浅谈二次函数在高中阶段的应用

来源 :数学学习与研究 | 被引量 : 0次 | 上传用户:EAGLE1205
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  在初中教材中,对二次函数作了较详细的研究,由于初中学生基础薄弱,又受其接受能力的限制,这部分内容的学习多是机械的,很难从本质上加以理解.进入高中以后,尤其是高三复习阶段,要对它们的基本概念和基本性质(图像以及单调性、奇偶性、有界性)灵活应用,对二次函数还需再深入学习.
  一、进一步深入理解函数概念
  初中阶段已经讲述了函数的定义,进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射,接着重新学习函数概念,主要是用映射观点来阐明函数,这时就可以用学生已经有一定了解的函数,特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念.二次函数是从一个集合A(定义域)到集合B(值域)上的映射f:A→B,使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A的元素x对应,记为f(x)=ax2+bx+c(a≠0),这里ax2+bx+c表示对应法则,又表示定义域中的元素x在值域中的象,从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识,在学生掌握函数值的记号后,可以让学生进一步处理如下问题:
  类型一 已知f(x)=2x2+x+2,求f(x+1).
  这里不能把f(x+1)理解为x=x+1时的函数值,只能理解为自变量为x+1的函数值.故f(x+1)=2(x+1)2+(x+1)+2=2x2+5x+5.
  类型二 设f(x+1)=x2-4x+1,求f(x).
  这个问题理解为,已知对应法则f下,定义域中的元素x+1的象是x2-4x+1,求定义域中元素x的象,其本质是求对应法则.
  二、二次函数的图像、单调性与最值
  在高中阶段学习单调性时,必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c的单调性的结论用定义进行严格地论证,使它建立在严密理论的基础上,与此同时,进一步充分利用函数图像的直观性,给学生配以适当的练习,使学生逐步自觉地利用图像学习二次函数有关的一些函数单调性.
  类型三 画出下列函数的图像,并通过图像研究其单调性.
  (1)y=x2+2|x|-1
  (2)y=|x2-1|
  (3)y=x2+2|x-1|-1
  这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系.掌握把含有绝对值符号的函数用分段函数去表示,然后画出其图像.
  类型四 利用函数图像研究最值.
  1.已知y=3x2-5x+6,求在下列区间上该函数的值域.
  (1)R;(2)[-3,-1];(3)[-2,2].
  研究函数最值,离不开定义域.首先要使学生弄清楚题意,作出在不同区间上抛物线的图像,图像最高点的纵坐标即为函数的最大值,最低点的纵坐标即为函数的最小值.一般地,一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值,但当定义域发生变化时,取最大值或最小值的情况也随之变化,要充分借助图像,数形结合求解.
  2.设f(x)=x2-2x-1在区间[t,t+1]上的最小值是g(t).
  求g(t)并画出y=g(t)的图像.
  解 f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,在x=1时取最小值-2.
  当1∈[t,t+1]即0≤t≤1,g(t)=-2.
  当t>1时,g(t)=f(t)=t2-2t-1.
  当t<0时,g(t)=f(t+1)=t2-2.
  g(t)=t2-2,(t<0),
  -2,(0≤t≤1),
  t2-2t-1,(t>1).
  本题中区间为动区间,而对称轴为定轴,故需根据对称轴与区间位置关系加以分类讨论.若区间确定,而对称轴在变动,解法的基本思想类似,如:f(x)=x2+ax+3在区间[-1,1]上的最小值g(a).
  三、二次函数的知识可以准确反映学生的数学思维
  类型五 已知二次函数f(x)=x2-2mx+1,其图像与x轴的两个交点在(1,0)两旁,求m的取值范围.
  解题思路 根据题中所提供的信息可以联想到:①抛物线与x轴交点的横坐标为对应一元二次方程的根;②若方程f(x)=0的两根为x1,x2,即可得到x1>1,x2<1.因此解题思路明显有两条:①利用一元二次方程根与系数关系.②图像法.
  方法一 代数法
  由题可设方程x2-2mx+1=0的两根x1>1,x2<1,
  ∴x1-1>0,x2-1<0.
  由根与系数关系知:x1+x2=2m,x1x2=1.
  ∴Δ=4m2-4>0,
  (x1-1)(x2-1)=2-2m<0.
  方法二 几何法
  根据二次函数的性质,y=f(x)是开口向上的抛物线,画出简图,
  由图可知抛物线与x轴的两个交点在(1,0)两侧的充要条件是f(1)<0,从而解得m>1.该方法有效地利用了二次函数的图像,结合图像的位置和函数值的符号解决问题,数形结合无处不在,大大提高了解题效率.
  一元二次函数,它有丰富的内涵和外延.作为最基本的初等函数,可以以它为代表来研究函数的性质,可以建立起函数、方程、不等式之间的联系,可以编拟出层出不穷、灵活多变的数学问题,考查学生的数学基础知识和综合数学素质,特别是能从解答的深入程度中,区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力.
  二次函数的内容涉及很广,本文只讨论至此,希望各位同仁在高中数学教学中也多关注这方面知识,使我们对它的研究更深入.
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