+1c2…1+1cn2n+3
令f(n)=
1+1c1
1+1c2…1+1cn2n+3
则f(n+1)=
1+1c11+1c2…1+1cn1+1cn+12n+5
∴ f(n+1)f(n)=4n2+16n+164n2+16n+15＞1
又f(n）＞0，∴ f(n+1)＞f(n)，
即f(n)在n∈N*上是增函数.
∴ f(n)min=f(1)=41515，∴ 0＜a≤41515
即正数a的取值范围为0，41515.
又如，数列{an}满足an=n-12n+1，对n∈N*，an＜a恒成立，求a的取值范围.
评析:an=12(2n+1)-32n+1=121-32n+1,易知an在N*上是增函数，
∴ an≥a1=0，又an＜12，
∴ 0≤an＜12，∴ a的取值范围是12，+∞
五、 导数中的恒成立问题
例10 已知f(x)=x3-6b2x+b在（0，1）内有极小值，求b的取值范围.
评析: 由b知，b≥0.当b=0时，函数f(x)=x3-6b2x+b
变为f(x)=x3在R上是增函数.
此时，f(x)无极值，∴ b＞0.
则f′(x)=3x2-6b2，x∈（0，1），如右图
显然f′(0)＜0恒成立，
∴ f(x)在(0,1)内有极小值f′(1)0恒成立（这里不能取“=”号）|b|＜220＜b＜22,即b的取值范围为0,22.
例11 已知函数f(x)=x3+bx2+d在(0,2)内是减函数，且2是方程f(x)=0的根，求f(1)的最小值.
评析:f′(x)=3x2+2bx，
依题意，有f′(x)＜0在(0,2)内恒成立.
如右图,
f′(2)≤0——（这里可以取“=”号）
则b≤-3,又f(2)=0，
∴ d=-8-4b,f(1)=-3b-7
∴ 当b=-3时，f(1)min=2
例12 若函数f(x)=13x3-12ax2+（a-1）x+1在（1，4）内是减函数，在（6，+∞）上是增函数，试求实数的取值范围.
评析:f′(x)=x2-ax+a-1=（x-1）(x+1-a)
易知f′(1)=0
f(x)在(1，4)内是减函数，
即f′(x)＜0在(1,4)恒成立；
f(x)在(6,+∞)内是增函数，
即f′(x)＞0在(6,+∞)恒成立.
如右图,
则f′(4)≤0(1)
f′(6)≥0(2)，由（1）a≥5;由（2）a≤7
∴ 5≤a≤7，即实数a的取值范围为［5,7］
点评：导数中的恒成立问题关键是看能否取“=”号
六、 一个与f(x)min＞g(x)max有关的命题
例13 已知g(x)=7x2-28x-c，f(x)=2x3+4x2-40x
（1） 若对x∈［-3,3］，都有g(x)≤f(x)成立，求实数c的取值范围；
（2） 若对x1∈［-3,3］，x2∈［-3,3］，都有g(x)≤f(x)成立，求实数c的取值范围.
评析: （1） g(x)≤f(x)g(x)max≤f(x)min之错误，前已分析.
为此,将g(x)≤f(x)转化为f(x)-g(x)≥0
令H（x）=f(x)-g(x),
则H（x）≥0对x∈［-3,3］恒成立.
这样,只需求H(x)min，从而使问题的解决变得更加直接与明朗.
这里,存在的一个问题是:随着定义域的变化,当H（x）无最小值时，恒成立问题照样可以处理.(类似例1的变式1),而并非H(x)≥0恒成立H(x)min≥0
H（x）=2x3-3x2-12x+c，
H′（x）=6(x+1)(x-2),
令H′（x）=0，则x=-1，或x=2
列表
x-3(-3,-1)-1(-1,2)2（2，3）3
H′(x)+0-0+
H（x）-45+c极大值7+c极小值-20+c-9+c
∴ H（x）min=-45+c,由-45+c≥0c≥45
即实数c的取值范围为［45，+∞）.
（2） 原命题对x1，x2∈［-3，3］，不论x1=x2或x1≠x2，都有g(x)≤f(x)成立，
∴ 原命题对x1，x2∈［-3，3］，都有g(x)max≤f(x)min成立.
点评：也只有在这样的背景下,恒成立问题才等价于g(x)max≤f(x)min,
命题者的匠心独用可见一斑.
易知,g(x)max=g(-3)=147-c
对f(x),f′(x)=2(3x+10)(x-2),
令f′（x）=0，则x=-103,（舍），或x=2
列表
x-3(-3,-2)2(2,3)3
f′(x)-0+
f（x）102极小值-30
∴ f(x)min=f(2)=-48
由147-c≤-48c≥195
即实数c的取值范围为［195,+∞).
最后的总结：
（1） 明确恒成立（或有解）的原理（始终与函数的定义域有关）；
（2） 能否取“=”号；
（3） 判断是恒成立问题还是有解的问题（如例5）.
阅读后,沉思良久.发现,上面的结论都是错误的.错误的原因:
(1) 一个函数能否取到最值与函数的定义域有关，即f(x)在定义域内不一定有最大值与最小值.因此，f(x)≥a恒成立或f(x)≤a恒成立，或f(x)＞g(x)恒成立，只能在特定的背景下作具体的分析，从而完成恒成立问题；
（2） f(x)＞g(x)恒成立f(x)min＞g(x)max更是天大的错误.
① f(x)＞g(x)恒成立是对同-x而言的.从图像看，f(x)＞g(x)f(x)的图像在g(x)图像的上方，决定了与两函数的最值无任何关系；
② 为说明f(x)＞g(x)恒成立f(x)min＞g(x)max是错误的,我们可以举一反例：如f(x)=-x+32，g(x)=1-x2,
如右图,当x∈［-1，1］时,f(x)min=f(1)=12,g(x)max=g(0)=1
显然,此时f(x)min＜g(x)max,
且f(x)的最小值与g(x)的最大值不是对同-x的.
但f(x)＞g(x)(-1≤x≤1)是恒成立的.
上述错误,不仅是原文的错误,也是我们许多课外资料在该问题上错误的集中反映.为正淆视听，我们将从不等式中的恒成立，不等式有解，数列中的恒成立，导数中有关的恒成立来澄清3个问题：① 恒成立（或有解）的原理；② 判断是恒成立或有解的问题；③ 能否取“=”号.最后再给出一个f(x)min＞g(x)max的生动的例子来结束此文.
一、 不等式中的恒成立
例1 对x∈
12，3，x+2x≤a恒成立，求a的取值范围.
评析:a为参数，x为主元，这就是含参数的不等式恒成立问题令f(x)=x+2x，即求f(x)max
易知，当x∈(0，2］时，f(x)为减函数；
当x∈［2，+∞）时，f(x)为增函数.
∴ 当x∈12,2时，f(x)max=f12=92；
当x∈2，3时，f(x)max=f(3)=113.
∴ x ∈12,3时，f(x)max=92，f(x)min=f(2)=22.
故a的取值范围是：a≥92，即a≥f(x)max.
变式1 对x≤12，3，x+2x≤a恒成立，求a的取值范围.
由上知，a2≤f(x)＜92，此时，f(x)无最大值，
但a的取值范围仍为：a≥92.
变式2 对x∈12，3，x+2x＜a恒成立，求a的取值范围.
同理，22≤f(x)＜92，虽然f(x)无最大值，但a的取值范围仍为：a≥92.
点评：这就是前述在特定的背景下作具体的分析之表现，变式2中的结论仍可取“=”号.
例2 若不等式2x-1＞m(x2-1)对满足-2≤m≤2的所有m都成立，求x的取值范围
评析:依题意，m为主元，则x为参数.
于是,原不等式可变为（x2-1）m-2x+1＜0
则原命题为：对m∈［-2，2］，(x2-1)m-2x+1＜0恒成立.
令f(x)=(x2-1)m-2x+1
方法：数形结合.如右图:
则f(-2)＜0 (1)
f(2)＜0 （2）
由（1）得x＜-1-72，或x＞-1+72
由（2）得1-32＜x＜1+32
由（1），（2）知，x的取值范围为-1+72，1+32.
点评：虽然是恒成立问题，但（1）、（2）都不能取“=”号.
例3 对x∈（1，2），不等式（x-1）2＜logxa，（0＜a≠1）恒成立，求a的取值范围.
评析:为求a的取值范围，可将不等式转化为函数，结合图像，便于寻找恒成立的条件.
令f(x)=(x-1)2，g(x)=logxa，
如右图，
显然，a＞1
则恒成立的条件为：
a＞1
g(2)≥f(2)1＜a≤2
即a的取值范围是(1，2］
点评：借助图像清楚地发现，即使是一个开区间，但照样可以取“=”号.
二、 不等式有解（或无解）问题
例4 已知关于x的不等式|2x-3|+|x-4|＜a有解，求a的取值范围.
评析:a为参数,这就是一个含参数的不等式有解的问题.
设f(x)=|2x-3|+|x-4|，y=a
则f(x)=7-3xx＜32
x+132≤x＜4
3x-7(x≥4)
如右图，作直线y=a，
从图像上看，
当x1＜x＜x2时，f(x)＜a，
即不等式有解，此时，a＞52.
即当a＞52时, 原不等式有解.
点评：此时结论中不能取“=”号.相应地,当a≤52时，原不等式无解.
若变为：关于x的不等式|2x-3|+|x-4|≤a有解，则a的取值范围为［52，+∞).
三、 不等式有解还是恒成立的判定问题
例5 若存在x∈［1，2］,使x2+2x+a≥0成立，求a的取值范围.
评析:原命题关于x的不等式x2+2x+a≥0在x∈［1，2］上至少有一个解，求a的取值范围.
① 先将参数a分离,a≥-x2-2x，x∈［1，2］
② 令f(x)=-x2-2x,x∈［1，2］，
由图知即求f(x)min，
这便是不等式有解与恒成立问题的区别之表现.
如右图:f(x)min=-8，∴ a≥-8
故a的取值范围为［-8,-∞).
点评： (1) 题意的理解——是不等式有解的问题还是恒成立问题；
（2） 方法的选择——数形结合；
（3） 结论中能否取“=”号.
此题还有一种解法：正难则反，先考虑原命题的否定，即不分离参数.
对x∈［1，2］，x2+2x+a＜0恒成立
令g(x)=x2+2x+a，如右图：
则g(2)＜0a＜-8.
故所求a的取值范围为a≥-8.
这种方法更适合参数不易分离的类似的问题.
变式: 若存在(1,2),使x2+2x+a＞0成立，则a的取值范围为（-8，+∞）.
例6 设f(x)=-13x3+12x2+2ax
（1） 若f(x)在23，+∞上存在单调递增区间，求a的取值范围;
（2） 当0＜a＜2时，f(x)在［1，4］上的最小值为-163，求f(x)在该区间上的最大值.
评析:关键是对（1）的理解.若理解为f′(x)=-x2+x+2a≥ 0在23,+∞上恒成立，则（1）变为f(x)在23,+∞上是单调递增函数，不满足题意.
故（1）应理解为:f′(x)=-x2+x+2a≥0在23,+∞上有解2a≥x2-x在23,+∞上有解
令y=x2-x，则对称轴：x=12，∴ y=x2-x在23,+∞上是增函数，
∴ x2-x＞49-23=-29.由图像可知:2a＞-29，
即a＞-19（注：这里不能取“=”号）.
故a的取值范围为-19，+∞.
（2） 0＜a＜2时，f′（x）=-x2+x+2a，x∈［1,4］时,
令f′（x）=0，则x2-x-2a=0
x1=1-1+8a2（舍），x2=1+1+8a2
1＜1+1+8a2＜1+172＜4
列表
x1(1,x2)x2(x2,4)4
f′(x)+0-
f(x)极大值
∴ f(x)max=f(x)极大值=f(x2)
f(1)=16+2a，f(4)=-403+8a，f(1)-f(4)=81-36a6＞0,
∴ f(1)＞f(4)，∴ f(x)min=f(4).
由 -403+8a=-163a=1，∴ f(x)max=f(x2)=f(2)=103
例7 已知二次函数设f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间［-1，1］内至少存在一个实数c，使f(c)＞0，求实数p的取值范围.
评析:此题的理解与例5相同，原命题关于的不等式f(x)＞0在x∈［-1，1］内至少有一个实数解.
此时，由于正面的情况较多，故采用正难则反的原则，
即对x∈［-1，1］，f(x)≤0恒成立f(-1)≤0
f(1)≤0
解得p≤-3，或p≥32
∴ 当-3＜p＜32时，在区间［-1,1］内至少存在一个实数c，使f(c)＞0，即实数p的取值范围为-3,32.
四、 数列中的恒成立问题
例8 已知Sn=n4(n+4)，bn=n+2n+3,若不等式4aSn＜bn对n∈N*都成立，求a的取值范围.
评析:由4aSn＜bna＜n2+6n+8n2+3n对n∈N*都成立.
令f(n)=n2+6n+8n2+3n，则f(n)=1+3n+8n2+3n＞1
∴ a≤1,即a的取值范围是（-∞，1］.
点评：这里可以取“=”号.
例9 已知数列{an}满足a1=2，an=2an-1+2n+1(n≥2，n∈N*)
（3） 设bn=an2n，证明数列{bn}是等差数列，并求bn;
（4） 数列{bn}满足（1），数列{cn}满足cn=2n+1，且对任意正整数n，不等式abn+4≤1+1c11+1c2…1+1cn恒成立，求正数a的取值范围.
评析: （1） 由an=2an-1+2n+1(n≥2,n∈N*)an2n=an-12n-1+2
则bn=bn-1+2，即bn-bn-1=2(常数)
∴ 数列{bn}是等差数列,首项为a12=1，公差为2
∴ bn=2n-1，n∈N*.
则an=（2n-1）·2n，n∈N*
（2） 原不等式a≤1+1c11+1c2…1+1cn2n+3
令f(n)=
1+1c1
1+1c2…1+1cn2n+3
则f(n+1)=
1+1c11+1c2…1+1cn1+1cn+12n+5
∴ f(n+1)f(n)=4n2+16n+164n2+16n+15＞1
又f(n）＞0，∴ f(n+1)＞f(n)，
即f(n)在n∈N*上是增函数.
∴ f(n)min=f(1)=41515，∴ 0＜a≤41515
即正数a的取值范围为0，41515.
又如，数列{an}满足an=n-12n+1，对n∈N*，an＜a恒成立，求a的取值范围.
评析:an=12(2n+1)-32n+1=121-32n+1,易知an在N*上是增函数，
∴ an≥a1=0，又an＜12，
∴ 0≤an＜12，∴ a的取值范围是12，+∞
五、 导数中的恒成立问题
例10 已知f(x)=x3-6b2x+b在（0，1）内有极小值，求b的取值范围.
评析: 由b知，b≥0.当b=0时，函数f(x)=x3-6b2x+b
变为f(x)=x3在R上是增函数.
此时，f(x)无极值，∴ b＞0.
则f′(x)=3x2-6b2，x∈（0，1），如右图
显然f′(0)＜0恒成立，
∴ f(x)在(0,1)内有极小值f′(1)0恒成立（这里不能取“=”号）|b|＜220＜b＜22,即b的取值范围为0,22.
例11 已知函数f(x)=x3+bx2+d在(0,2)内是减函数，且2是方程f(x)=0的根，求f(1)的最小值.
评析:f′(x)=3x2+2bx，
依题意，有f′(x)＜0在(0,2)内恒成立.
如右图,
f′(2)≤0——（这里可以取“=”号）
则b≤-3,又f(2)=0，
∴ d=-8-4b,f(1)=-3b-7
∴ 当b=-3时，f(1)min=2
例12 若函数f(x)=13x3-12ax2+（a-1）x+1在（1，4）内是减函数，在（6，+∞）上是增函数，试求实数的取值范围.
评析:f′(x)=x2-ax+a-1=（x-1）(x+1-a)
易知f′(1)=0
f(x)在(1，4)内是减函数，
即f′(x)＜0在(1,4)恒成立；
f(x)在(6,+∞)内是增函数，
即f′(x)＞0在(6,+∞)恒成立.
如右图,
则f′(4)≤0(1)
f′(6)≥0(2)，由（1）a≥5;由（2）a≤7
∴ 5≤a≤7，即实数a的取值范围为［5,7］
点评：导数中的恒成立问题关键是看能否取“=”号
六、 一个与f(x)min＞g(x)max有关的命题
例13 已知g(x)=7x2-28x-c，f(x)=2x3+4x2-40x
（1） 若对x∈［-3,3］，都有g(x)≤f(x)成立，求实数c的取值范围；
（2） 若对x1∈［-3,3］，x2∈［-3,3］，都有g(x)≤f(x)成立，求实数c的取值范围.
评析: （1） g(x)≤f(x)g(x)max≤f(x)min之错误，前已分析.
为此,将g(x)≤f(x)转化为f(x)-g(x)≥0
令H（x）=f(x)-g(x),
则H（x）≥0对x∈［-3,3］恒成立.
这样,只需求H(x)min，从而使问题的解决变得更加直接与明朗.
这里,存在的一个问题是:随着定义域的变化,当H（x）无最小值时，恒成立问题照样可以处理.(类似例1的变式1),而并非H(x)≥0恒成立H(x)min≥0
H（x）=2x3-3x2-12x+c，
H′（x）=6(x+1)(x-2),
令H′（x）=0，则x=-1，或x=2
列表
x-3(-3,-1)-1(-1,2)2（2，3）3
H′(x)+0-0+
H（x）-45+c极大值7+c极小值-20+c-9+c
∴ H（x）min=-45+c,由-45+c≥0c≥45
即实数c的取值范围为［45，+∞）.
（2） 原命题对x1，x2∈［-3，3］，不论x1=x2或x1≠x2，都有g(x)≤f(x)成立，
∴ 原命题对x1，x2∈［-3，3］，都有g(x)max≤f(x)min成立.
点评：也只有在这样的背景下,恒成立问题才等价于g(x)max≤f(x)min,
命题者的匠心独用可见一斑.
易知,g(x)max=g(-3)=147-c
对f(x),f′(x)=2(3x+10)(x-2),
令f′（x）=0，则x=-103,（舍），或x=2
列表
x-3(-3,-2)2(2,3)3
f′(x)-0+
f（x）102极小值-30
∴ f(x)min=f(2)=-48
由147-c≤-48c≥195
即实数c的取值范围为［195,+∞).
最后的总结：
（1） 明确恒成立（或有解）的原理（始终与函数的定义域有关）；
（2） 能否取“=”号；
（3） 判断是恒成立问题还是有解的问题（如例5）.