弦长问题在高考题及模拟题中经常出现，从理论上讲，利用弦长公式就能解决问题。但实际中，除个别简单题（本文从略）外，直接利用弦长公式会使问题变得非常繁琐。本文试图对此进行系统的总结，给出不同类型题目的解决策略。
　　一、两线段相等
　　类型Ⅰ：有相同端点的不共线线段
　　例1.（2005，孝感二模）
　　已知a=（x，0），b=（1，y），（a+ 2b）⊥（a- 2b）。
　　（1）求点P（x，y）的轨迹方程C。
　　（2）若直线L：y=kx+b（k≠0）与曲线C交与A、B两点，D（0，-1），且有|AD|=|BD|，试求m的取值范围。
　　类型Ⅱ：共线线段
　　例2.直线L与x轴不垂直，与抛物线y2=x+2交于A、B两点，与椭圆x2+2y2=2交于C、D两点，与x轴交于点M（x0，0），且|AC|=|BD|，求x0的取值范围。
　　策略分析：不妨设A（x1，y1）在B（x2，y2）下方，C（x2，y3）在D（x4，y4）下方，由于A、B、C、D共线，要使|AC|=|BD|，只需x3-x1=x2-x4，即x1+x2=x3+x4，结合韦达定理可得结果。
　　二、三线段相等
　　类型Ⅰ：正三角形
　　例3.（2003，北京春招）
　　已知动圆过定点P（1，0）且与定直线L：x=-1相切，点C在L上。
　　（1）求动圆圆心的轨迹M的方程。
　　（2）设过点P且斜率为- 3的直线与曲线M相交于A、B两点。
　　①问三角形ABC能否为正三角形？若能，求点C坐标；若不能，说明理由。
　　②问三角形ABC能否为钝角三角形？若能，求点C纵坐标的取值范围；若不能，说明理由。
　　策略分析：对于本题涉及的正三角形问题，其突出特点是，落在直线上的两个顶点实际是已知的。所以，只需设C（-1，y），根据|BC|=|AB|和|AC|=|AB|分别列方程求y值，判断两个y值是否相等。
　　例4.（2005，学海大联考六）
　　如图，在直角坐标系中，点A（-1，0）、B（1，0）、P（x，y），设AP、OP、BP与x轴正方向的夹角分别为α、β、γ，且α+β+γ=π。
　　（1）求点P的轨迹G的方程。
　　（2）设过点C（0，1）的直线L与轨迹G交于不同的两点M、N，问在x轴上是否存在一点E（x0，0）使△MNE为正三角形？
　　策略分析：设直线L：y=kx-1，由韦达定理求出MN中点F的坐标，再根据kEF·kMN=-1，求出E（ ，0）；利用弦长公式求出|MN|，再根据 |MN|=|EF|解得k=±3。注意代入三角形验证。
　　类型Ⅱ：共线线段
　　例5.（2004，广东高考卷）
　　设直线λ与椭圆 + =1相交于A、B两点，λ又与双曲线x2-y2=1相交于C、D两点，C、D三等分线段AB，求λ的方程。
　　策略分析：实质是|AC|=|CD|=|DB|。当λ与x轴垂直时，λ方程为x=± ；当λ与x轴不垂直时，先由|AC|=|DB|，利用例3的方法，求得k=0或b=0，然后分类讨论求出A、B、C、D的横坐标，利用AB=3CD，得出b=± 和k=± 。
　　三、线段成比例
　　类型Ⅰ：两个已知点一个未知点
　　例6.（2005，黄冈调研）
　　已知椭圆C的方程为 + =1（a>b>0），双曲线 - =1的两条渐近线为L1、L2，过椭圆的右焦点F做直线L，使L⊥L1，又L与L2交于点P。设L与椭圆的两个交点由上到下依次为A、B。
　　（1）当L1与L2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程。
　　（2）当FA=λ.AP时，求λ的最大值。
　　策略分析：F点和P点的坐标皆可求，根据定比分点公式，求出A点坐标，代入椭圆方程即可。
　　类型Ⅱ：一个已知点两个未知点
　　例7.（2004，全国卷）
　　设双曲线C： -y2=1（a>0）与直线L：x+y=1相交于两个不同的点A、B。
　　（1）求双曲线的离心率e的取值范围。
　　（2）设直线L与y轴的交点为P，且PA= PB，求a值。
　　策略分析：设A（x1，y1）、B（x2，y2）、P（0，1），由PA= PB知x1= x2，于是，x1+x2= x2，x1x2= x22，前式平方除以后式消掉x2，结合韦达定理即可求出a。