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【教学内容】
“充分条件与必要条件”是高中数学北师大版选修2-1第一章“简单逻辑用语”第二节第6页的内容。
【教材分析】
逻辑是研究思维规律的学科，而“充分条件与必要条件”是数学中常用的逻辑用语，逻辑用语在数学中具有重要的作用。为了提高学习效率，在“充分条件与必要条件”这节内容前，教材安排了“命题”这一节内容作为必要的知识铺垫，并把充分条件与必要条件安排在第一课时，第二课时学习充要条件。
“充分条件与必要条件”是中学数学中重要的数学概念，它主要研究命题的条件与结论之间的逻辑关系。“若[p]，则[q]”为真命题，记作[p?q]。我们称[p]是[q]的充分条件，称[q]是[p]的必要条件。所以“[p?q]”与“[p]是[q]的充分条件”“[q]是[p]的必要条件”之间是同一逻辑关系的不同描述形式，前者是符號语言，后两者是文字语言。教师通过对命题真假的判断，研究命题中[p]与[q]之间的关系。
【教学目标】
1.学习数、形两个例子，自主探究，通过观察、发现、归纳，概括出充分条件的概念，培养数学抽象以及逻辑推理的能力。
2.结合物理电路图中“开关闭合与灯泡亮”的学习，经历直观感受、数学抽象、逻辑关系、深化理解四个过程，突破必要条件概念的难点，培养直观想象、数学抽象以及逻辑推理的能力。
3.体验整个数学活动，自主构建知识网络，加深对充分条件与必要条件的认识，体会获取知识的感受。师生互动及时评价，培养敢于质疑、善于发现、提出问题的能力，养成严谨规范表达的学习习惯。
【教学过程】
一、经历数、形实例，注重概念形成
预设问题：A={正方形}，B={矩形}，C={平行四边形}。
（1）各集合有什么关系？
（2）能否构造“若p，则q”形式的命题？命题的真假性如何？
师：能判断这3个集合间的关系吗？
生：A包含于B，B包含于C。
师：很好。那你能否构造“若p则q”形式的命题呢？
生：若一个四边形是矩形，则这个四边形是平行四边形。
师：我们以这个命题为原命题，你能写出其他形式的命题吗？
生：逆命题：若一个四边形是平行四边形，则这个四边形是矩形。
师：说得不错，它们之间的真假性呢？
生：原命题是真命题，逆否命题也是真命题，逆命题、否命题是假命题。
师：很棒！逆命题是假命题，为什么是假命题？出现假命题的原因是什么呢？
生：推不出，得不到，条件不够。
师：如何让它成为真命题呢？
生：增加条件。
师：如何增加呢？
生：有一个角是90度。
师：还有别的方式吗？
生：对角线相等！
师：不错，那从这个例子中你发现了什么？
生：当“若p则q”为假命题时，说明条件p不充足。所以有些命题可以增加条件，当条件充足了、充分了，可以得到结论，命题就是真的。
师：我们再通过一个例子来体会一下，若ab=0，则a=0，来看看它的真假性。
生（齐）：假命题。
师：为什么呢？
生：还可能b=0，条件不够。
师：如何让它成为真命题呢？
生：增加条件b<0。
师：可以吗？还有别的方式吗？
生：b>0。
师：还有吗？
生：b不等于0。
师：非常棒。通过刚才的探索，你们从中体会到什么？
生：一般来说，有些命题当条件充足了，可以得到结论，命题是真的。
师：像这种由条件推出结论的有很多，同学们尝试归纳一般情形。
师：p看作条件，q看作结论。“若p，则q”为真命题，说明什么？
生：说明条件p是充足了、充分了，可以推导出结论q。
师：那这样的条件p应该怎么说呢，怎么定义呢？
生：足够条件，充足条件，充分条件。
师：很好，我们看下教材是如何定义的：“若[p]，则[q]”为真命题，由[p]经过推理得出[q]。用符号语言记作[p?q，]称p是q的充分条件。
师：在定义中，p是条件，q是结论。什么条件？充分条件。所以条件推出结论，这个条件就是结论的充分条件。
【设计意图】概念是数学思想方法的发源地，数学教学应该确立概念教学的核心地位。因此，从数、形两个例子自主探究，精心设计“若p则q的假命题”例子，探究改变条件，体验改变命题条件（有的是增加条件，有的是替换条件）使结论成立的数学活动过程，揭示概念的形成过程。真正做到了教师为主导，学生为主体，把课堂留给了学生，这种生动教学不仅体现了学生的“说和做”，还体现了学生的“思和想”，充分呈现出了充分条件概念的形成过程。学生在理解充分条件概念的同时，学会文字语言、符号语言的表达。概念的否定是理解概念的重要方面，教师让学生在直观理解的基础上给出“充分条件”的否定形式，以帮助学生全面认识和理解概念，顺利实现由已有的知识结构转入新知构建的过程。
二、结合物理电路，关注概念生成
师：这是一个正常的电路图。你能发现其中逻辑关系吗？
图1中的开关A与灯泡亮有怎样的联系呢？
生：开关A闭合，则灯泡亮。开关A不闭合，灯泡就不亮。
师：换个角度，如果灯泡亮呢？
生：则开关A一定闭合。灯泡不亮，则开关A不闭合。
师：大家赞同吗？
生（齐）：赞同。 师：如果增加一个开关呢？开关A和灯泡亮又是什么情况呢？大家思考下。
生：开关A闭合，则灯泡不一定亮。开关A不闭合，灯泡一定不亮。如果灯泡不亮了，则开关A不确定。灯泡亮，则开关A一定闭合。
师：所以要使得灯泡亮，说明开关A必须是闭合的。这是灯泡亮的一个必备条件。若把开关A闭合记作q，灯泡B亮记作p，请问：p、q有怎么样的因果关系呢？
生：如图1，p推出q，q推出p。如图2，p推出q。
师：如图2，p推出q，如果把p看作条件，q看作结论。那么p是q的什么條件？
生：充分条件。
师：如果把开关A闭合作为命题的条件q，灯泡B亮作为命题的结论p呢？事实是结论推出了条件。通过刚才的理解，灯泡亮了，开关A一定闭合。这个结论p的成立条件q是必须的、必备的，这个条件q是怎么定义呢？
生：一定，必备的、必要条件。
师：也就是说，若p推出q，则q是p的必备、必须的条件。
师：为了加深理解，这个命题的等价命题是什么呢？
生：若非q，则非p。
师：能叙述下吗？
生：开关A不闭合，则灯泡不亮。
师：没有这个条件q，就没这个结论p。那么这样的条件是不是必要条件呢？
师生讨论，从而生成必要条件的概念：
“若[p]，则[q]”为真命题，我们就说，由[p]可推出[q]，记作[p?q]，称[q]是[p]的必要条件。“若[p]，则[q]”为假命题，我们就说，由[p]不可以推出[q]，记作[p] [q]，称[q]不是[p]的必要条件。
【设计意图】依托物理电路图，让学生通过对电路图的直观感知，体会到条件的不可缺少，从而感悟逻辑关系，进而加深对命题新的表述方式的理解，突破必要条件的难点。这样设计不但体现了学科间的联系，让学生经历感悟—抽象—概括的过程，同时突破难点。概念的否定是概念理解的重要方面，教师让学生在直观理解的基础上给出“必要条件”的否定形式，以帮助学生全面认识和理解概念。
三、体验数学活动，构建生动课堂
数学活动：给定p：x>a，q：x>1。学生小组讨论，设计关于充分条件、必要条件的问题，并规定：A组给定a的范围，请B组确定充分条件与必要条件。
B组：给定充分条件与必要条件，请A组确定a的范围。
活动过程：A组提出问题1：已知a=0，请问p是q的什么条件？
B组提出问题1：已知p是q的充分条件，请问a的范围是什么？
A组提出问题2：已知a>0，请问p是q的什么条件？
B组提出问题2：以A组方式反问A组：当a=1时，p是q的什么条件？
活动形式：相互讨论，自主探究，小组发言。
【设计意图】通过以学生为主体的数学活动设计，教师让学生自主构建知识网络，加深对充分条件与必要条件的理解，体验获取知识的过程，帮助学生全面掌握本节课的学习内容，再次巩固所学知识，为顺利进入下节课的学习打下基础，起到承前启后的作用。教学中，教师充分发挥学生的主体地位，通过小组相互出题的形式，让学生通过外延辨析，强化概念间的区别和联系，使学生对概念的本质属性有更深刻的理解，同时为下一节学习充要条件做好铺垫，展现了教师教学的“大局观”。
根据学生认知规律、概念课的教学内容特点以及新课程改革的教育教学理念，注重充分条件与必要条件概念的生成和理解，教学内容理解深刻、透彻，教学思路清晰、自然，教学重点突出。课堂中启发性问题适时地打破原有平衡，引领学生寻找新的平衡点，揭示了概念的本质，加深了学生对概念的深层次理解，培养了学生的创新思维，提高了数学素养。
（作者单位：江西师范大学附属中学 江西省南昌市铁路第一中学）
“充分条件与必要条件”是高中数学北师大版选修2-1第一章“简单逻辑用语”第二节第6页的内容。
【教材分析】
逻辑是研究思维规律的学科，而“充分条件与必要条件”是数学中常用的逻辑用语，逻辑用语在数学中具有重要的作用。为了提高学习效率，在“充分条件与必要条件”这节内容前，教材安排了“命题”这一节内容作为必要的知识铺垫，并把充分条件与必要条件安排在第一课时，第二课时学习充要条件。
“充分条件与必要条件”是中学数学中重要的数学概念，它主要研究命题的条件与结论之间的逻辑关系。“若[p]，则[q]”为真命题，记作[p?q]。我们称[p]是[q]的充分条件，称[q]是[p]的必要条件。所以“[p?q]”与“[p]是[q]的充分条件”“[q]是[p]的必要条件”之间是同一逻辑关系的不同描述形式，前者是符號语言，后两者是文字语言。教师通过对命题真假的判断，研究命题中[p]与[q]之间的关系。
【教学目标】
1.学习数、形两个例子，自主探究，通过观察、发现、归纳，概括出充分条件的概念，培养数学抽象以及逻辑推理的能力。
2.结合物理电路图中“开关闭合与灯泡亮”的学习，经历直观感受、数学抽象、逻辑关系、深化理解四个过程，突破必要条件概念的难点，培养直观想象、数学抽象以及逻辑推理的能力。
3.体验整个数学活动，自主构建知识网络，加深对充分条件与必要条件的认识，体会获取知识的感受。师生互动及时评价，培养敢于质疑、善于发现、提出问题的能力，养成严谨规范表达的学习习惯。
【教学过程】
一、经历数、形实例，注重概念形成
预设问题：A={正方形}，B={矩形}，C={平行四边形}。
（1）各集合有什么关系？
（2）能否构造“若p，则q”形式的命题？命题的真假性如何？
师：能判断这3个集合间的关系吗？
生：A包含于B，B包含于C。
师：很好。那你能否构造“若p则q”形式的命题呢？
生：若一个四边形是矩形，则这个四边形是平行四边形。
师：我们以这个命题为原命题，你能写出其他形式的命题吗？
生：逆命题：若一个四边形是平行四边形，则这个四边形是矩形。
师：说得不错，它们之间的真假性呢？
生：原命题是真命题，逆否命题也是真命题，逆命题、否命题是假命题。
师：很棒！逆命题是假命题，为什么是假命题？出现假命题的原因是什么呢？
生：推不出，得不到，条件不够。
师：如何让它成为真命题呢？
生：增加条件。
师：如何增加呢？
生：有一个角是90度。
师：还有别的方式吗？
生：对角线相等！
师：不错，那从这个例子中你发现了什么？
生：当“若p则q”为假命题时，说明条件p不充足。所以有些命题可以增加条件，当条件充足了、充分了，可以得到结论，命题就是真的。
师：我们再通过一个例子来体会一下，若ab=0，则a=0，来看看它的真假性。
生（齐）：假命题。
师：为什么呢？
生：还可能b=0，条件不够。
师：如何让它成为真命题呢？
生：增加条件b<0。
师：可以吗？还有别的方式吗？
生：b>0。
师：还有吗？
生：b不等于0。
师：非常棒。通过刚才的探索，你们从中体会到什么？
生：一般来说，有些命题当条件充足了，可以得到结论，命题是真的。
师：像这种由条件推出结论的有很多，同学们尝试归纳一般情形。
师：p看作条件，q看作结论。“若p，则q”为真命题，说明什么？
生：说明条件p是充足了、充分了，可以推导出结论q。
师：那这样的条件p应该怎么说呢，怎么定义呢？
生：足够条件，充足条件，充分条件。
师：很好，我们看下教材是如何定义的：“若[p]，则[q]”为真命题，由[p]经过推理得出[q]。用符号语言记作[p?q，]称p是q的充分条件。
师：在定义中，p是条件，q是结论。什么条件？充分条件。所以条件推出结论，这个条件就是结论的充分条件。
【设计意图】概念是数学思想方法的发源地，数学教学应该确立概念教学的核心地位。因此，从数、形两个例子自主探究，精心设计“若p则q的假命题”例子，探究改变条件，体验改变命题条件（有的是增加条件，有的是替换条件）使结论成立的数学活动过程，揭示概念的形成过程。真正做到了教师为主导，学生为主体，把课堂留给了学生，这种生动教学不仅体现了学生的“说和做”，还体现了学生的“思和想”，充分呈现出了充分条件概念的形成过程。学生在理解充分条件概念的同时，学会文字语言、符号语言的表达。概念的否定是理解概念的重要方面，教师让学生在直观理解的基础上给出“充分条件”的否定形式，以帮助学生全面认识和理解概念，顺利实现由已有的知识结构转入新知构建的过程。
二、结合物理电路，关注概念生成
师：这是一个正常的电路图。你能发现其中逻辑关系吗？
图1中的开关A与灯泡亮有怎样的联系呢？
生：开关A闭合，则灯泡亮。开关A不闭合，灯泡就不亮。
师：换个角度，如果灯泡亮呢？
生：则开关A一定闭合。灯泡不亮，则开关A不闭合。
师：大家赞同吗？
生（齐）：赞同。 师：如果增加一个开关呢？开关A和灯泡亮又是什么情况呢？大家思考下。
生：开关A闭合，则灯泡不一定亮。开关A不闭合，灯泡一定不亮。如果灯泡不亮了，则开关A不确定。灯泡亮，则开关A一定闭合。
师：所以要使得灯泡亮，说明开关A必须是闭合的。这是灯泡亮的一个必备条件。若把开关A闭合记作q，灯泡B亮记作p，请问：p、q有怎么样的因果关系呢？
生：如图1，p推出q，q推出p。如图2，p推出q。
师：如图2，p推出q，如果把p看作条件，q看作结论。那么p是q的什么條件？
生：充分条件。
师：如果把开关A闭合作为命题的条件q，灯泡B亮作为命题的结论p呢？事实是结论推出了条件。通过刚才的理解，灯泡亮了，开关A一定闭合。这个结论p的成立条件q是必须的、必备的，这个条件q是怎么定义呢？
生：一定，必备的、必要条件。
师：也就是说，若p推出q，则q是p的必备、必须的条件。
师：为了加深理解，这个命题的等价命题是什么呢？
生：若非q，则非p。
师：能叙述下吗？
生：开关A不闭合，则灯泡不亮。
师：没有这个条件q，就没这个结论p。那么这样的条件是不是必要条件呢？
师生讨论，从而生成必要条件的概念：
“若[p]，则[q]”为真命题，我们就说，由[p]可推出[q]，记作[p?q]，称[q]是[p]的必要条件。“若[p]，则[q]”为假命题，我们就说，由[p]不可以推出[q]，记作[p] [q]，称[q]不是[p]的必要条件。
【设计意图】依托物理电路图，让学生通过对电路图的直观感知，体会到条件的不可缺少，从而感悟逻辑关系，进而加深对命题新的表述方式的理解，突破必要条件的难点。这样设计不但体现了学科间的联系，让学生经历感悟—抽象—概括的过程，同时突破难点。概念的否定是概念理解的重要方面，教师让学生在直观理解的基础上给出“必要条件”的否定形式，以帮助学生全面认识和理解概念。
三、体验数学活动，构建生动课堂
数学活动：给定p：x>a，q：x>1。学生小组讨论，设计关于充分条件、必要条件的问题，并规定：A组给定a的范围，请B组确定充分条件与必要条件。
B组：给定充分条件与必要条件，请A组确定a的范围。
活动过程：A组提出问题1：已知a=0，请问p是q的什么条件？
B组提出问题1：已知p是q的充分条件，请问a的范围是什么？
A组提出问题2：已知a>0，请问p是q的什么条件？
B组提出问题2：以A组方式反问A组：当a=1时，p是q的什么条件？
活动形式：相互讨论，自主探究，小组发言。
【设计意图】通过以学生为主体的数学活动设计，教师让学生自主构建知识网络，加深对充分条件与必要条件的理解，体验获取知识的过程，帮助学生全面掌握本节课的学习内容，再次巩固所学知识，为顺利进入下节课的学习打下基础，起到承前启后的作用。教学中，教师充分发挥学生的主体地位，通过小组相互出题的形式，让学生通过外延辨析，强化概念间的区别和联系，使学生对概念的本质属性有更深刻的理解，同时为下一节学习充要条件做好铺垫，展现了教师教学的“大局观”。
根据学生认知规律、概念课的教学内容特点以及新课程改革的教育教学理念，注重充分条件与必要条件概念的生成和理解，教学内容理解深刻、透彻，教学思路清晰、自然，教学重点突出。课堂中启发性问题适时地打破原有平衡，引领学生寻找新的平衡点，揭示了概念的本质，加深了学生对概念的深层次理解，培养了学生的创新思维，提高了数学素养。
（作者单位：江西师范大学附属中学 江西省南昌市铁路第一中学）