论文部分内容阅读
摘 要：思维严密性是数学思维活动的主要特点之一。在数学教学的各个环节中努力培养学生思维的严密性，是提高课堂教学效率的重要手段。本文以典型的案例，阐释了在变式教学、计算教学、证明教学和数学试卷讲评中培养思维严密性的具体的策略。
关键词：思维 严密性；变式教学；试卷讲评
一、在变式教学中培养思维严密性
变式教学是指应用变式题进行教学的一种教学方式。变式教学中，可以对原题的题设进行变式，可以对原题的结论进行变式.变式教学必须抓住问题的核心内容，适当进行变式，引导学生关注问题的不同方面，引导学生转化观察问题的不同角度，引导学生感受问题的不同深度，从而引导学生发现变化中不变的本质，适应数学问题的不断变化，加深对数学问题的理解，提高思维的严密性。
案例1 如图1，△ABC的角平分线BD和CD交于点D，试猜想和的关系，并说明理由.
为了进一步让学生感受三角形角平分线的夹角与三角形内角的关系，可以对上述原题的题设进行变式，从而得到以下变试题：
变式1：如图2，△ABC的外角平分线BD和CD交于点D，试猜想和的关系，并说明理由。
变式2：如图3，已知△ABC，的内角平分线BD和的外角平分线CD交于点D，试猜想和的关系，并说明理由。
通过原题和两个变式题的练习，让学生分别感受由两条内角平分线构成的钝角与的关系，由两条外角平分线构成的锐角与的关系，由一条内角平分线和一条外角平分线构成的锐角与的关系，从而使学生能活用三角形的内角和定理与三角形外角定理，加深对此类问题的理解，发现这些变式题之间的实质联系，进而提高解决问题的能力，提高思维的严密性。
二、在计算教学中培养思维严密性
计算教学中，既要培养学生解题的基本技能，又要培养学生挖掘隐含条件的能力.所谓“隐含条件”，是相对“显条件”而言的，是数学问题中已知条件（显条件）没有明确表明，且对解决问题至关重要的一些条件，如数学中的性质、公式、定理等.如果在解题中由于思维的不严密，忽视这些隐含条件，往往会造成解答的不完整.在教学中，要注意培养学生挖掘隐含条件的能力，让学生做一个“有心人”，进而培养学生思维的严密性.
案例2 已知，是关于的方程的两个实数根，且，当为何值时，有最小值？最小值是多少？
学生错解：根据题意知，，
所以
当时，有最小值-2.
上述解答过程看似完美，但从结果看，的值不能为负数，因此解答有误，错解忽视了参数的取值范围.根据方程有两个实数根得到“≥0”这个隐含条件，知
≥0，进而解得≥-1，由上解知二次
函数图像的对称轴为，当≥-1时，
随自变量的增大而增大，所以当时，有最小值，最小值为.
通过对错解的分析，使学生发现了错误的原因，锻炼了挖掘隐含条件的能力，提高了思维的严密性。
三、在证明教学中培养思维严密性
几何证明教学中，要引导学生找到题目中题设与结论之间因果关系的关联所在，对这种因果关系进行有条理、有层次、有系统、有步骤的说明.如果在某一步骤的说明上因为思维的不严密出现了脱节，就会使得推理论证的不严密.因此在几何证明教学中要引导学生对题目进行正确、全面的分析，在书写证明过程之前要弄清楚哪些需要证明，哪些不需要证明，哪些需要先证明，哪些需要后证明，这些都弄清楚之后再书写证明过程，从而培养学生思维的严密性。
案例4 在△ABC中，，，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接BE，求证：BE是△DEC外接圆的切线。
学生错解：如图，取CD的中点O，连接OE，∵OC=OE，∴，∴，∵DE为AC的垂直平分线，∴E为AC的中点，又∵，∴BE=CE，∴，∴，又∵OE为半径，∴BE是△DEC外接圆的切线。
上述解法忽视了一个需要证明的条件：DC为△DEC外接圆的直径，DC的中点是圆心.造成这种现象的原因在于学生对定理“90°的圆周角所对的弦是直径”题设与结论的关系的理解上存在“想当然”.在学生心中，“有圆就有直径”的观念非常清晰，而且题目中有条件，所以CD是直径就不用证明了.然而作为几何证明题，要根据公理和定理进行严格的推理论证，即使是简单的结论，也要进行推理证明。
四、在试卷讲评中培养思维严密性
数学试卷讲评课是学生在考试之后，教师对其讲解、分析和评价的一种课型，可对学生已学的知识起矫正、巩固、充实、完善和深化的重要作用.是知识的再整理、再综合、再运用的过程，也是寻找学生失分的原因，寻找学生思维误区的过程.在讲评课上可以与学生对话，暴露学生解答失分题目时的思路，分析產生错误的原因，寻找思维不严密之处，并进行有针对性讲评，从而培养学生思维的严密性，提高解题能力。
案例5 已知关于x的二次函数（），点和都在二次函数的图像上，其中n为正整数，，请说明a必为奇数。
在课堂上我先让学生1说了他的解答：
∵点和都在二次函数的图像上，
∴，.∵，
∴，∴.
如果a不是奇数，则为奇数，n就不是整数，这与条件n为整数矛盾，∴a必为奇数。
很显然学生1默认为a是整数.于是我问他：你是不是认为a如果不是奇数就是偶数？学生回答是的，我又问：可能是小数吗？他恍然大悟，说老师我以为a是整数，而题目没有告诉这个条件，所以错了。
在讲评课上，教师发现学生的错误，不要急于立刻指出来，通过与学生的对话并进行适当的引导，让学生自己发现错误，自己发现思维的误区，进而自己纠正错误，完善自己得思维，进而提高思维的严密性。
关键词：思维 严密性；变式教学；试卷讲评
一、在变式教学中培养思维严密性
变式教学是指应用变式题进行教学的一种教学方式。变式教学中，可以对原题的题设进行变式，可以对原题的结论进行变式.变式教学必须抓住问题的核心内容，适当进行变式，引导学生关注问题的不同方面，引导学生转化观察问题的不同角度，引导学生感受问题的不同深度，从而引导学生发现变化中不变的本质，适应数学问题的不断变化，加深对数学问题的理解，提高思维的严密性。
案例1 如图1，△ABC的角平分线BD和CD交于点D，试猜想和的关系，并说明理由.
为了进一步让学生感受三角形角平分线的夹角与三角形内角的关系，可以对上述原题的题设进行变式，从而得到以下变试题：
变式1：如图2，△ABC的外角平分线BD和CD交于点D，试猜想和的关系，并说明理由。
变式2：如图3，已知△ABC，的内角平分线BD和的外角平分线CD交于点D，试猜想和的关系，并说明理由。
通过原题和两个变式题的练习，让学生分别感受由两条内角平分线构成的钝角与的关系，由两条外角平分线构成的锐角与的关系，由一条内角平分线和一条外角平分线构成的锐角与的关系，从而使学生能活用三角形的内角和定理与三角形外角定理，加深对此类问题的理解，发现这些变式题之间的实质联系，进而提高解决问题的能力，提高思维的严密性。
二、在计算教学中培养思维严密性
计算教学中，既要培养学生解题的基本技能，又要培养学生挖掘隐含条件的能力.所谓“隐含条件”，是相对“显条件”而言的，是数学问题中已知条件（显条件）没有明确表明，且对解决问题至关重要的一些条件，如数学中的性质、公式、定理等.如果在解题中由于思维的不严密，忽视这些隐含条件，往往会造成解答的不完整.在教学中，要注意培养学生挖掘隐含条件的能力，让学生做一个“有心人”，进而培养学生思维的严密性.
案例2 已知，是关于的方程的两个实数根，且，当为何值时，有最小值？最小值是多少？
学生错解：根据题意知，，
所以
当时，有最小值-2.
上述解答过程看似完美，但从结果看，的值不能为负数，因此解答有误，错解忽视了参数的取值范围.根据方程有两个实数根得到“≥0”这个隐含条件，知
≥0，进而解得≥-1，由上解知二次
函数图像的对称轴为，当≥-1时，
随自变量的增大而增大，所以当时，有最小值，最小值为.
通过对错解的分析，使学生发现了错误的原因，锻炼了挖掘隐含条件的能力，提高了思维的严密性。
三、在证明教学中培养思维严密性
几何证明教学中，要引导学生找到题目中题设与结论之间因果关系的关联所在，对这种因果关系进行有条理、有层次、有系统、有步骤的说明.如果在某一步骤的说明上因为思维的不严密出现了脱节，就会使得推理论证的不严密.因此在几何证明教学中要引导学生对题目进行正确、全面的分析，在书写证明过程之前要弄清楚哪些需要证明，哪些不需要证明，哪些需要先证明，哪些需要后证明，这些都弄清楚之后再书写证明过程，从而培养学生思维的严密性。
案例4 在△ABC中，，，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接BE，求证：BE是△DEC外接圆的切线。
学生错解：如图，取CD的中点O，连接OE，∵OC=OE，∴，∴，∵DE为AC的垂直平分线，∴E为AC的中点，又∵，∴BE=CE，∴，∴，又∵OE为半径，∴BE是△DEC外接圆的切线。
上述解法忽视了一个需要证明的条件：DC为△DEC外接圆的直径，DC的中点是圆心.造成这种现象的原因在于学生对定理“90°的圆周角所对的弦是直径”题设与结论的关系的理解上存在“想当然”.在学生心中，“有圆就有直径”的观念非常清晰，而且题目中有条件，所以CD是直径就不用证明了.然而作为几何证明题，要根据公理和定理进行严格的推理论证，即使是简单的结论，也要进行推理证明。
四、在试卷讲评中培养思维严密性
数学试卷讲评课是学生在考试之后，教师对其讲解、分析和评价的一种课型，可对学生已学的知识起矫正、巩固、充实、完善和深化的重要作用.是知识的再整理、再综合、再运用的过程，也是寻找学生失分的原因，寻找学生思维误区的过程.在讲评课上可以与学生对话，暴露学生解答失分题目时的思路，分析產生错误的原因，寻找思维不严密之处，并进行有针对性讲评，从而培养学生思维的严密性，提高解题能力。
案例5 已知关于x的二次函数（），点和都在二次函数的图像上，其中n为正整数，，请说明a必为奇数。
在课堂上我先让学生1说了他的解答：
∵点和都在二次函数的图像上，
∴，.∵，
∴，∴.
如果a不是奇数，则为奇数，n就不是整数，这与条件n为整数矛盾，∴a必为奇数。
很显然学生1默认为a是整数.于是我问他：你是不是认为a如果不是奇数就是偶数？学生回答是的，我又问：可能是小数吗？他恍然大悟，说老师我以为a是整数，而题目没有告诉这个条件，所以错了。
在讲评课上，教师发现学生的错误，不要急于立刻指出来，通过与学生的对话并进行适当的引导，让学生自己发现错误，自己发现思维的误区，进而自己纠正错误，完善自己得思维，进而提高思维的严密性。