超越方程一般没有解析解，而只有数值解或近似解，只有特殊的超越方程才可以求出解析解来。求解超越方程的近似解法有很多，图象法虽然形象，但得到的解误差太大了。常用的近似解法有牛顿切线法、幂级数解法等等，现在也可以编制一段程序用计算机求解，或者利用现成的软件求解，例如大多数电脑都安装的EXCEL也可以用来求解超越方程。
　　超越方程根问题是高考常考的知识点.这类问题涵盖知识点多,综合性强,能较好地考查数学思想方法,学生们求解起来往往颇感困难,本文就超越方程根问题常见类型结合平时教学中学生所问及高考中遇到的一些试题进行分析,探寻解题策略,以供参考.
　　一、 判断方程根的个数问题
　　【例1】方程 ， 的根的个数是（ ）
　　A.1个B.2个C.3个 D.4个
　　【解】因为方程有根,
　　故 ,令 ,则问题转化为
　　方程 的根个数问题,记 ;
　　 ,则问题转化为两曲线交点个数问题,
　　在同一坐标系中画出它们的图象,如图所示,故选B.
　　【评】方程根个数与曲线交点个数是相同.本例先对数式换元转化,再进行数形转化,再考查曲线交点的个数.
　　【例2】若函数 的定义域 ,对任意实数 都满足 , ,若当 , .
　　函数 ,则方程 的根的个数为()
　　A.4B.6 C.8 D.10
　　【解】 和 均为偶函数,它们的图象
　　都关于 轴对称,依条件
　　 , ,知
　　 是以2为最小正周期的周期函数.
　　在同一坐标系中画出它们的图象(只画 轴右侧,因为它们均为偶函数),依对称性可知原方程的根为10个.
　　【评】本例是利用函数性质画图,再考查两图象交点的个数.
　　二、知方程根个数求参数取值范围问题
　　【例3】 已知函数 ，若方程 有且只有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是()
　　A . B．C．D．
　　【解】记 , 在同一
　　坐标系中画出它们的图象,欲使原方程有两个不相等的实根,则 ,选B.
　　【评】注意函数在 上的性质, 画出函数 的图象,又 是一组平行直线, 当 ,时,它们总有两个不同交点.
　　【例4】设定义域为 的函数 ,则关于 的
　　方程 有7个不同的实数根的充要条件是( )
　　Ａ．
　　Ｂ．
　　Ｃ．
　　Ｄ．
　　【解】画出图象,若关于 的方程
　　 有7个根,令 ,
　　则方程 必有一个根 ,另一个根 .故 .选C.
　　【评】这类问题称为“复合方程”根问题,在解题时一是要注意关于 的方程
　　 根与关于的 的方程 的根对应关系,二是要定性地画出图象.若设方程的7个根分别为 ,则依根的对称性知 的值为7.
　　【例5】已知 是函数 的一个极值点。
　　（Ⅰ）求 ；
　　（Ⅱ）求函数 的单调区间；
　　（Ⅲ）若直线 与函数 的图象有3个交点，求 的取值范围。
　　【解】：（Ⅰ）因为
　　所以
　　因此
　　（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
　　当 时，
　　当 时，
　　所以 的单调增区间是
　　 的单调减区间是
　　（Ⅲ）由（Ⅱ）知， 在 内单调增加，在 内单调减少，在 上单调增加，且当 或 时，
　　所以 的极大值为 ，极小值为
　　因此
　　所以在 的三个单调区间 直线 有 的图象各有一个交点，当且仅当
　　因此， 的取值范围为 。
　　总之，对于超越函数方程根问题考查题求解主要策略是等价转化法，数形结合法，用导数法来研究函数的性质法。
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文