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一、概述
代数和几何是数学的两大重要分支。代数主要研究“数”与“式”及其运算、等量关系、函数等内容，抽象而严密。几何则主要研究一些几何图形的性质、图形之间的相互关系等，相对直观。尽管代数和几何研究内容与侧重点各有不同，但这并不意味着二者之间没有联系。例如。代数范畴的二元一次不定方程，与几何范畴中平面上的直线，二者看似毫不相干，但事实上，他们两者之间却能建立一一对应的关系，不仅如此，对于相互对应的一对方程和直线，方程的每一组解（二元有序实数对）与直线上的点之间仍然可以建立一一对应，而且点在不在直线上可以由其所对应的有序实数对是不是相应方程的解来判定。
这当然不是一种巧合，而是源于代数与几何之间存在着的千丝万缕的密切联系。正因此，数形结合思想成为了数学中的一种重要思想，它将代数与几何两门学科有机的结合在一起，为我们解决数学问题提供了新的思路。
几何方法是我们处理一些数学问题时常用的一种重要方法，不仅可用于解题，也十分有助于我们在理解的基础上更牢、更准地记忆一些公式、掌握一些方法。以下将分别举例说明。
二、几何方法在解题方面的一些应用举例
（一）利用图形中的长度关系解题
几何学中的一些定理，以等量关系式的形式给出几何图形中的一些长度关系，它们是联系“数”与“形”的桥梁和纽带，是数形结合思想的重要理论基础。
比如，勾股定理：如图1，直角三角形ABC中，a，b直角边，c为斜边，则，即。
相交弦定理：如图2，圆内两弦 AB、CD相交于M，则。
射影定理：如图3，直角三角形ABC中，AD是斜边上的高，则，，。
垂径定理：如图4，垂直于弦的直径平分弦，即图中MA=MB。
有了这些定理，我们便可以在适当的时候构造几何图形来体现数量之间的关系，将一些由代数式子表征的问题体现在几何图形上，这对于我们解题来说通常是极为有利的。
例：已知a，b都是正数，求证：≤≤≤，当且仅当a=b时等号成立。
分析：这是一道代数不等式的证明题目。注意到他们都是一次形式，故可以把他们当作是某图形中一些线段的长度，可构造以下图形加以证明。
解：当a=b时，等式等号显然成立;
当时，可以a+b为直径构造圆，具体步骤如下：
如图5，令MA=a，MB=b，以AB为直径作圆，圆心记作O。过M作垂直于AB的弦，由相交弦定理知MC=，过O、M分别作交⊙O于D、于E，则OC=OD=，OM=，
MD==，
在中，由射影定理可算得
CE。
由图知
即<<<。
故原不等式成立。
题目实际上是给出了常见的四种平均数：调和平均数、几何平均数、算术平均数、幂平均数之间的大小关系。其中算术与几何两种平均数的大小关系应用最为广泛。而本例中仅以一幅图便将四个平均数全部收罗，“一网打尽”，可谓直观、形象。
在勾股定理中，斜边，这便提示我们：一些根号下平方和形式的“数”可以就是一个“斜边”。
（二）利用几何图形中的面积关系解题
几何学中我们常常用到一些简单图形的面积公式。如：长方形：（a、b分别为长与宽）;三角形：（h为边a的高，C为边a与b的夹角）;圆：（r为半径）等等。这些面积也是“数”与“形”的结合点，它们的共同特点是：面积都是一些长度相乘的形式，故某些二次乘积形式的“数”可以看作某图形的面积。
例：已知正数a，b，c，x，y，z，满足，求证：。
分析：待证问题为一个二次齐次不等式，而题目中又给出了三个等量，故联想到构造正三角形辅助证明。
解：作以k为边长的正三角形如图7.
在边AB、BC、CA上分别截取AD=a ，BE=b，CF=c，则，BD=x，CE=y，AF=z，
，
，
，
。
显然，即。
（三）构造立体几何图形解题
前面两种情形都是在平面范围内构造几何图形去解出题目的。有些时候，当题目中出现三个互不相关的“数”时，可尝试采取构造立体几何图形的手段辅助解题。
例：已知a、b、c均为正，求证：。
分析：题目中出现了轮换对称形式，并且有三个无关量a、b、c注意到题目中三个根号下的形式与于弦定理接近（如可看作），故可尝试构造三个各含一个角的三角形。证明：如图9，过空间一点P作PA、PC、PC使他们两两夹角均为且PA=a，PB=b，PC=c。则由余弦定理可算得 ， ，
。由三角形性质
立即可得
。
三、小结
数形结合是数学中的基本思想方法，它可以将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维相结合，从而帮助我们通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题。数形结合思想是一种非常重要的数学思想，它贯通了代数、几何、三角等多个数学主要分支，在我们处理一些数学题目时可以为我们提供跨分支解决问题的思路。
几何方法是数形结合思想的一个重要组成部分，直观是几何的最大优点。构造几何图形或借助函数图像可以帮助我们去解决一些代数、三角或其他数学问题，还可以让我们更深刻地理解一些定理和更准确地记忆一些公式。总之，几何方法对我们数学知识的学习和抽象思维的培养都有着十分重要的意义。
代数和几何是数学的两大重要分支。代数主要研究“数”与“式”及其运算、等量关系、函数等内容，抽象而严密。几何则主要研究一些几何图形的性质、图形之间的相互关系等，相对直观。尽管代数和几何研究内容与侧重点各有不同，但这并不意味着二者之间没有联系。例如。代数范畴的二元一次不定方程，与几何范畴中平面上的直线，二者看似毫不相干，但事实上，他们两者之间却能建立一一对应的关系，不仅如此，对于相互对应的一对方程和直线，方程的每一组解（二元有序实数对）与直线上的点之间仍然可以建立一一对应，而且点在不在直线上可以由其所对应的有序实数对是不是相应方程的解来判定。
这当然不是一种巧合，而是源于代数与几何之间存在着的千丝万缕的密切联系。正因此，数形结合思想成为了数学中的一种重要思想，它将代数与几何两门学科有机的结合在一起，为我们解决数学问题提供了新的思路。
几何方法是我们处理一些数学问题时常用的一种重要方法，不仅可用于解题，也十分有助于我们在理解的基础上更牢、更准地记忆一些公式、掌握一些方法。以下将分别举例说明。
二、几何方法在解题方面的一些应用举例
（一）利用图形中的长度关系解题
几何学中的一些定理，以等量关系式的形式给出几何图形中的一些长度关系，它们是联系“数”与“形”的桥梁和纽带，是数形结合思想的重要理论基础。
比如，勾股定理：如图1，直角三角形ABC中，a，b直角边，c为斜边，则，即。
相交弦定理：如图2，圆内两弦 AB、CD相交于M，则。
射影定理：如图3，直角三角形ABC中，AD是斜边上的高，则，，。
垂径定理：如图4，垂直于弦的直径平分弦，即图中MA=MB。
有了这些定理，我们便可以在适当的时候构造几何图形来体现数量之间的关系，将一些由代数式子表征的问题体现在几何图形上，这对于我们解题来说通常是极为有利的。
例：已知a，b都是正数，求证：≤≤≤，当且仅当a=b时等号成立。
分析：这是一道代数不等式的证明题目。注意到他们都是一次形式，故可以把他们当作是某图形中一些线段的长度，可构造以下图形加以证明。
解：当a=b时，等式等号显然成立;
当时，可以a+b为直径构造圆，具体步骤如下：
如图5，令MA=a，MB=b，以AB为直径作圆，圆心记作O。过M作垂直于AB的弦，由相交弦定理知MC=，过O、M分别作交⊙O于D、于E，则OC=OD=，OM=，
MD==，
在中，由射影定理可算得
CE。
由图知
即<<<。
故原不等式成立。
题目实际上是给出了常见的四种平均数：调和平均数、几何平均数、算术平均数、幂平均数之间的大小关系。其中算术与几何两种平均数的大小关系应用最为广泛。而本例中仅以一幅图便将四个平均数全部收罗，“一网打尽”，可谓直观、形象。
在勾股定理中，斜边，这便提示我们：一些根号下平方和形式的“数”可以就是一个“斜边”。
（二）利用几何图形中的面积关系解题
几何学中我们常常用到一些简单图形的面积公式。如：长方形：（a、b分别为长与宽）;三角形：（h为边a的高，C为边a与b的夹角）;圆：（r为半径）等等。这些面积也是“数”与“形”的结合点，它们的共同特点是：面积都是一些长度相乘的形式，故某些二次乘积形式的“数”可以看作某图形的面积。
例：已知正数a，b，c，x，y，z，满足，求证：。
分析：待证问题为一个二次齐次不等式，而题目中又给出了三个等量，故联想到构造正三角形辅助证明。
解：作以k为边长的正三角形如图7.
在边AB、BC、CA上分别截取AD=a ，BE=b，CF=c，则，BD=x，CE=y，AF=z，
，
，
，
。
显然，即。
（三）构造立体几何图形解题
前面两种情形都是在平面范围内构造几何图形去解出题目的。有些时候，当题目中出现三个互不相关的“数”时，可尝试采取构造立体几何图形的手段辅助解题。
例：已知a、b、c均为正，求证：。
分析：题目中出现了轮换对称形式，并且有三个无关量a、b、c注意到题目中三个根号下的形式与于弦定理接近（如可看作），故可尝试构造三个各含一个角的三角形。证明：如图9，过空间一点P作PA、PC、PC使他们两两夹角均为且PA=a，PB=b，PC=c。则由余弦定理可算得 ， ，
。由三角形性质
立即可得
。
三、小结
数形结合是数学中的基本思想方法，它可以将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维相结合，从而帮助我们通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题。数形结合思想是一种非常重要的数学思想，它贯通了代数、几何、三角等多个数学主要分支，在我们处理一些数学题目时可以为我们提供跨分支解决问题的思路。
几何方法是数形结合思想的一个重要组成部分，直观是几何的最大优点。构造几何图形或借助函数图像可以帮助我们去解决一些代数、三角或其他数学问题，还可以让我们更深刻地理解一些定理和更准确地记忆一些公式。总之，几何方法对我们数学知识的学习和抽象思维的培养都有着十分重要的意义。