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[摘要]贯彻《新课程标准》基本理念,华东师范大学出版社出版的初中数学教材,在一些章节中恰当地安排了“实践与探索”的课题材料,在实际的教与学中均取得了很好的效果,但也存在个别与设计者初衷大相径庭的例题或材料,值得商榷。
[关键词]《新课程标准》 实践与探索 华东师范大学 初中一年级 教材 例题 商榷
《新课程标准》之基本理念中有这样的叙述:“3.学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的,这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动......动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。4.数学教学活动......教师应激发学生的学习积极性,向学生提供充分从事数学活动的机会,帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,获得广泛的数学活动经验。”[1]
华东师范大学出版社出版的初中数学教材很好地贯彻了这一理念,恰当地在一些章节中安排了“实践与探索”的课题材料,教师也在实际的教学中充分地利用这些材料,引导学生积极地参与探索,使学生分析、解决实际问题的能力得到较大的提高。
但也有个别的例题材料欠妥,与设计者的初衷大相径庭,下面就是一个例子。
例题来源:华东师范大学出版社,初中一年级(七年级)(下),数学,第33页,§7.3实践与探索,问题1。
§7.3 实践与探索
试解下列问题,与你的同伴讨论与交流.
问题1
要用20张白卡纸做包装盒,每张白卡纸可以做盒身2个,或者做盒底盖3个.如果一个盒身和2个底盖可以做成一个包装盒,那么能否把这些白卡纸分成两部分,一部分做盒身,一部分做底盖,使做成的盒身和盒底盖正好配套?
请你设计一种分法.
想一想,如果一张白卡纸可以适当的套裁出一个盒身和一个盒盖,那么,又怎样分这些白卡纸,才能既使做出的盒身和盒盖配套,又能充分地利用白卡纸?[2]
《教师用书》所提供的教学建议:
本节安排了两个与生活密切相关、有一定思考性的问题,让学生综合运用已有的知识,经过自主探索、交流讨论,去尝试解决,并在探索和解决问题的过程中获得体验,得到发展,学会新的东西,发展自己的思维能力。
本节教学应突出学生的自主性,鼓励学生主动探索,既不能变成一般的列二元一次方程组解应用题的例题教学,也不能事先周密设计,上成按图索骥的“假探索”课。
《教师用书》所提供的教学参考:
这里的一个侧面是每一个长方体包装盒的侧面,一个底面是指它的上底面或下底面。问题1的解:若设用x张白卡纸做盒身,用y张白卡纸做盒盖,根据题意得:[3]
由于解为分数,所以若白卡 纸不套裁,则最多能做16个包装盒;若可套裁,用8张做侧面,11张做底面,另一张套裁出1个侧面,1个底面,则共可做盒身17个,盒底盖34个,正好配成17个包装盒,较充分地利用了材料。
在备课时,认真地阅读了上面的内容,并做好了充分准备。在教学中,正如我们预料的那样,学生较容易就列出了如上面所说的方程组,并且正确得出了方程组的的解,然而,真正的探索才刚刚开始。
老师:“到现在,我们做完没有?”
学生1:“没有!”
老师:“哦,应用题,还应该答,答:用张纸做侧面, 张纸做底面,能使做成的侧面和底面正好配套。”
学生2:“不对!根据实际意义,纸的张数应该是整数(正整数)。”
学生3:“你没有认真读题,题上说把白卡纸分成两部分,又没有说一定是整张,把纸裁开来,不也能分成两部分了吗?”
老师:“哦,那也就是说,有两种初步的分法,一种是分成整数张的两部分,一种是可以将一张或几张裁开来再分成两部分。那大家讨论一下,哪一种分法更好呢?”
......(学生讨论中)
老师:“好,现在,讨论得出结论的同学请举手。”
......(仍在讨论中)
老师:“那好,我们一个一个地来,先讨论分成整数张的情况。”
学生4:“又有两种情况,第一种,做侧面的用8张,可做16个侧面;做底面的用12张,可做36个底面,这样可以做16个盒子,剩四个底面。第二种,做侧面的用9张,可做18个侧面;做底面的用11张,可做33个底面,这样,可做16个盒子,余下两个侧面和一个底面。总之,若是分成整数张的两部分,就只能做16个盒子。”
学生5:“不对!”
老师:“为什么?说说理由。”
学生5:“题上说,该如何分法,能使做成的侧面和底面正好配套,他的这两种分法都使做成的侧面或底面有剩余,不能正好配套,不符合题意,所以是错的!”
老师:“对啊!那也就是说,不能采用分成整数张这种分法,因为它不符合题意。我们就只继续讨论不是整数张的分法了。”
......(学生讨论中)
学生6:“哈哈!我知道了!能做17个!”
老师:“真的能做17个?那比刚才的办法又能多做一个,很好!说说你的理由。”
学生6:“刚才已经算出,x=,乘以2,得17个侧面,余 个侧面;y=,乘以3,得34个底面,余
个底面,这样,能做17个侧面和34个底面,做成的侧面和底面刚好配套,符合题意!并且做得最多!”
老师:“那也还是不符合题意,不是还余 个侧面和
个底面吗,怎么能刚好配套呢?”我有意地在这个地方设了一个陷阱。
学生7:“老师,不对,题上说的是“做成”的底面和侧面正好配套,而现在剩下的只是边角料,既做不成整个的底面,也做不成整个的侧面,所以是符合题意的!”
老师:“很好!同学们,你们认为怎样呢?”
“正确的!就是17个!”一阵议论之后,大家都表示赞同。
老师:“也就是说,如果我们将其中的一张白卡纸裁成
和 的两部分,就能实现这个结果。”
我舒了一口气,准备结束探究。
学生8:“好象还是不对。”
老师:“为什么又不对了?”我也想不出有哪里不对。
学生8:“我正在想,但我觉得就是不对。”
老师:“那好,那你先想一想,周围的同学也帮助他一起想,其他同学也想一想,有什么地方不对。”既然是“实践与探索”课程,当然应放开思维,不能就这样下了结论。
......(探究、交流中)
一会儿,以学生8为中心的讨论圈子越来越大,并且明显是有了新的发现。
学生9:“李老,他想的有道理,答案虽然算出来符合,但好像题本身就有问题,比如,我们都用不同的纸作了实验,但没有找到既能刚好做两个盒身,又能刚好做三个盒盖,且盒身和盒盖刚好配套的纸张,好像没有符合要求的纸张规格。”
“就是、就是,李老师,我们的都不行!”学生举着手中的纸片叫着,其中最多的是16开规格的作业本纸和用作业本纸裁出的正方形、长方形纸片。
这样的问题令我始料不及,在备课中,我没有预见到在这里还有问题,我开始紧张地想象着和思考着:
1、按初一学生的思维水平,形象思维远大于抽象思维,那么,必须找到能符合题意的这样一张纸片,才能让学生真正认同。
2、通过短时间的紧张思考,我真的还没有想出该是什么样的纸片,面对这么多双渴望的眼睛,我该怎么办?是否真是题出错了?
老师:“看来,这还真是个问题,那我们再一起来探究符合题意的这种白卡纸的规格吧。”对于这种课堂生成的闪着思维火花的问题,我是不会轻易放过的!
......(学生探究、交流中)
显然,学生还是形象思维更强,绝大多数同学在尝试裁出不同的纸片来帮助思考和进行验证,也有个别学生在练习本上画草图进行探究,而我,则利用这个机会紧张思考,最后,还是用理性的方式向学生提出如下的探究途径:
根据题意,符合条件的白卡纸应该是下图三种中的一种或几种:
(其中,虚线表示将纸片裁为两个盒身,实线表示将纸片裁为三个盒盖)
然而,乍一看来,我们都有这样的直觉,这样裁下来的纸片能刚好做成盒子吗?多半题是错的了。
由于前面探究用时较长,所以很快就已经下课了。于是,我将该问题当做作业留给同学们课后继续探究。
课后,我又进行了研究,发现该问题已超过了绝大多数同学自我探究的能力范围,于是决定讲授。
设做成的盒子如图:
那么,根据题意,一张白卡纸裁侧面的情况应该如A1、A2,一张白卡纸裁底面的情况应该如B1、B2、B3,如下分类讨论,可分六种情况:A1和B1,A1和B2,A1和B3,A2和B1,A2和B2,A2和B3,但前三种情况很显然不能成立,举例如A1和B1:
根据题意得:(1) 因为4x>3x,4y> 0,显然方程(1)无解。
或(2)因为4y>y,4x> 0,显然方程(1)无解。
讨论结果,只有A2和B1或A2和B2符合题意,并且,因为长方体的长和宽并未固定,可以交换,那么,这两种情
况其实是同种情况。根据题意得: ,解
得: ,也即是,做成的盒子的高:宽:长=1:2:4,那
么,就是说,白卡纸的规格只要是:长=6a,宽=a就符合题意。
结论一出,同学们又忙开了,很快,绝大多数同学裁出了符合要求的纸片,并折叠、搭建好了符合题意的长方体纸盒。
实际上,在课堂上给学生讲解的要比如上讲解的还要细致,因为,只有两个方程的三元一次方程组对于初一的学生来说还真是难度较大,另外,分类讨论的每种情况都一一做了讨论,这样一路讲下来,一节课又将结束,好歹,绝大部分学生表示真正理解了。
到此,大功告成,我终于可以长舒一口气了!然而:
学生10:“李老师,要不得!”
课堂一片哗然。
老师:“还要不得,不会吧!说说看!”作好了充分准备的我很轻松地说。
学生10:“我有两个问题,1、用这种规格的白卡纸,怎样裁 做底面和 做侧面?我裁不出来,按理说,做侧面只需要 就够了,为什么要 ?2、裁了侧面剩下的就不能做底面,裁了底面剩下的就不能裁侧面了。”
很快,我将该学生的意思表达在了电子白板上,如下:
(图一:实线部分表示裁下一个侧面后剩下的纸片,图二:实线部分表示裁下一个底面后剩下的纸片)
在给同学们画图的过程中,我知道我这次真的是捡到了一个宝贝,我也知道了问题的最后结论,但,我还是不想急于作出结论。
老师:“同学们请看,这就是上面这位同学的意见,大家交流一下,发表你自己的看法。”
......(热烈的交流中)
学生11:“很显然,裁了底面就不能裁侧面,裁了侧面就不能裁底面。”
学生12:“ 和 的说法是理论上针对于面积来说的,但实际根本不可行。”
学生13:“除非可以裁剪了再粘贴,粘贴了再裁剪,但题上没有这么说,应该不可以。”
学生14:“那,这就是一个坏题!”
老师:“因为原题上有这样一个条件——如果一张白卡纸可以适当的套裁出一个盒身和一个盒盖。要使这个条件成立,就说明白卡纸不是刚好裁出2个盒身或3个盒盖,应该还有剩余部分,才有套裁的可能,那么,多出来的这部分应该是多大呢?显然应该如下:
或剩余部分还可以更多一些,但这样一来,一张白卡纸就应该能裁出至少4个盒盖了,与原题题意可裁出3个盒盖矛盾,所以,该题确是一个坏题,那么应该怎样改一下,使它成为一个好题呢?大家想想,提出自己的修改意见,并简要说明理由。”
学生15:“可以改为:用20张白卡纸做包装盒,每张白卡纸刚好可以做盒身2个,或者刚好可以做盒底盖3个.如果一个盒身和2个底盖可以做成一个包装盒,那么分别用多少张做盒身和多少张做盒盖,能使做成的盒子最多?”
......
[参考文献]
[1]中华人民共和国《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》
[2]华东师范大学出版社,《初中一年级(七年级)(下)数学》课本
[3]华东师范大学出版社,初中一年级(七年级)(下)数学《教师用书》
(作者单位:四川省绵竹市汉旺中学)
[关键词]《新课程标准》 实践与探索 华东师范大学 初中一年级 教材 例题 商榷
《新课程标准》之基本理念中有这样的叙述:“3.学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的,这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动......动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。4.数学教学活动......教师应激发学生的学习积极性,向学生提供充分从事数学活动的机会,帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,获得广泛的数学活动经验。”[1]
华东师范大学出版社出版的初中数学教材很好地贯彻了这一理念,恰当地在一些章节中安排了“实践与探索”的课题材料,教师也在实际的教学中充分地利用这些材料,引导学生积极地参与探索,使学生分析、解决实际问题的能力得到较大的提高。
但也有个别的例题材料欠妥,与设计者的初衷大相径庭,下面就是一个例子。
例题来源:华东师范大学出版社,初中一年级(七年级)(下),数学,第33页,§7.3实践与探索,问题1。
§7.3 实践与探索
试解下列问题,与你的同伴讨论与交流.
问题1
要用20张白卡纸做包装盒,每张白卡纸可以做盒身2个,或者做盒底盖3个.如果一个盒身和2个底盖可以做成一个包装盒,那么能否把这些白卡纸分成两部分,一部分做盒身,一部分做底盖,使做成的盒身和盒底盖正好配套?
请你设计一种分法.
想一想,如果一张白卡纸可以适当的套裁出一个盒身和一个盒盖,那么,又怎样分这些白卡纸,才能既使做出的盒身和盒盖配套,又能充分地利用白卡纸?[2]
《教师用书》所提供的教学建议:
本节安排了两个与生活密切相关、有一定思考性的问题,让学生综合运用已有的知识,经过自主探索、交流讨论,去尝试解决,并在探索和解决问题的过程中获得体验,得到发展,学会新的东西,发展自己的思维能力。
本节教学应突出学生的自主性,鼓励学生主动探索,既不能变成一般的列二元一次方程组解应用题的例题教学,也不能事先周密设计,上成按图索骥的“假探索”课。
《教师用书》所提供的教学参考:
这里的一个侧面是每一个长方体包装盒的侧面,一个底面是指它的上底面或下底面。问题1的解:若设用x张白卡纸做盒身,用y张白卡纸做盒盖,根据题意得:[3]
由于解为分数,所以若白卡 纸不套裁,则最多能做16个包装盒;若可套裁,用8张做侧面,11张做底面,另一张套裁出1个侧面,1个底面,则共可做盒身17个,盒底盖34个,正好配成17个包装盒,较充分地利用了材料。
在备课时,认真地阅读了上面的内容,并做好了充分准备。在教学中,正如我们预料的那样,学生较容易就列出了如上面所说的方程组,并且正确得出了方程组的的解,然而,真正的探索才刚刚开始。
老师:“到现在,我们做完没有?”
学生1:“没有!”
老师:“哦,应用题,还应该答,答:用张纸做侧面, 张纸做底面,能使做成的侧面和底面正好配套。”
学生2:“不对!根据实际意义,纸的张数应该是整数(正整数)。”
学生3:“你没有认真读题,题上说把白卡纸分成两部分,又没有说一定是整张,把纸裁开来,不也能分成两部分了吗?”
老师:“哦,那也就是说,有两种初步的分法,一种是分成整数张的两部分,一种是可以将一张或几张裁开来再分成两部分。那大家讨论一下,哪一种分法更好呢?”
......(学生讨论中)
老师:“好,现在,讨论得出结论的同学请举手。”
......(仍在讨论中)
老师:“那好,我们一个一个地来,先讨论分成整数张的情况。”
学生4:“又有两种情况,第一种,做侧面的用8张,可做16个侧面;做底面的用12张,可做36个底面,这样可以做16个盒子,剩四个底面。第二种,做侧面的用9张,可做18个侧面;做底面的用11张,可做33个底面,这样,可做16个盒子,余下两个侧面和一个底面。总之,若是分成整数张的两部分,就只能做16个盒子。”
学生5:“不对!”
老师:“为什么?说说理由。”
学生5:“题上说,该如何分法,能使做成的侧面和底面正好配套,他的这两种分法都使做成的侧面或底面有剩余,不能正好配套,不符合题意,所以是错的!”
老师:“对啊!那也就是说,不能采用分成整数张这种分法,因为它不符合题意。我们就只继续讨论不是整数张的分法了。”
......(学生讨论中)
学生6:“哈哈!我知道了!能做17个!”
老师:“真的能做17个?那比刚才的办法又能多做一个,很好!说说你的理由。”
学生6:“刚才已经算出,x=,乘以2,得17个侧面,余 个侧面;y=,乘以3,得34个底面,余
个底面,这样,能做17个侧面和34个底面,做成的侧面和底面刚好配套,符合题意!并且做得最多!”
老师:“那也还是不符合题意,不是还余 个侧面和
个底面吗,怎么能刚好配套呢?”我有意地在这个地方设了一个陷阱。
学生7:“老师,不对,题上说的是“做成”的底面和侧面正好配套,而现在剩下的只是边角料,既做不成整个的底面,也做不成整个的侧面,所以是符合题意的!”
老师:“很好!同学们,你们认为怎样呢?”
“正确的!就是17个!”一阵议论之后,大家都表示赞同。
老师:“也就是说,如果我们将其中的一张白卡纸裁成
和 的两部分,就能实现这个结果。”
我舒了一口气,准备结束探究。
学生8:“好象还是不对。”
老师:“为什么又不对了?”我也想不出有哪里不对。
学生8:“我正在想,但我觉得就是不对。”
老师:“那好,那你先想一想,周围的同学也帮助他一起想,其他同学也想一想,有什么地方不对。”既然是“实践与探索”课程,当然应放开思维,不能就这样下了结论。
......(探究、交流中)
一会儿,以学生8为中心的讨论圈子越来越大,并且明显是有了新的发现。
学生9:“李老,他想的有道理,答案虽然算出来符合,但好像题本身就有问题,比如,我们都用不同的纸作了实验,但没有找到既能刚好做两个盒身,又能刚好做三个盒盖,且盒身和盒盖刚好配套的纸张,好像没有符合要求的纸张规格。”
“就是、就是,李老师,我们的都不行!”学生举着手中的纸片叫着,其中最多的是16开规格的作业本纸和用作业本纸裁出的正方形、长方形纸片。
这样的问题令我始料不及,在备课中,我没有预见到在这里还有问题,我开始紧张地想象着和思考着:
1、按初一学生的思维水平,形象思维远大于抽象思维,那么,必须找到能符合题意的这样一张纸片,才能让学生真正认同。
2、通过短时间的紧张思考,我真的还没有想出该是什么样的纸片,面对这么多双渴望的眼睛,我该怎么办?是否真是题出错了?
老师:“看来,这还真是个问题,那我们再一起来探究符合题意的这种白卡纸的规格吧。”对于这种课堂生成的闪着思维火花的问题,我是不会轻易放过的!
......(学生探究、交流中)
显然,学生还是形象思维更强,绝大多数同学在尝试裁出不同的纸片来帮助思考和进行验证,也有个别学生在练习本上画草图进行探究,而我,则利用这个机会紧张思考,最后,还是用理性的方式向学生提出如下的探究途径:
根据题意,符合条件的白卡纸应该是下图三种中的一种或几种:
(其中,虚线表示将纸片裁为两个盒身,实线表示将纸片裁为三个盒盖)
然而,乍一看来,我们都有这样的直觉,这样裁下来的纸片能刚好做成盒子吗?多半题是错的了。
由于前面探究用时较长,所以很快就已经下课了。于是,我将该问题当做作业留给同学们课后继续探究。
课后,我又进行了研究,发现该问题已超过了绝大多数同学自我探究的能力范围,于是决定讲授。
设做成的盒子如图:
那么,根据题意,一张白卡纸裁侧面的情况应该如A1、A2,一张白卡纸裁底面的情况应该如B1、B2、B3,如下分类讨论,可分六种情况:A1和B1,A1和B2,A1和B3,A2和B1,A2和B2,A2和B3,但前三种情况很显然不能成立,举例如A1和B1:
根据题意得:(1) 因为4x>3x,4y> 0,显然方程(1)无解。
或(2)因为4y>y,4x> 0,显然方程(1)无解。
讨论结果,只有A2和B1或A2和B2符合题意,并且,因为长方体的长和宽并未固定,可以交换,那么,这两种情
况其实是同种情况。根据题意得: ,解
得: ,也即是,做成的盒子的高:宽:长=1:2:4,那
么,就是说,白卡纸的规格只要是:长=6a,宽=a就符合题意。
结论一出,同学们又忙开了,很快,绝大多数同学裁出了符合要求的纸片,并折叠、搭建好了符合题意的长方体纸盒。
实际上,在课堂上给学生讲解的要比如上讲解的还要细致,因为,只有两个方程的三元一次方程组对于初一的学生来说还真是难度较大,另外,分类讨论的每种情况都一一做了讨论,这样一路讲下来,一节课又将结束,好歹,绝大部分学生表示真正理解了。
到此,大功告成,我终于可以长舒一口气了!然而:
学生10:“李老师,要不得!”
课堂一片哗然。
老师:“还要不得,不会吧!说说看!”作好了充分准备的我很轻松地说。
学生10:“我有两个问题,1、用这种规格的白卡纸,怎样裁 做底面和 做侧面?我裁不出来,按理说,做侧面只需要 就够了,为什么要 ?2、裁了侧面剩下的就不能做底面,裁了底面剩下的就不能裁侧面了。”
很快,我将该学生的意思表达在了电子白板上,如下:
(图一:实线部分表示裁下一个侧面后剩下的纸片,图二:实线部分表示裁下一个底面后剩下的纸片)
在给同学们画图的过程中,我知道我这次真的是捡到了一个宝贝,我也知道了问题的最后结论,但,我还是不想急于作出结论。
老师:“同学们请看,这就是上面这位同学的意见,大家交流一下,发表你自己的看法。”
......(热烈的交流中)
学生11:“很显然,裁了底面就不能裁侧面,裁了侧面就不能裁底面。”
学生12:“ 和 的说法是理论上针对于面积来说的,但实际根本不可行。”
学生13:“除非可以裁剪了再粘贴,粘贴了再裁剪,但题上没有这么说,应该不可以。”
学生14:“那,这就是一个坏题!”
老师:“因为原题上有这样一个条件——如果一张白卡纸可以适当的套裁出一个盒身和一个盒盖。要使这个条件成立,就说明白卡纸不是刚好裁出2个盒身或3个盒盖,应该还有剩余部分,才有套裁的可能,那么,多出来的这部分应该是多大呢?显然应该如下:
或剩余部分还可以更多一些,但这样一来,一张白卡纸就应该能裁出至少4个盒盖了,与原题题意可裁出3个盒盖矛盾,所以,该题确是一个坏题,那么应该怎样改一下,使它成为一个好题呢?大家想想,提出自己的修改意见,并简要说明理由。”
学生15:“可以改为:用20张白卡纸做包装盒,每张白卡纸刚好可以做盒身2个,或者刚好可以做盒底盖3个.如果一个盒身和2个底盖可以做成一个包装盒,那么分别用多少张做盒身和多少张做盒盖,能使做成的盒子最多?”
......
[参考文献]
[1]中华人民共和国《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》
[2]华东师范大学出版社,《初中一年级(七年级)(下)数学》课本
[3]华东师范大学出版社,初中一年级(七年级)(下)数学《教师用书》
(作者单位:四川省绵竹市汉旺中学)