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表象和定义是一个概念的两个侧面，是概念形成的共同体。前者表示概念的内部表征，是思维的重要组成部分；后者是概念的外部表征，是进行交流的基本工具。在数学概念教学中，有的学生只掌握了概念的定义而无表象；有的学生只有表象，而未掌握定义。这两种现象，均表明学生没有真正透彻地理解概念。如果仅有表象而没有定义，则会由于表象的模糊性造成概念理解的不清晰；如果仅有定义而无表象，则会造成学生无法理解定义本身抽象性的形式化语句。所以，应当将二者进行合理整合，方可寻求小学数学概念教学的有效途径。下面将结合“认识角”的教学，就概念教学的不同阶段中表象与定义的整合策略进行探讨。
一、 概念的感知阶段，渗透表象和定义
由于小学生思维是以直观形象思维为主，所以小学数学概念教学中，教师常常会通过呈现直观材料让学生感知概念。教师所选取的直观材料作为概念的实物原型，其中便融入了概念的本质属性，其直观形象性便于学生了解概念的表面特征，利于形成直观表象。
教学“认识角”时，课一开始，教师用课件出示剪刀、三角尺、闹钟等实物，让学生指认角在哪儿。学生指认之后，教师又问：“你还能在哪些物体上找到角呢？”接着学生们在书上、黑板上、门框上……找到了角。
这一环节呈现的感知材料中，包含了角的一般属性，学生在指认角的过程中初步感知了“角”，并在头脑中初步形成角的直观表象，使直观材料与概念原型、角的表象与定义属性之间发生关联。但此时的表象都是不确切的，学生的学习并不深入，仅是停留于概念的表面特征，并未达到抽象的层次。在下面的教学中，应引领学生在感知的基础上逐步丰富表象和反思抽象，直至形成定义。
二、 概念的表象阶段，揭示定义的属性与特征
为了帮助学生理解概念，不致于将概念的认识停留在以直观材料为主的表象上，教师应借助表象引导学生在已有感知的基础上，从不同的角度、不同的侧面对概念的属性、特征进行表征，这将是学生认知的一次“质”的飞跃。
上一环节教师让学生到生活中找的“角”，没有脱离实物，都是对具体材料的表征。接下来，教师让学生在一组图形中找角，学生找到了“长方形、三角形、正方形、平行四边形”中的“角”，这是借助图形进行表征。在“找角”后，教师演示将“角”从图形中分离，即把“角”从图形中“请”下来，也就是画了一个“角”，从而学生明确“‘角’和长方形、三角形一样，也是一个平面图形”，继而认识角的各部分名称，这是对角进行的语言表征。
由指出实物上的角、找图形上的角再到画角，这一过程中，不同形式的直观感知，为学生丰富了角的表象。从实物表征、图形表征到语言表征，这些对角的不同表征方式体现出了认知层次的差别：采用实物和图形表征角，都只限于直观水平，而对于角的本质并未真正理解。而语言表征，才反映出学生对角的概念理解层次的提升，因为它揭示了概念的本质属性。
但表征材料本身的“模糊性”、“歧义性”使课堂上也出现了这样的声音：“角，就是尖尖的、滑滑的、直直的图形。”“角，就是长方形、三角形等图形的一部分。”对于这样不准确的定义，则需要进行更深一步的学习，帮助学生实现“自我修正”。
三、 概念定义阶段，完善和修正概念表象
学生之所以在课堂上出现“角，就是长方形等图形的一部分”，“角，就是尖尖的、滑滑的、直直的图形”的定义，究其原因有两个：一是角的表象在不断变化而定义则相对稳定；二是表象自身的不完善，甚至是残缺性，才导致学生的认识不完善。为此，教师要引领学生及时概括抽象出相关定义，并对定义进行分析，给学生以准确的、清晰的概念表象，并通过定义对表象进行辨析、完善。
教师把角从图形上“请”下来，学生运用语言表征“角”之后，教师让学生们摸一摸三角板上的角，找到“尖尖的、直直的”感觉，继而认识“角”是由一个尖尖的“顶点”和两条直直的“边”组成的图形。紧接着，教师又让学生画出一个这样的角。接下来，教师让学生用吸管、小棒、细绳、圆片等不同的材料做出一个角，并指出角的顶点和边分别在哪里。至此，学生才拥有了一个清晰、准确的角的表象，而关于角的定义亦是呼之欲出了。但教学不能止步于此，教师又安排了一个角的大小比较环节，在比较中明确角的大小与边的长短无关，而与两条边张开的大小有关，从而学生对影响其大小的无关变量与有关变量有了更为明晰的认识。至此，学生们对角的认识不再拘泥于直观的表象材料，而是更趋于理性。
四、 概念运用阶段，丰富表象阐释定义
数学概念形成的过程中，运用表象表征概念，有两种功用：一是“具体——抽象”的表征阶段，一是“抽象——具体”的表征阶段。而数学概念的运用，多是用概念去表征具体材料，即让学生用抽象的本质属性去判断新的具体材料的属性。如果新的具体材料与前一阶段中的具体材料相同或相仿，则学生们很快就可以做出回答。然而，当新的具体材料是概念的变式或新的现实情境时，则要重复“具体——抽象”的过程，对新属性进行抽象。由此可见，有干扰的操作材料更有利于知识内化。
“认识角”这一课的练习环节，教师设计了变式练习：判断下列图形中的两个角，哪个角大，哪个角小？为什么？
图1和图2通过肯定例证中无关特征的变化，凸显了概念的本质属性：角的大小与边的长短无关。学生在辨析中体验到角的外在形式上的可变性，深刻感悟到角的大小其本质属性的不变性。在这一辨析过程中，学生运用概念阐释了角的定义，于阐释中内化了概念。这一变式材料的提供，为概念的建立提供了更加丰富的表象材料。
总之，只有在概念教学的各个阶段，引导学生将概念的形式定义与内在思维表象加以融合，使学生认知结构不断完善，并通过言语交流、操作运用等不同的表征方式，才可帮助学生厘清概念本质，使概念的理解得到深化。
【责任编辑：陈国庆】
一、 概念的感知阶段，渗透表象和定义
由于小学生思维是以直观形象思维为主，所以小学数学概念教学中，教师常常会通过呈现直观材料让学生感知概念。教师所选取的直观材料作为概念的实物原型，其中便融入了概念的本质属性，其直观形象性便于学生了解概念的表面特征，利于形成直观表象。
教学“认识角”时，课一开始，教师用课件出示剪刀、三角尺、闹钟等实物，让学生指认角在哪儿。学生指认之后，教师又问：“你还能在哪些物体上找到角呢？”接着学生们在书上、黑板上、门框上……找到了角。
这一环节呈现的感知材料中，包含了角的一般属性，学生在指认角的过程中初步感知了“角”，并在头脑中初步形成角的直观表象，使直观材料与概念原型、角的表象与定义属性之间发生关联。但此时的表象都是不确切的，学生的学习并不深入，仅是停留于概念的表面特征，并未达到抽象的层次。在下面的教学中，应引领学生在感知的基础上逐步丰富表象和反思抽象，直至形成定义。
二、 概念的表象阶段，揭示定义的属性与特征
为了帮助学生理解概念，不致于将概念的认识停留在以直观材料为主的表象上，教师应借助表象引导学生在已有感知的基础上，从不同的角度、不同的侧面对概念的属性、特征进行表征，这将是学生认知的一次“质”的飞跃。
上一环节教师让学生到生活中找的“角”，没有脱离实物，都是对具体材料的表征。接下来，教师让学生在一组图形中找角，学生找到了“长方形、三角形、正方形、平行四边形”中的“角”，这是借助图形进行表征。在“找角”后，教师演示将“角”从图形中分离，即把“角”从图形中“请”下来，也就是画了一个“角”，从而学生明确“‘角’和长方形、三角形一样，也是一个平面图形”，继而认识角的各部分名称，这是对角进行的语言表征。
由指出实物上的角、找图形上的角再到画角，这一过程中，不同形式的直观感知，为学生丰富了角的表象。从实物表征、图形表征到语言表征，这些对角的不同表征方式体现出了认知层次的差别：采用实物和图形表征角，都只限于直观水平，而对于角的本质并未真正理解。而语言表征，才反映出学生对角的概念理解层次的提升，因为它揭示了概念的本质属性。
但表征材料本身的“模糊性”、“歧义性”使课堂上也出现了这样的声音：“角，就是尖尖的、滑滑的、直直的图形。”“角，就是长方形、三角形等图形的一部分。”对于这样不准确的定义，则需要进行更深一步的学习，帮助学生实现“自我修正”。
三、 概念定义阶段，完善和修正概念表象
学生之所以在课堂上出现“角，就是长方形等图形的一部分”，“角，就是尖尖的、滑滑的、直直的图形”的定义，究其原因有两个：一是角的表象在不断变化而定义则相对稳定；二是表象自身的不完善，甚至是残缺性，才导致学生的认识不完善。为此，教师要引领学生及时概括抽象出相关定义，并对定义进行分析，给学生以准确的、清晰的概念表象，并通过定义对表象进行辨析、完善。
教师把角从图形上“请”下来，学生运用语言表征“角”之后，教师让学生们摸一摸三角板上的角，找到“尖尖的、直直的”感觉，继而认识“角”是由一个尖尖的“顶点”和两条直直的“边”组成的图形。紧接着，教师又让学生画出一个这样的角。接下来，教师让学生用吸管、小棒、细绳、圆片等不同的材料做出一个角，并指出角的顶点和边分别在哪里。至此，学生才拥有了一个清晰、准确的角的表象，而关于角的定义亦是呼之欲出了。但教学不能止步于此，教师又安排了一个角的大小比较环节，在比较中明确角的大小与边的长短无关，而与两条边张开的大小有关，从而学生对影响其大小的无关变量与有关变量有了更为明晰的认识。至此，学生们对角的认识不再拘泥于直观的表象材料，而是更趋于理性。
四、 概念运用阶段，丰富表象阐释定义
数学概念形成的过程中，运用表象表征概念，有两种功用：一是“具体——抽象”的表征阶段，一是“抽象——具体”的表征阶段。而数学概念的运用，多是用概念去表征具体材料，即让学生用抽象的本质属性去判断新的具体材料的属性。如果新的具体材料与前一阶段中的具体材料相同或相仿，则学生们很快就可以做出回答。然而，当新的具体材料是概念的变式或新的现实情境时，则要重复“具体——抽象”的过程，对新属性进行抽象。由此可见，有干扰的操作材料更有利于知识内化。
“认识角”这一课的练习环节，教师设计了变式练习：判断下列图形中的两个角，哪个角大，哪个角小？为什么？
图1和图2通过肯定例证中无关特征的变化，凸显了概念的本质属性：角的大小与边的长短无关。学生在辨析中体验到角的外在形式上的可变性，深刻感悟到角的大小其本质属性的不变性。在这一辨析过程中，学生运用概念阐释了角的定义，于阐释中内化了概念。这一变式材料的提供，为概念的建立提供了更加丰富的表象材料。
总之，只有在概念教学的各个阶段，引导学生将概念的形式定义与内在思维表象加以融合，使学生认知结构不断完善，并通过言语交流、操作运用等不同的表征方式，才可帮助学生厘清概念本质，使概念的理解得到深化。
【责任编辑：陈国庆】